Общее равновесие в экономике обмена
advertisement
Факультет мировой экономики и мировой политики НИУ ВШЭ, 2011-2012 Ю.В. Автономов Общее равновесие в экономике обмена - 2: равновесие по Вальрасу ¾ иллюстрация обмена в ящике Эджворта ¾ равновесие по Вальрасу в экономике обмена ¾ геометрическая интерпретация равновесия по Вальрасу: кривые «цена-потребление» ¾ аналитический поиск равновесия по Вальрасу Рыночный обмен и равновесие по Вальрасу в экономике обмена 2х2 В какой пропорции один товар или услуга должен обмениваться на другой? В рыночной экономике пропорция обмена товаров определялась бы их ценами. причем, если бы все рынки были совершенно конкурентными, отдельные продавцы и покупатели воспринимали бы цены как заданные! Мы хотим имитировать функционирование рыночной экономики, где все рынки совершенно конкурентны, с помощью простой модели: экономики обмена 2x2 Î • два товара: 1 и 2 • два потребителя: A и B • первоначальные запасы товаров у каждого потребителя: ωA = (ω1A, ω2A) ωB = (ω1B, ω2B) • третий агент (аукционист) объявляет цены товаров (p1, p2) • потребитель A решает, сколько товара 1 и 2 он хочет купить (продать) при названных ценах • потребитель B также решает, сколько товара 1 и 2 он хочет купить (продать) при названных ценах Обмен в ящике Эджворта 1. Объявляются цены: (p1, p2) 2. Потребители А и B оценивают свое бюджетное ограничение: p1x1A + p2x2A = p1ω1A + p2 ω2A p1x1B + p2x2B = p1ω1B + p2 ω2B x2A x1B 0B (i) тангенс угла наклона у их бюджетных линий одинаков: Бюджетное множество потребителя B Бюджетное множество потребителя А 0A NB: – p1/p2 ω (ii) бюджетные линии А и B проходят через одну и ту же точку ящика Эджворта: ω x2B x1A 3. Потребитель А выбирает набор, максимизирующий полезность в его бюджетном множестве (α). x2A NB: координаты этого набора соответствуют валовому спросу потребителя А на блага 1 и 2 Ū0A x1B 0B α x2A(p1,p2) Мы можем также указать объем чистого спроса потребителя А… …на благо 1 (z1A) z2A …и благо 2 (z2A) ω ω2A Является ли А чистым покупателем/продавцом товара 1? Товара 2? z1A 0A x1A(p1,p2) ω1A x2B x1A 4. Аналогично, потребитель B выбирает набор, максимизирующий полезность в его бюджетном множестве (β). x2A Будут ли рынки товаров 1 и 2 уравновешены? Ū0A x1B 0B Чтобы наглядно α продемонстрировать ответ, сопоставим Ū0B избыточный спрос обоих β 0A ω потребителей на каждое из благ Î x2B x1A На рынке товара 1 наблюдается затоваривание (избыточное предложение): предложение товара 1 (z1A) превышает спрос (z1B) Ū0A x2A x1B На рынке товара 2 наблюдается дефицит (избыточный спрос): 0B α спрос на товар 2 (z2A) … Ū0B z2A z1B β z1A 0A …превышает предложение (z2B) z2B Как следует изменить цены, чтобы уравновесить рынки? ω x2B x1A x2A x1B 0B Ū1A x Ū1B z1B z2B z2A z1A 0A ω x2B x1A 1) каждый потребитель максимизирует свою полезность на заданном ему бюджетном множестве 2) рынки всех товаров уравновешены (спрос равен предложению) Такое состояние экономики называется равновесием по Вальрасу Î Равновесие по Вальрасу (определение для экономики обмена LxM) Распределение и вектор цен ( 1 1 M M ~ ~ ~ ~ ~ x = x 1 ,..., x L ,..., x 1 ,..., x L ~ p = (~ p1 ,..., ~ pL ) образуют равновесие по Вальрасу в экономике обмена, если Î ) ( k k k ~ ~ ~ x = x ,..., x 1) ∀k , потребительский набор L 1 ) является решением задачи максимизации ~ ~ ( p ,..., p полезности потребителя k при ценах 1 L ): K k k ⎧ Kmax U ( x ,..., x ) L 1 K ⎪ x1 ,... xL ≥0 ⎨ ⎪⎩ p 1 x1k + ... + p L xLk ≤ p 1w1k + ... + p L wLk <Это условие также называют «условием индивидуальной рациональности потребителей»> 2) Все рынки уравновешены: M k ~ ∀i, ∑ xi = ω i k =1 , x ) является равновесием по Предположим, ( p Вальрасу в некоторой экономике обмена. Увеличим цены всех товаров в a раз. Будет ли (α~p, ~x ) равновесием по Вальрасу в той же экономике обмена? Равновесие по Вальрасу в ящике Эджворта: кривые «цена-потребление» Кривая «цена-потребление» для потребителя А x2A x1B 0B Найдется такое соотношение цен, при котором распределение будет равновесным по Вальрасу Î x ω 0A x1A x2B Кривая «цена-потребление» для потребителя B x 1) принадлежит кривым «цена-потребление» Точка x обоих потребителей: A x B должны и Æ соответствующие наборы x максимизировать полезность потребителей A и B при некотором отношении цен. 2) B Если ’A и ’B монотонны, то x и x должны лежать на соответствующих бюджетных линиях A Æ необходимое отношение цен единственно, и равно тангенсу угла наклона прямой, проведенной ! через точки ω и x 3) Легко убедиться, что в распределении товаров уравновешены x рынки обоих Кривые «цена-потребление» пересекались и еще в одной точке: точке первоначального запаса. Значит ли это, что она тоже будет равновесием по Вальрасу при некоторых ценах? Такое возможно - но далеко не всегда: Поиск равновесия по Вальрасу: аналитическое решение Предположим, нам нужно найти равновесие по Вальрасу в экономике обмена LxM. Найдем функции чистого (избыточного) спроса каждого потребителя на каждое благо. z ik ( p, ω k ) = x ik ( p, ω k ) − ωik - чистый спрос потребителя k на благо i Функции совокупного избыточного спроса Будем называть совокупным избыточным спросом на товар i функцию: M zi ( p, w) = ∑ zik ( p, wk ) k =1 В равновесии по Вальрасу все рынки должны быть уравновешены. M То есть, для любого товара i, k ~ ∑ xi = ω i k =1 Рассмотрим это условие подробнее Î M M ⎧M k ⎧ k k k k ⎪ ∑ x1 ( p, w ) = ∑ w1 ⎪ ∑ z1 ( p, w ) = 0 ⎧ z1 ( p, w) = 0 k =1 k =1 k =1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ↔ ⎨... ↔ ⎨... ⎨... ⎪M ⎪M ⎪ z ( p , w) = 0 M ⎩ L ⎪ ∑ xLk ( p, wk ) = ∑ wLk ⎪ ∑ zLk ( p, wk ) = 0 ⎪⎩ k =1 ⎪⎩ k =1 k =1 То есть, в равновесии совокупный избыточный спрос на каждый товар должен равняться нулю. p1 ,..., ~ pL Из этой системы мы находим равновесные цены ~ подставив которые в функции маршаллианского спроса, получим равновесное распределение (~x ,..., ~x ,..., ~x 1 1 1 L M 1 ,..., ~ x LM ) На самом деле, не обязательно решать все L уравнений системы: если L – 1 рынков уравновешены, то последний рынок будет уравновешен автоматически! Об этом говорит нам закон Вальраса Î Закон Вальраса Если предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности, возрастающей хотя бы по одному товару… …то совокупная стоимость избыточного спроса в экономике равна нулю при любых ценах: L ∑ p z ( p, w ) ≡ 0, ∀p i =1 i i Доказательство: Учитывая описанные свойства предпочтений, бюджетное ограничение любого потребителя должно выполняться как равенство: p1 x1k + ... + p L x Lk = p1 w1k + ... + p L wLk ↔ p1 z1k + ... + p L z Lk = 0, ∀k Рассмотрим сумму бюджетных ограничений всех M потребителей: p1 ( z11 + ... + z1M ) + ... + pL ( z1L + ... + z LM ) = 0 ↔ p1 z1 + ... + pL z L = 0 á Допустим, рынки всех товаров, кроме товара i, уравновешены: z j = 0, ∀j ≠ i Тогда из закона Вальраса вытекает, что: pi z i = 0 → при pi > 0, z i = 0
