Общее решение уравнения Кортевегакомплексная частота

Общее решение уравнения Кортевега - де Фриза
и кубического уравнения Шредингера
Якубовский Е.Г.
e-mail [email protected]
Предлагается использование метода Галеркина
решения нелинейного
уравнения в частных производных на примере решения уравнения Кортевега
- де Фриза и кубического уравнения Шредингера.
Уравнение Кортевега - де Фриза и кубического уравнения Шредингера
имеют вид см. [1]
η t + σηη x + η xxx = 0
iut + u xx + νu 3 = 0
.
(1)
Уравнение Шредингера модифицировано для возможности его решения.
Имеются дисперсионные соотношения для первого уравнения ω = − χ 3 и для
второго уравнения ω = χ 2 . Решение первого дифференциального уравнения
ищем в виде η =
N
∑
n=− N
задачи.
Подставим
cn exp[in(ωt − χx)] , где ω = − χ 3 определим из решения
это
решение
в
(1),
умножим
на
величину
exp[−im(ωt − χx)] и проинтегрируем по фазе ωt − χx ∈ [−π , π ] , получим
[(mω + m χ )δ mn − σ
3
3
N
∑
n=− N
cm−n nχ ]cn = 0 .
Где в сумме индекс коэффициента cm−n ограничен значениями − N ,..., N . Для
существования не нулевого решения необходимо, чтобы определитель этой
системы равнялся нулю
| (m − m 3 )ωα δ mn − σ
N
∑
n=− N
c( m−n )α nχα |= 0 .
Откуда определим величины ωα , причем имеем комплексные решения
ηα =
N
∑
n =− N
cnα exp[in(ωα t − χα x)] , где величина cnα определится из уравнения
[(mωα + m 3 χ α3 )δ mn − σ
N
∑
n =− N
c( m−n )α nχ α ]cnα = 0 .
Но определится одно из решений с одной частотой. Для комплексной
частоты точечное решение будет локализовано в точках Im ωα t = Im χα x . При
действительной частоте решение распределено по всему пространству
и
времени. Т.е. при действительной частоте получается волна, а при
комплексной частоте образуется частица.
Можно получить формулу и для произвольного числа частот.
Построим решение для двух частот, состоящее из решений с разными
частотами ωα , ω β , тогда имеем
{(mωα + m 3 χα3 )δ mn − σ
{(mω β + m χ β )δ mn − σ
3
3
N
∑
n=− N
N
∑
n=− N
[c( m−n )α χ α + c( m−n ) β χ β ]n}cnα = 0
.
[c( m−n )α χα + c( m−n ) β χ β ]n}cnβ = 0
С равенством нулю определителя, определятся две разные частоты
| (mωα + m χα )δ mn − σ
3
3
| (mω β + m 3 χ β3 )δ mn − σ
N
∑
n =− N
N
∑
n= − N
[c( m−n )α χα + c( m−n ) β χ β ]n |= 0
.
[c( m−n )α χα + c( m−n ) β χ β ]n |= 0
При этом решение будет иметь вид
η=
N
∑
n=− N
{cnα exp[in(ωα t − χ α x)] + cnβ exp[in(ω β t − χ β x)]}
Причем первое решение локализовано в случае комплексной частоты в
Im ωα t = Im χα x , а второе решение в точках Im ω β t = Im χ β x . При
точках
действительной частоте решение определено во всем пространстве и
времени.
Решение второго дифференциального уравнения ищем в виде
u=
N
∑
n=− N
cn exp[−in(ωt + χx)] , где ω = χ 2 определим из решения задачи.
Подставим это решение во второе уравнение (1), умножим на величину
exp[im(ωt + χx)] и проинтегрируем по фазе ωt + χx ∈ [−π , π ] , получим
[(−mω + m 2 χ 2 )δ mn − ν
N
∑
n, p=− N
cm−n− p c p ]cn = 0 .
Где в сумме индекс коэффициента cm−n− p ограничен значениями − N,..., N .
Для существования не нулевого решения необходимо, чтобы определитель
этой системы равнялся нулю
| (−m + m )ωα δ mn − ν
2
N
∑
n , p =− N
Откуда найдем ωα , причем имеем решения uα =
c( m−n− p )α c pα |= 0 .
N
∑
n =− N
cnα exp[−in(ωα t + χ α x)] ,
где величина cnα определится из уравнения
[(−m + m )ωα δ mn − ν
2
N
∑
n, p=− N
c( m−n− p )α c pα ]cnα = 0 .
При этом при комплексной частоте солитон будет локализован в точках
Imωα t = − Im χ α x . При действительной частоте солитон определен по всему
пространству и времени.
Причем индекс n у этих коэффициентов убывает при n → ∞ не медленнее,
чем по формуле cnα ~
1
, в случае если решение непрерывная функция. Это
n2
следует из свойства ряда Фурье см. [2].
Отмечу,
что
данное
решение
при
действительной
частоте
распространяется на трехмерное пространственное уравнение Кортевега де
Фриза и кубическое уравнение Шредингера.
Литература
1. Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. М.: «Наука», 1973,
622стр.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики т.II, М.: «Наука», 1974г.,
656стр.