Необходимые и достаточные условия локального минимума в задачах математического программирования (справочный обзор) 1. Задача безусловной минимизации: Необходимые условия: 1.1. В точке нет направлений спуска, т.е. 1.2. 1.3. Теорема Ферма: . имеет локальный минимум в точке стационарна, т.е. 1.4. Квадратичное условие: стационарна и . Достаточные условия: стационарна и 2. Задача на условный экстремум ; линейно независимы; Общая функция Лагранжа при нормальная; вектор касательный к множеству D в нормальной точке удовлетворяет линеаризованным (в ) ограничениями задачи – , если Необходимые условия 1-го порядка: 2.1. В нормальной точке нет направлений спуска функции f, касательных к D в точке , т.е. не совместна линейная система 2.2. Принцип Лагранжа: множителей (причем с единственным набором в нормальном случае и с набором вида в анормальном). Необходимые условия 2-го порядка требуют введения дополнительных объектов: множество всех наборов Лагранжа, с которыми удовлетворяет принципу Лагранжа и нормированных, например, условием если нормальная точка, то состоит из одной точки; конус критических направлений в точке условиями верхняя огибающая (максимум) по функции Лагранжа в точке , т.е. (это уже не квадратичная форма, если 2.3. , который задается линейными вторых дифференциалов состоит более чем из одной точки!) Квадратичные необходимые условия локального минимума (а) – упрощенный, нор-мальный случай): а) стационарная и, в случае нормальности, на всех касательных векторах к множеству D в б) в общем случае (т.е. ); стационарна и 2.4. Квадратичные достаточные условия строгого локального минимума (получаются усилением условия 2.3): а) стационарная и, в случае нормальности, б) в общем случае стационарна и (если не содержит нетривиальных векторов, - то это условие считается выполненным автоматически). 3. Задача оптимизации с ограничениями типа неравенства где все Функция Лагранжа множество индексов ограничений, активных в точке , дополненное индексом «0» целевой функции; обычно называют просто множеством активных индексов; Необходимые условия 1-го порядка: 3.1. Не существует направления спуска в , общего для всех «активных» совместна следующая система строгих линейных неравенств , т.е. не 3.2. Редукция к негладкой задаче оптимизации без ограничений: функция имеет безусловный локальный минимум в . 3.3. Принцип Лагранжа: вектор , такой, что выполняются условия: множество всех наборов множителей Лагранжа , с которыми удовлетворяет принципу Лагранжа и нормированных условием (вместо «1» можно брать любое число > 0). Принцип Лагранжа условию Если он выполнен, то называется стационарной точкой задачи. Условия 2-го порядка конус критических направлений в точке нестрогих линейных неравенств , который задается системой максимум по вторых дифференциалов функции Лагранжа в точке , т.е. 3.4. Квадратичная необходимость: стационарна и 3.5. Квадратичная достаточность для строгого локального минимума в : стационарна и 5. Безусловная минимизация функции максимума (негладкая задача без ограничений) где не дифференцируема в общем случае, но имеет производную по любому направлению, которое вычисляется по формуле , где множество активных индексов в . 5.1. Редукция к гладкой задаче с ограничениями-неравенствами (ср. с 3.1): рассматриваемая задача эквивалентна следующей задаче в : применимость к данной негладкой задаче всех условий для задачи 3. В частности отсюда (или из формулы для производной по направлению) выводится 5.2. Необходимое условие локального минимума в : , такой, что (для ). 6. Задача выпуклого программирования где все выпуклые функции на , выпуклое множество в . Функция Лагранжа Теорема Куна-Таккера: 1. Необходимость. Если решение задачи, т.е. , то существует набор множителей Лагранжа , такой, что выполняются условия: а) б) ( принцип минимума). 2. Достаточность. Если в наборе множитель нормальности), то решение задачи. (выполнено условие 3. Условие регулярности Слейтера, гарантирующее нормальность: . При выполнении условия регулярности Слейтера эта теорема переформулируется в форме теоремы о седловой точке нормальной функции Лагранжа: Теорема Куна-Таккера о седловой точке. Если выполнено условие Слейтера, то следующие условия равносильны: 1) решение задачи; 2) существует вектор , такой, что точка является седловой точкой нормальной функции Лагранжа на множестве , т.е. . Левое равенство означает, что ограничений-неравенств является решением выпуклой задачи без (при это задача без ограничений). Более того, из него следуют условия дополняющей нежесткости.