Document 489414

Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале
Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: q1  q  t  . В самом общем виде функция Лагранжа выглядит так:
L q; q; t  
1
aqq 2  Uq; t 
2
(1)
Величина aq - некоторая функция обобщенной координаты q . Уравнение Лагранжа и
начальные условия имеют вид:
U  q; t 
d
;
 a  q q  
q
 dt
 q  t  0  q ; q  t  0   q ;
0
0

(2)
В общем виде, при произвольной потенциальной энергии U q; t  , зависящей как от координаты
q , так и от времени t , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е.
U  U q
(3)
Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что
решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости U q , по
крайней мере в квадратурах.
Т.к. в этом случае L / t  0 , то E  Const и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии:
1
aqq 2  Uq  E
2
(4)
Из уравнения (5.4) находим, что
q 2 
2 E  Uq
;
aq
dq
2

E  Uq .
dt
aq

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
dt  
aq
dq
2
E  Uq
Его общее решение имеет вид:
1
(5)
t 
aq
dq  C
E  Uq
1 
2

(6)
Решение уравнения (6) можно также записать в виде:
q
t 
1 
aq
dq



E

U
q
2

(7)
q0
Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость t  t q; E, С , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и
разрешить относительно обобщенной координаты q , то мы получим закон движения частицы в
явном виде: q  qt ; E, C и задача будет полностью завершена.
Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия E и произвольная константа C . Если величина q есть обычная декартова координата qt   x t  , то величина aq  m - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так:
L x ; x  
1
m x 2  Ux 
2
(8)
Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона:
U  x 

;
 mx  t   
x

 x  t  0   x 0 ; x  t  0   v 0x ;

(9)
Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом:
m 2
x  Ux   E
2
(10)
Отсюда находим, что
dx
2

E  U x  , т.е.
dt
m
dt  
m
2
dx
E  U x 
(11)
так, что
t 
m
2

Решение уравнения (11) можно также записать в виде:
2
dx
C
E  Ux 
(12)
x
dx 
E  U x 
(13)
 Ux 0   E0
(14)
E  Ux 0 
(15)
m
2

t 
x0
Здесь
E
 
m
v0 x
2
v0 x   
2
2
m
Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии T  U  E следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где
E  T  U  U x 
(16)
Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. Корни уравнения
E  U x 
(17)
определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках T  0 и, следовательно,
x  v x  0 .
Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит
между этими точками в ограниченной области пространства. Такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица
уходит
ность.
на
U(x)
бесконеч-
Рассмотрим,
A
C
B
например, зависимость
C
E
U x  , изображенную
на рисунке. Проведя на
U(x)
этом рисунке горизонE
тальную прямую, соответствующую заданному значению полной
xA
xB
энергии E , можно сра3
xC
x
зу определить точки остановки (A, B и C) и области доступного движения.
На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» AB , между точками остановки x A и x B . Область доступного инфинитного движения это область x  x C . Достигнув точки x C , частица останавливается. В точке x C на частицу действует сила Fx  U / x x  x
 0 , которая заставляет изменить направление
C
движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область x  x C .
Вычисление периода одномерных колебаний
Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки x A и x B . При этом время движения от x A к x B и обратно, от x B к x A одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой
точке x A . Тогда
x B E 
T E  2
m 
2 

x A E 
dx
E  Ux 
(18)
Координаты точек остановки x A и x B ,
U(x)
определяемые из уравнения (17), зависят от
энергии E .
Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и
собственную частоту 0 гармонических
колебаний тела m на пружине жесткостью
E
 , если задана энергия системы E  0 .
Т.к.
потенциальная
энергия
пружины
Ux   x 2 / 2, то формула (18) принимает вид:
4
x2

m
T E  2
2


x2
dx
E  x / 2
2
2
m
2E 

dx
1   / 2Ex
2
/
x1
x1
Точки остановки x 1   2E /  и x 2 
ния y 
2E /  . Делая замену переменной интегрирова-
 / 2E  x , приводим интеграл к виду
T E  2
В результате имеем:
m

m
;

T  2
1





1
dy
1  y2
0 
2

T
2
m
ar csin y11 ,


.
m
Видим, что в поле Ux   x / 2, период колебаний не зависит от энергии системы. Не труд2
но сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле:
A  x 2 E  2E /   1/ 0  2E / m .
5