Document 4405138

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА
А.К. Жанболова1, Г.Ж. Каршыгина2, А.Е. Омирбекова3
Казахстан, Караганда, Карагандинский
Е.А.Букетова, магистр, преподаватель
дифференциальных уравнений
2
Казахстан, Караганда, Карагандинский
Е.А.Букетова, магистрант
3
Казахстан, Караганда, Карагандинский
Е.А.Букетова, магистрант
1
государственный университет имени
кафедры математического анализа и
государственный университет имени
государственный университет имени
В статье рассмотрено сингулярное интегральное уравнение Вольтерра второго рода,
к которому редуцируется ряд краевых задач для нагруженных уравнений
теплопроводности. Ввиду неограниченности промежутка интегрирования и
особенности ядра к нему не применим метод последовательных приближений.
Построено соответствующее характеристическое уравнение, решение которого
найдено в явном виде. Для исходного уравнения применен метод равносильной
регуляризации, найден его спектр.
Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение Вольтерра второго рода,
норма оператора, метод регуляризации Карлемана-Векуа.
Ряд краевых задач для спектрально-нагруженных параболических
уравнений, а также краевые задачи для уравнения теплопроводности в
нецилиндрических областях сводятся к решению сингулярных интегральных
уравнений типа Вольтерры вида [1]-[3]

K 2 v  I   K 2  v  v t     K 2  , t  v   d  g1 t  ,
t  0,
(1)
t
где
t
K 2  , t    
 
3 / 2 


 2 
 ,

exp  
3/ 2
2    t 
 4  t  
1
(2)
2
Особенность данного класса уравнений заключается в том, что к нему не
применим метод последовательных приближений, так как ядро интегрального
уравнения (1) – функция K 2  , t  обладает следующим свойством:
 .

lim  K 2  , t  d  1 .
t 
(3)
t
Равенство (3) означает, что норма интегрального оператора, действующего в
пространстве суммируемых функций и определяемого ядром K 2  , t  , равна
единице. Это существенно отличает уравнение (1) от классических уравнений
Вольтерры второго рода, для которых решение существует и единственно.
Для
исследования
интегрального
уравнения
(1)
рассмотрим
соответствующее характеристическое уравнение, которое имеет вид:

K  v  I  λK v  v t     K  , t v   d  g1 t  ,
t
где
t  R ,
(4)
t
K  , t    
 
1 / 2

 3 / 2  1

2   t

 3/ 2


exp  


 4 t



 ,

  1  2  0 .
(5)
Для ядра характеристического уравнения K  , t  также справедливо
предельное соотношение:

lim  K  , t  d  1 .
t 
(6)
t
Для того, чтобы интегральное уравнение (4) было характеристическим
для уравнения (1), должны выполняться следующие два условия:
10 . оно должно сводиться к «эталонному» уравнению, решение которого
найдено в [4];
2 0 . разность ядер
~
K 2  , t   K  , t   K  , t 
должна обладать слабой особенностью (при t   ).
Проверка выполнения условия 10 не вызывает затруднений.
Справедливость условия 2 0 следует из утверждения следующей теоремы:
Теорема 1. При выполнении условий   0 и 0  t     имеет место оценка:
K 2  , t   K  , t   C  
t
 3/ 2
1


 1 
 exp  C  
  t 
 t

2
(7)
и выполняется предельное соотношение

lim
t 
 K  , t   K  , t  d  0 .
2
t
Используя решение эталонного уравнения [4] запишем решение
характеристического интегрального уравнения (4) в следующем виде   0 :

v t   ~ 

1 
 
1 
t


1

 t  2  1
 g1 t      

r -    1    
 
 
 
t
N2
g1 d  
k  N
1
где
  iz k  
c t 1   / 2  exp 
 t ,
k
 



t  R  (*),
2
pk   ln 2   arg   2k    i  2arg   2k  ln  , k  Z



 m2 
1
m
 ,   1, y  R ,
r   y  
m    exp 
3/ 2 
2    m1
 4y 
 N1 1

r   y   2   p k  exp  pk  y   2   p k  exp  pk  y  
k  

1
2  y 
3/ 2
 m2 
 m

,

exp

 4y 
m
k  1


k  N 2 1
Re p k  0 ,   1, y  R
 ln   arg  
 N1  k  N 2 , N1  
,
2


 ln   arg  
N2  

2

.
Линии, описываемые уравнением   exp  arg   2k  , делят комплексную
плоскость параметра  на непересекающиеся области Dm , m  0, 1, 2, ... ,
следующим образом:

2 n 1
 D
D2 n  Dn1  Dn2  \
k ,
k  1


2n
D1  , D2 n 1  Dn1  Dn2  \  Dk ,
(8)
k 0
где
Dn1   :   exp2n  1  arg  , Dn2   :   exp2n  arg  ,
n  0, 1, 2, ... Внешние части границ Dm , m  0 ,1, 2 ,..., областей Dm , m  0 ,1, 2 ,...,
обозначим соответственно через Г m , m  0 ,1, 2 ,... .
Решение исходного интегрального уравнения найдем методом
регуляризации Карлемана-Векуа. Введем обозначение
~
K  , t   K 2  , t   K  , t 
(9)
и запишем исходное интегральное уравнение (1) в виде


~
~
Κ  v~  v t     Κ  , t v   d    Κ  , t v   d  g1 t 
t
(10)
t
Рассматривая уравнение (10) как характеристическое, то есть считая
правую часть этого уравнения временно известной запишем его решение
1  / 2
t  



 

N2


~
p

1  / 2
exp  k t   .
 g1   d    K  ,   v   d   d   ck t


k   N1





~
t








v t  g t    Κ t ,  v  d     

t
t 
 1
 
r  


Преобразуем правую часть последнего равенства
1  / 2

t
v t   g1 t      

t 


  1r   




t  
 g1   d 



~
 pk  
1  / 2
c
t
exp

t


K   , t  v   d  


 k



k   N1

N2
1  / 2
t   ~
(11)
 K  ,  d



Поменяв ролями переменными интегрирования  и  в повторным


t
   v   d    

t
t 


  1  r   



интеграле последнего уравнения получим новое регуляризованное уравнение
относительно искомой функции v t  :


 

~

Κ  v  I  K  v  v t     Κ  , t v  d  g t  
t
p

ck  t 1   / 2  exp  k  t  

 (12)
k   N1
N2

где использовали обозначения:
1  / 2

t
~
~
Κ t ,    Κ t ,       

t 

  1r   




~
t   ~
~
~
 Κ   ,   d  Κ t ,    Κ t ,   (13)



1  / 2


  1r   



t
g1 t   g1 t      

t 


t  
g   d .
  1
(14)
Покажем, что интегральное уравнение (12) действительно регулярное
(имеет единственное решение), для этого достаточно показать справедливость
следующей оценки:
t 

 1 



exp

C



,
 t
 1 / 2 / 2   t 1 / 2

0     / 2,   0, 0  t     .

K    C  
(15)
Для регуляризации особых интегральных уравнений с бесконечным
пределом интегрирования целесообразнее переходит к уравнениям на конечном
интервале. Поэтому в начале преобразуем интегральное уравнение (11) к
уравнению на конечном интервале. Для этого в нем произведем замены
независимых переменных
   11
t  t11 ,
и получим:
t1
t1
~
v t1     Κ t1 ,  1 v  1  d 1    Κ ' t1 ,  1 v  1  d  g1 t1  ,
'
0
где
(16)
0
~
K ' t1 , 1   K 2' t1 , 1   K ' t1 , 1  ,
(17)
Соответственно равенства (12) - (14) примут вид:


t1
 ' ~
 '

Κ  v  I  K v  v t1     Κ ' t1 , 1 v 1 d 1 


0

 g t1  
N2

k   N1
p

c k  t11 / 2  exp  k  t   ,


(18)
здесь использованы обозначения:
1 / 2
  
t1
'
 
~'
K t1 , 1   K t1 , 1      
 1  t1 
1
   1  r    t1    

~

~
 K ' t1 , 1     K ' t1 , 1 ,
t
1
1  / 2
 

g 1 t1   g 1 t1      1 
t
0  1 

 1
  1

  t1 
 r  



1

    
1 



1 
~'
  K   1 ,  d 

(19)
 1
  g1   1  d 1 .


(20)
Теперь покажем, что интегральное уравнение (18) действительно
регулярное (вольтеррово), для этого достаточно доказать справедливость
следующей леммы:
Лемма 1. Ядро интегрального уравнения (18) имеет слабую особенность,
т.е. справедлива оценка

t1   1 


exp

c



,
t


 11 / 2 t1   1 1 / 2
1
1

0     / 2 ,   0 , 0   1  t1  

K ' t1 ,  1   C
t11/ 2
(21)
~

~
~
Доказательство. Так как K ' t ,  имеет представление K ' t ,    K ' t ,  ,
то оценка (21) следует нижеприведенных соотношений. Используя следующее
двойное неравенство [5] [с.55]:
C1 t  1 t    t      C2 t  1 t   , C1  min 1,  , C2  max 1,  ,
вначале получим   1  2  0 :
1 / 2
t
~
 C  t    
  1 / 2 t  / 2
~'
 1   
 d 




K t ,  M 1   


exp   1
 


t




t







t
 M 2   
 1

 
 
 
1 / 2

 C 2   t 
  1 / 2 t 3 / 2 3 / 2
 

exp
t 
   t   3 / 2


 d  J 1 t ,   J 2 t ,  .

Здесь C j  , M j  , j  1, 2 - постоянные, зависящие только от  , функции
J1 t , , J 2 t ,  соответственно равны:
J 1  M 1  

 C   t    
t
 d  M 1   1 / 2 I 1 t ,   ;
exp   1

t

   t   


t
t
  
1 / 2
1
1 / 2
 C 2   t   
t
 
 d  M 2   1 / 2 I 2 t ,   .
exp
1 / 2 
3/ 2
1/ 2
t 


   


 t   
Далее, каждую из функций I1 t , , I 2 t ,  представим в виде суммы из двух
J 2  M 2  
слагаемых:
t  1 / 2
t
t
I1 t ,   I11 t ,   I12 t ,  ;
I 2 t ,   I 21 t ,   I 22 t ,  ,
для каждого из которых последовательно будем иметь:
J11 t ,  
t 
2
  
 C   t

C  
t 


1

0
1 / 2
 C   t    
1
 d 
exp   1
t
   t   


t 
2
t d
 t        
dz
z2  / t

C  
ln
t 
z2 

t 
1 
t 

t /  t / 1 
C   1  1   / t C   1  2
ln

ln

t 
 /t
t 
 /t
1 


 
C1  C2  / t  ln t  t /    
t  


1

C1  C3 t /  
t 
где значение параметра  выбирается из условия 0     / 2 ;

I12 t ,  
t
 2 

 
 t    
 t 

 C   
 t    
 1 / 2
I 21 t ,   


C  
t 
 1 / 2
t
t 
/2


t   / 2
C1  t   
t
 C1   t    
 d 
t  1

1
  t    exp  
t
1
t 
 z
t   / 2
 C1   t    
 d 

t 

1
   1 / 2    t    exp  
t   / 2


 1 / 2
 C  t      C1  t    
exp   1  1

d

t
t  1 / 2

 

C  
t 


exp
 z dz
2
C  

t 
0
 C 2   t  
t  1 / 2
 
exp
t 
t   3 / 2    1 / 2


 d  C  




 
C1  C 2  / t  ln t  t /    
t  

1
1
t 
C
;
t 
2
t d
 t   
    



 C3 t /   ,
1
где последнее неравенство получается также как при оценке функции I11 t ,  , и
значение параметра  выбирается также из условия 0     / 2 ;
t
 C 2   t   
t  1 / 2
 d 
I 22 t ,    
exp  
3/ 2
1/ 2


t






t





t   / 2





С  
t  1 / 2
t

t   t   
t 
3/ 2
/2
С  
t  1 / 2
t

t   t   / 2 t   
С  
t 
t
3/ 2
t  1 / 2
 t   
3/ 2
0

C  
 C   t t   
exp   3
t 

 C   t  1
exp   3

t 

 C   t  1
exp   4

t 



t   / 2
t
/2

 d 



 
1  
 t
z
 d 


t  1 / 2

2 t 
 d 

 1 / 2

t
d

dz 
3/ 2
4t   
exp  z 2  dz 
C  
t 
.
j  1, 2 , 3 , 4 , разные и зависят
В этих неравенствах постоянные С  , C j  ,
только от  . Из полученных неравенств следует искомая оценка (21). Лемма
доказана.
Итак, в силу оценки (21) для заданной правой части уравнение (18), а
вместе с ним и уравнение (12) имеет только единственное решение,
существование которого можно показать методом последовательных
приближений.
Из соотношений (10) и (12) следует, что однородное уравнение
K 2 v  I  λK 2  v  v t   


K 2  , t  v   d  0 ,
t  R ,
(22)
t
равносильно неоднородному уравнению:

K  v  v t   


K  , t     d 

p

ck  t 1 / 2  exp  k  t   ,


N2

k   N1
t
t  R , (23)
Рассмотрим вместо (23) семейство интегральных уравнений:

K    v t   


t

p

K t ,  v   d  t 1 / 2  exp  k  t   ,


k   N1 , ...., 0 , N 2 ,
(24)
t  R
Далее, в силу того, что каждое из уравнений (24) имеет единственное
нетривиальное решение vk t , k   N1 , ..., 0 , ... , N 2 (соответствующее правой части
 pk

 t   , то для каждого значения параметра   C \ D0


эти функции vk t , k   N1 , ..., 0 , ... , N 2 , будут соответствующими собственными
уравнения (24) t 1 / 2  exp 
функциями однородного уравнения (22) (а значит, и однородного для (1)
уравнения).
Теорема 2. Значения   D0 из (8) является регулярными числами оператора
K 2  (1).
Теорема 3. Множество C \ D0 составляет характеристические числа


m
оператора K 2  (2). Причем, если   Dm  m 1 \  1 e m , m 1, 2 , ..., то
dim Ker K 2    m ; и соответствующими собственными функциями будут
решения уравнений (22):
 

vk t   K 
1
 1 / 2
p

 exp  k  t   ,
t



k 1, .... , m  N1  N 2  1 .
Общим решением неоднородного интегрального уравнения (12), равно как и
уравнения (1), будет функция:
 

v t   K 
1
gˆ t  
m  N1  N 2 1

k 1
ck  vk t ,
t  R ,
где c k - произвольные постоянные, k 1, ... , m .
Список литературы
1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая
школа, 1995. – 205 с.
2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука,
2012. – 232с.
3. Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Нагруженные уравнения как
возмущения дифференциальных уравнений. – Алматы: ҒЫЛЫМ, 2010. –
334 с.
4. Akhmanova D.M., Dzhenaliev M.T., Ramazanov M.I. On a particular Volterra
integral equation of second kind with a spectral parameter.// Siberian
Mathematical Journal, 2011.-Vol. 52. - №1. – P.1-12.
5. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства, М.: Иностранная
литература, 1948, 456с.