Задача 2. Полупространство, заполненное вязкой средой, пронизывает постоянное магнитное поле B, имеющее составляющую только вдоль плоскости границы раздела. Перпендикулярно границе в среду влетает частица c зарядом q. Сила сопротивления в среде пропорциональна скорости. Найти, при каком коэффициенте сопротивления в силе трения частица уже больше не покинет среду. Решение: Изобразим всё в сечении, перпендикулярном магнитному полю. Тогда частица будет двигаться именно в этой плоскости, поскольку сил, уводящих ее из этой плоскости, нет и не возникнет. Второй закон Ньютона: ma = −αV + q[V; B] . B dV dr dr Перепишем в виде: m = −α + q[ ; B] . dt dt dt Проинтегрируем: m(V − V0 ) = −α∆r + q[∆r; B] . ∆r Рассмотрим в качестве конечной точки случай, при V котором частица успевает повернуть так, чтобы остаться в среде, т.е. находится предельно близко к границе, а скорость ее параллельна границе. Тогда при меньшем m, q коэффициенте в силе сопротивления частица улетает, при V0 большей – остается. Изобразим полученные векторы на рисунке. В правой q[∆r; B] части уравнения в силу свойств векторного произведения векторы ортогональны. Тогда, исходя из равенства соответствующих компонент, получаем: − α∆r mV mV = α∆r ; mV0 = q∆rB . Избавимся от радиус-вектора: − m V0 V / V0 = α /(qB) . Скорость изменения угла поворота частицы не зависит от скорости и определяется циклотронной частотой вращения: ω = qB / m . Частица за время движения между указанными точками совершила поворот на угол 3π / 2 . Это означает, что прошло время t = 3πm /(2qB) . За изменение модуля скорости отвечает только сила вязкого трения. Рассмотрим dV движение вдоль траектории: m = −αV , решением этого уравнения будет: dt V = V0 ⋅ exp(−αt / m) . Подставим найденное время и приравняем отношения скоростей. α /(qB) = exp(−3πα /(2qB)) . Искомое пограничное значение коэффициента: α = qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 . Окончательным ответом на вопрос, поставленный в задаче, является: α ≥ qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 . Ответ: α ≥ qB ⋅ x , где x – решение уравнения x = exp(−3πx / 2) , x ≈ 0.274 . Примечание: интересный факт – ответ не зависит ни от начальной скорости частицы, ни от массы частицы, можно геометрически усложнить задачу неперпендикулярными направлениями начальной скорости, решение по сути такое же. Автор задачи и решения: А.В. Афанасьев.