2.Поверхностные интегралы первого рода 2.1. Определение поверхностного интеграла первого рода и его свойства Пусть на квадрируемой поверхности () определена ограниченная функция f(M)=f(x,y,z), M. Разобьем поверхность () кусочно гладкими линиями на n квадрируемых частей: 1 , 2 , . . . , n . Взяв в каждой части i , i=1, 2, . . . , n произвольно точку M i xi , y i , zi , вычислим в этой точке значение функции : f M i f x i , y i , zi . Составим интегральную сумму вида n J i , Mi f Mi si , i 1 где si площадь участка разбиения i , i=1, 2, . . . , n. Пусть max d i ,где d i диаметры частей i , i=1, 2, . . . , n. Если существует конечный предел интегральных сумм J i , M i , когда стремится к нулю и он не зависит ни от разбиения поверхности на участки , ни от выбора точек M i на участках разбиения, то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности и обозначают его в виде f M ds f x, y , z ds , (31) где ds элемент площади. Теорема 1. Пусть () гладкая или кусочно гладкая поверхность и f(x,y.z ) непрерывная на () функция. Тогда функция f(x,y,z) интегрируема по площади поверхности () , т. е. существует интеграл (31). Замечание 1. Поверхностный интеграл первого рода является обобщением двойного интеграла, поэтому для интеграла (31) справедливы все свойства двойных интегралов. 2.2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода сведением его к двойному интегралу Теорема 2. Пусть () гладкая поверхность, не имеющая особых точек, заданная параметрически уравнениями (5): x u, v , y u, v , z u, v , u, v D и пусть f(x,y,z) непрерывная функция на поверхности (). Тогда справедливо равенство: f x, y , z ds f u,v , u,v , u,v A2 B2 C 2 dudv , (32) D где A, B, C определены формулами (16). Чаще встречается явное задание поверхности (), поэтому следует рассмотреть частные случаи этой теоремы. Следствие 1. Пусть гладкая поверхность () определена явным уравнением (2): z f1x, y , x, y G1. Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда f x, y , z ds f dxdy . / 2 f x, y , f1x, y 1 f1x G1 / 2 1 y (33) Доказательство. Если положить, что x и y параметры, тогда явное уравнение (2) может быть записано в параметрической форме: x x, y y, z f1x, y . Исходя из этого, определим по формулам (16), (27) элемент площади ds: A f1 x , / B f1 y , C 1. / Тогда формула (32) примет вид (33). Следствие 2. Пусть гладкая поверхность () определена явным уравнением (3): y f2 x, z , x, z G2 . Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда f x, y , z ds f dxdz. / 2 f x, f2 x, z , z 1 f2 x G1 / 2 2 z (34) Следствие 3. Пусть гладкая поверхность () задана явным уравнением (4): x f3 y , z , y , z G3 . Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда f x, y , z ds f dydz. / 2 f f3 y , z , y , z 1 f3 y G3 / 2 3 z (35) Замечание 2. Если поверхность () кусочно гладкая, то можно воспользоваться свойством поверхностного интеграла и представить 2 интеграл по поверхности () в виде суммы интегралов по гладким поверхностям из объединения которых составлена поверхность (). Пример. Найти y z 1 x 2 ds , где () поверхность цилиндра x 2 y 2 1, заключенная между плоскостями z=0 и z=4. Решение . Кусочно гладкую поверхность () нельзя задать явным уравнением. Но ее можно разбить на две гладкие поверхности (рис. 9). Одна 1 расположена в полупространстве y>0 и ее явное уравнение имеет вид y 1 x2 , x, z G2 : 1 x 1, 0 z 4, другая 2 расположена в полупространстве y<0 и ее явное уравнение имеет вид y 1 x2 , x, z G2 : 1 x 1, 0 z 4. Z 4 Z 4 0 1 Y G2 -1 X 0 1 Y 1 Рис. 9. Изображение поверхности () Рис. 10. Проекция поверхности () на плоскость XZ Тогда, воспользовавшись замечанием 8 (пункт 1.4) и формулой (34), получим y z 1 x y z 1 x 2 ds 1 x 2 ds 1 2 z 1 x G2 G 2 1 x2 z 1 x2 1 1 2 y z 1 x 2 ds 2 x2 1 0 dxdz 1 x2 x2 0 dxdz z 2 1 x 2 2 1 x G 2 4 1 1 1x 2 dxdz 4 z 1 z z dxdz dx 2 dz dx dz 2 2 2 1 x 1 x 1 x G2 1 0 1 0 1 1 1 8 8 8 dx dx 16 arcsinx 8 x 16 16. 2 2 1 x 1 x 1 1 1 Здесь область G2 изображена на рис. 10. Ответ: y z 1 x 2 ds 16 1. 2.3. Приложения поверхностных интегралов первого рода 1). Площадь квадрируемой поверхности () можно вычислить по формуле: S ds . (36) Это следует из формул (26) (30) и (32) (35). Рассмотрим механические приложения поверхностного интеграла первого рода. Пусть () материальная поверхность и (M) поверхностная плотность распределения массы в точке M(x,y,z) поверхности (). 2). Масса поверхности () вычисляется по формуле: m x, y , z ds . 4 (37) 3). Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей XY, XZ, YZ вычисляются по формулам: M XY z x, y , z ds , (38) M XZ y x, y , z ds , (39) MYZ x x, y , z ds . (40) 4). Координаты центра определяются по формулам: xc C xc , y c , zc тяжести MYZ , m yc M XZ , m zc поверхности M XY . m () (41) 5). Момент инерции поверхности (), например, относительно оси OX определяется по формуле: X x 2 y 2 x, y , z ds . 6). Момент плоскости YZ : инерции поверхности (), например, (42) относительно YZ x 2 x, y , z ds . 43) 7). Момент инерции поверхности () относительно начала координат: O x 2 y 2 z 2 x, y , z . 44) Замечание 3. Если (x,y,z)=const., то поверхность называется однородной. Если (x,y,z)=1, то m=S. Пример. Найти положение центра тяжести однородной конической поверхности: z 1 2 x y2 , 2 x2 y 2 4 и момент инерции относительно начала координат ((x,y,z) ==const.). Решение. Y Z 1 Y 0 0 -2 2 X G1 X Рис. 11. Изображение поверхности () Рис. 12. Проекция поверхности () Так как поверхность () симметрична относительно оси OZ (рис. 11), то центр тяжести этой поверхности расположен на оси OZ. Следовательно в формулах (41) xc 0 , y c 0 . Для определения третьей координаты zc найдем сначала статический момент по формуле (38): 1 2 1 x2 1 y2 2 z ds x y 1 dx dy 2 2 2 2 2 4 4 x y x y G M XY 1 x cos , 2 G y sin , 5 dx dy 4 0 2 , 0 2 , x 2 y 2 2 , x2 y 2 1 4 2 dx dy d d . 2 d 0 0 2 2 5 3 2 5 4 5 5 d d 8 d . 2 4 0 3 0 12 0 3 Здесь для перехода от поверхностного интеграла к двойному воспользовались формулой (33) и изображением области интегрирования G1 (рис. 12). Далее найдем массу по формуле (37): 6 5 5 m ds dx dy 2 G1 4 2 2 5 d d 2 0 0 2 2 2 0 2 d 2 5 . 0 Тогда по формуле (41) найдем: zc M XY 4 5 2 . m 6 5 3 Таким образом, центр тяжести поверхности находится в точке C(0, 0, 2/3). По формуле (44) найдем момент инерции относительно начала координат: 1 5 0 x 2 y 2 z 2 ds x 2 y 2 x 2 y 2 dx dy 4 4 G1 5 5 5 5 2 2 x y dx dy 8 8 G1 2 Ответ: C 0, 0, , 3 2 2 5 5 d d 8 0 0 0 5 5 . 2 2 4 4 0 2 d 5 5 . 0