гипотеза о существовании асимптотических движений в

функциональный
1982, т.
анализ
16, вып. 4,
и его
приложения^
72-73.
УДК 517.9
ГИПОТЕЗА О СУЩЕСТВОВАНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ
ДВИЖЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В. В. К о з л о в
1. Д в и ж е н и е
Лагранжа
механических
d
If
систем
дЬ
дЬ
дх == дх
описывается
известными
уравнениями
^
'
^ ^ ^
с «натуральным» л а г р а н ж и а н о м L ~ к {'\ х) — и [х), где /с = < К {х) г, ? ; / 2 — поло­
жительно определенная квадратичная форма (кинетическая энергия), а и: R^^ —^ R —
потенциальная энергия системы. Координаты х всегда можно выбрать т а к , чтобы
К (0) = Е. Пусть и' (0) = 0. Тогда х {t) ^ 0 — «равновесное» решение у р а в н е н и й
Л а г р а н ж а . Решение х {t) Ф О назовем асимптотическим, если х {t) ^ О п р и ^ —^ оо .
Из интеграла энергии к -\- и = const следует, что тогда х (t) тоже стремится к н у л ю .
Если и (х) имеет в точке х ^= О локальный минимум (не обязательно строгий), то у р а в ­
нения Л а г р а н ж а не имеют асимптотических решений (к точке х = 0). Кажет^ся п р а в ­
доподобным, что асимптотические решения существуют, если д:; = О не я в л я е т с я точкой
локального минимума аналитической ф у н к ц и и и (х). В бесконечно дифференци­
руемом случае это у ж е не так. П о с к о л ь к у у р а в н е н и я д в и ж е н и я обратимы ( ф у н к ц и я
X (—t) тоже я в л я е т с я решением), то из сущ;ествования асимптотических решений выте­
кает неустойчивость равновесия х =^ 0. Обратное неверно. Вот простой п р и м е р :
X = {х^, х^) е R2, L = ±1 + ^'1 + х1'
Теорема.
Пусть
х -= О — критическая
точка
аналитической
функции
и (х), которая не является
ее локальным
минимумом.
Асимптотическое
решение
(к точке х = 0) уравнений Лагранжа существует^ если выполнено одно из
следующих
условий'.
A) и {х) — квазиоднородная
функция^
Б) и {х) — полуквазиоднородная
функция,
B) п =^ 2 и X =^ О — изолированная
критическая
точка и {х).
2. П р и доказательстве теоремы и с п о л ь з у е т с я следующая
Л е м м а . Пусть а: =^ О — изолированная
критическая
точка гладкой
функции
и {х), которая не является ее локальным минимумом.
Если в области C/J = (х: | о; ( <^
<^ 8, U [х) <С. 0} существует дифференцируемое
векторное поле v (х) такое, что
1) '17, u'> < 0 в и~^
2 ) ^ 1 ; ' ^ , Ь>с1^
V^eR^,
^х^
и-(с=
consi>0),
3) \ V {х) \ = О (\ X \) при X -^ О,
то уравнения Лагранжа имеют асимптотическое
решение.
Д л я доказательства рассмотрим дифференцируемую функцию времени / (t) =
= ' W (х), dkldx) |^/^ч, где w = v — си'. П р и малых о У> О ж \ х \ с п р а в е д л и в а оценка
f ^ С\ ^ + ^^^' ? <^1 > О (см. [1]). Пусть решение х (t) л е ж и т на нулевом у р о в н е э н е р г и и .
Так к а к / {t) ограничена, когда х (t) е f7~, и / ^ ои'\ то х (t) либо покинет за конечное
время малую область U~^ либо будет асимптотически п р и б л и ж а т ь с я к точке х = О,
Предположим, что у р а в н е н и я не имеют асимптотических решений. Пусть х^ е С7~
и ^ш -^ О п р и т —^ оо. Проходящие через них т р а е к т о р и и покидают область U~, п е р е ­
секая сферу I о: I = 8 в некоторых точках г/^ с некоторыми скоростями v.^. Рассмотрим
последовательность решений х^^ (t) с н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и Xm(0) = yjri',
^т(^)== —Vm- Д л я любого Г > 0 , начиная с некоторого номера т , значения х^ (t) е 6 ~
при о ^ ^ ^ Т. Последовательность ф у н к ц и й Хт (t): [О, Т] -^ U~ равностепенно н е ­
прерывна (так к а к согласно интегралу энергии | i^ | ^ >^, х >> 0). По теореме А р ц е л а ,
существует подпоследовательность х^ (t), с х о д я щ а я с я на [О, Т] к некоторой непрерыв­
ной функции х^^"^ (t). Н а ч и н а я с некоторого номера р определены ф у н к ц и и х^ (/):
[О, 2Т] ^ и~, причем из этой последовательности можно выделить подпоследователь­
ность равномерно сходящуюся к функции х^^^ (t). Н а [О, Т] ф у н к ц и и :г;^^^ (^) и х^^^ {t)
Существование асимптотических движений
73
совпадают. Продолжая этот процесс неограниченно, получим предельную непрерывную
функцию X (t): [О, оэ) —^ и~. Поскольку решения непрерывно зависят от начальных
данных, то X (t) дифференцируема и удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Так как
X (t) ^ и~ при всех ^ > О, то х {t) -^ О при t -^ сю.
3. Пусть сначала критическая точка х = О изолирована. Многочлен и (х) —
квазиоднородная функция степени s e N с показателями а^, . . ., а^^ ^ ^^ если при
любом А. е R имеем и {Х'^^^х^, . . ., X '^х^) = Х^и {xi, . . ., х^). В случае А) можно по­
ложить V (х) = Dx, где D =--- diag (а^, . . ., а^). Функция и (х) полуквазиоднородна,
если и = UQ -{- щ, где UQ — квазиоднородная функция степени s с изолированной осо­
бенностью, а щ = о {\ X \^), \ X \^ = 11 \ xi\
^ — «квазиоднородная» норма в R^. В случае
Б) поле V (х) является некоторым возмущением поля Dx (см. [1]). В случае В) вектор­
ное поле V построено в работе В. П. Паламодова [2] (в предположении, что К (х) ^
= £•; в работе [3] предложен прием, позволяющий обойти эту трудность). Оно, правда,
не везде дифференцируемо, однако это не влияет на существование асимптотического
решения. Если в случае А) критическая точка ж = О не изолирована, то наличие асимп­
тотического решения можно доказать следующим образом. Рассмотрим функцию
/ (t) = ^Dz (t), z (t)), где z (t) — решение с нулевым запасом полной энергии. Можно
показать, что при малых е в области 6~ справедлива оценка f^—c^^u,
с^^О. Приме­
няя рассуждения п. 2, получим «предельное» решение х (t) такое, что х {t) е й~ при
достаточно больших t и замыкание траектории х (t) содержит точку х = 0. Очевидно
равенство 2 / = ^ 2 a ^ : z : ^ , где ^ = 1 п 2 а ^ л - ^ ^ Вдоль решения х (t) функция / ( ^ ) < 0 .
Значит, функция g (t) монотонно убывает, принимая при этом сколь угодно большие
отрицательные значения. Следовательно, ^ (^) —. —оо при t—^ оо ж поэтому x{t)—^0.
ЦИТИРОВАННАЯ
ЛИТЕРАТУРА
1. Козлов В. В.— УМН, 1981, т. 36, № 3, с. 215—216. 2. Паламодов В. Л —
Функц. анализ, 1977, т. И , № 4, с. 42—55. 3. Козлов В. В.— УМН, 1981, т. 36, № 1,
с. 209—210.
Московский государственный
университет
Поступило в редакцию
23 ноября 1981 г.