МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики, механики
и компьютерных наук
________________________М.И.Карякин
«03» июля 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория возмущений»
Направление подготовки (специальность)
прикладная математика и информатика 010501
Профиль подготовки «Математическая кибернетика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр, специалист
Курс 4 семестр 7
Форма обучения очная
Программа разработана
Левенштам В.Б., профессор, д.ф.-м.н., доцент
Ростов-на-Дону
2012
СОДЕРЖАНИЕ
Ключевые слова . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
Учебно-тематический план .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
6
Пояснительная записка
.
Учебные модули
.
Краткое содержание программного материала
Перечень рекомендованной литературы
.
.
.
Контрольные вопрсы для подготовки к экзамену
Экзаменационная программа
.
.
.
.
.
.
.8
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: асимптотические разложения, метод Линдштедта-Пуанкаре, метод усреднения, метод многомасштабных разложений, метод ВКБ, метод пограничного слоя
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Целью и задачами данной дисциплины являются :

изучение студентами асимптотических методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый или большой параметр

освоение ими понятий: регулярного и сингулярного возмущений,
асимптотической последовательности и асимптотического разложения ,
включая важные свойства последнего; освоение методов: прямого разложения, Линдштедта-Пуанкаре, перенормировки, многих масштабов,
усреднения, Крылова-Боголюбова, пограничного слоя , сращивания
асимптотических разложений, ВКБ
Актуальность курса. Тематика спецкурса занимает важное место в об-
разовании студента- математика. Впрочем, такой курс очень полезен и для
других студентов мехмата. В подтверждение этих слов приведу, прежде всего,
цитату из книги А.М.Ильина и А.Р. Данилина «Асимптотические методы в
2
анализе» (попутно отмечу, что академик Ильин А.М. - выдающийся современный математик): «Асимптотика — понятие, знакомое всем со школьной
скамьи по асимптотам гиперболы, занимает незаслуженно малое место в программе университета. Между тем асимптотические методы и асимптотический анализ к явлениям отражены чуть ли не в половине современных исследований по математике, физике, механике и многим другим наукам.»
В данном спецкурсе речь идет об асимптотических методах, предназначенных для приближенного решения дифференциальных уравнений. Великий Ньютон, который изобрел дифференциальные уравнения, считал это своим важнейшим достижением. Он исходил из того, что законы природы описываются дифференциальными уравнениями. При этом дифференциальные
уравнения очень редко решаются аналитически, т.е. в элементарных функциях и квадратурах (данный факт следует из теории, которую построил Лиувилль, когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений,
начиная с пятой степени, в радикалах). В связи с этим возникла необходимость развития приближенных методов решения дифференциальных уравнений. К приближенным относятся численные и асимптотические методы, которые не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Отмечу, что курс численных методов для студентов-математиков относится к основным.
Специальность 010100 математика
Лекций – 36 часов
Отчетность по курсу – экзамен в 7-ом семестр
Учебно-тематический план
№
Наименование темы
п/п
Аудитор./
/самост.
работа
(часы)
3
Анализ размерностей и некоторые задачи, приводящие
1.
4 /4
к теории возмущений
Определение
2
асимптотического
разложения.
Един-
2 /2
ственность
3.
Свойства асимптотических разложений
4/4
4.
Метод прямого разложения. Теорема Пуанкаре
2 /2
5.
Метод фазовой плоскости
2/2
6.
Метод Линдштедта-Пуанкаре
2 /2
7.
Метод перенормировки
2 /2
8.
Метод многих масштабов
2 /2
9.
Вариация произвольных постоянных. Метод усреднения
2 /2
10.
К вопросу обоснования метода усреднения
2/2
11.
Метод Крылова-Боголюбова
2 /2
12.
Метод пограничного слоя
3 /3
13
Метод сращивания асимптотических разложений
3 /3
14.
Метод ВКБ. Возмущение по аргументу
2 /2
15.
Метод ВКБ. Возмущение по параметру
2 /2
УЧЕБНЫЕ МОДУЛИ
Учебный курс разбит на пять модулей.
I. Основы теории возмущений.
В этот модуль входят пункты 1-3 учебно-тематического плана.
II.Асимптотика периодического решения.
Этот модуль содержит пункты 4-7 учебно-тематического плана.
III.Методика усреднения
В этот модуль входят пункты 8-11 учебно-тематического плана.
IV. Методика сращивания асимптолтических разложений
4
Этот модуль содержит пункты 12-13 учебно-тематического плана.
V. Метод ВКБ.
В этот модуль входят пункты 14-15 учебно-тематического плана.
Комплексная цель каждого модуля: освоение основных понятий , определений и методов курса
Краткое содержание программного материала.
1. Анализ размерностей и некоторые задачи, приводящие к теории
возмущений.
Пример вычисления интеграла, приводящий к понятию асимптотического
ряда. Анализ размерностей. Примеры из механики. (/1/, гл.1; /2/, гл.1).
 Определение асимптотического разложения. Единственность.
Символы порядка и их свойства. Асимптотическая последовательность
функций. Асимптотическое разложение (в смысле Пуанкаре). Единственность асимптотического разложения по данной асимптотической последовательности. Асимптотический ряд не определяет однозначно функцию. Термины «асимптотическое разложение», «асимптотический ряд», «асимптотика» - синонимы. Асимптотическое разложение в смысле Олвера (/1/, гл.1; /2/,
гл. 1; /3/, гл.1, /5/).
3. Свойства асимптотических разложений.
Эквивалентность различных определений асимптотического разложения. Линейные свойства асимптотических разложений. Произведение и частное
асимптотических разложений. Интегрирование асимптотических разложений
(/1/,гл.1).
4. Метод прямого разложения.
Приведение
уравнения
Дюффинга
к
безразмерному
виду
и
его
прямое разложение. Анализ разложения; секулярные члены. Регулярная и
сингулярная теории возмущений. Теорема Пуанкаре в регулярной теории.
(/3/, гл.4; /4/, гл.7).
5.Метод фазовой плоскости.
5
Фазовый портрет уравнения Дюффинга (/3/, гл.4; /7/).
6. Метод Линдштедта-Пуанкаре.
Изложение метода на примере уравнения Дюффинга (/3/, гл.4; /5/, гл. 7, &5).
7. Метод перенормировки.
Данный метод, как и предыдущий, применяется при построении асимптотики периодического решения. В отличие от предыдущего здесь основная замена независимой переменной производится не в исходном дифференциальном уравнении, а в прямом разложении. (/3/, гл.4; /5/).
8. Метод многих масштабов.
Описание метода. Применение его к уравнению Дюффинга и к задаче с высокочастотными слагаемыми. ((/3/, гл.4; /6/).
9. Вариация произвольных постоянных. Метод усреднения.
Изложение метода вариации произвольных постоянных на примере уравнения Дюффинга. Эвристические соображения, приводящие к формальной
процедуре метода усреднения (/3/, гл.4; /5/, гл. 7, &5).
10.. К вопросу обоснования метода усреднения.
Доказательство теоремы об усреднении на конечном временном промежутке
для систем в так называемой стандартной форме (/4/, гл. 7, &4).
11.Метод Крылова-Боголюбова.
Метод усреднения приводит возмущенную задачу к более простой, не
зависящей от асимптотичекого параметра задаче, решение которой асимптотически близко к решению исходной. Метод Крылов- Боголюбова примыкает
к последнему и позволяет эффективно построить полную асимптотику решения исходной задачи. Решение усредненной задачи является главным членом
этой асимптотики. (/2/, гл.4; /5/, гл. 7, &5).
12.Метод пограничного слоя.
Имеется большой круг задач с возмущениями, в которых зависимые переменные дифференциальных уравнений испытывают резкие изменения в узких зонах своей области определения. Такие зоны часто называют пограничными слоями. Наличие пограничного слоя часто связано с присутствием малого сомножителя при старшей производной. Для исследования указанных
быстрых изменений в исходном уравнении обычно делают замену переменных, вводя новые быстрые или растянутые переменные. Для исследования
задач с пограничным слоем используются метод пограничного слоя, метод
сращивания асимптотических разложений, метод ВКБ и др. Метод пограничного слоя является частным случаем метода сращивания асимптотических
разложений. Именно, первый применим тогда, когда решение в пограничном
6
слое экспоненциально убывает по нормли к границе этого слоя. (/2/, гл.12; /5/,
гл. 7, &5).
13. Метод сращивания асимптотических разложений.
Основная идея, лежащая в основе метода сращивания асимптотических разложений заключается в следующем. Решение задачи с пограничным слоем
(см. предыдущий пункт) представляют несколькими разложениями, причем
области, где разложения законны, перекрываются. Это и позволяет провести
сращивание разложений. (/2/, гл.12; /5/, гл. 7, &5).
14. Метод ВКБ. Возмущение по аргументу.
15. Метод ВКБ. Возмущение по аргументу.
Этот метод, название которого связано с именами физиков Г. Вентцеля,
Г.Крамера и Л.Бриуллена, применяется, в основном, к линейным уравнениям.
Он широко используется в задачах акустики, электродинамики, теории упругости, квантовой механики и др. ( /5/, гл. 7, &1-&4).
Перечень рекомендованной литературы
Основная литература
1. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.:
Физматлит, 2009.
2. Найфэ А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984.
3. Эрдейи А. Асимптотические разложения. – М.: Физматгиз, 1962.
4. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения.М.: Наука, 1985.
5. Федорюк
М.В.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
.
М.:Наука, 1985.
6. Крутенко Е.В. , Левенштам В.Б. Асимптотика решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с большми слагаемыми//
Сибирский математический журнал. 2010. Т.51, №1. С.74-89.
7. Егоров А.М. Обыкновенные диффернциальные уравнения с приложениями. М.:Наука, 2001.
8. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.:Наука, 1990.
Дополнительная литература
7
1. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. – М.: Наука,
1979.
2. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. – М.: Мир, 1966.
3. Левенштам В.Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми.– Ростов-на-Дону: изд. ЮФУ. 2008.
4.Крутенко Е.В., Левенштам В.Б. Асимптотический анализ некотрых систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром//
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009.
Т.49, №12. С.2144-2155.
5.Левенштам В.Б. Метод усреднения в эволюционных задачах (научный
обзор). – Ростов-на-Дону. 2008.
6. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний.– М.: Наука, 1974.
Контрольные вопросы
1. Рассмотреть задачу о движении частицы массы m , закрепленной на
линейной пружине с коэффициентом жесткости k и подверженной сопротивлению среды с коэффициентом вязкости q. Предполагается, что
движение начинается из полжения a с нулевой скоростью. Написать
модель движения (второй закон Ньютона) и перейти к безразмерному
виду с одним параметром при производной. Считая параметр малым,
построить предельную задачу.
2. Дать определения О- и о - символов.
3. Привести три примера асимптотической последовательности функций.
4. Дать определения асимптотического разложения в смысле Пуанкаре и в
смысле Олвера.
5. Привести пример, показывающий, что асимптотическое разложение не
определяет однозначно функцию.
6. Сформулировать линейные свойства асимптотических разложений.
8
7. Сформулировать свойства асимптотических разложений для произведения и частного функций . Для простоты считать асимптотические разложения степенными рядами.
6. Сформулировать результат о почленном интегрировании асимптотического разложения.
7. Что понимается под регулярной и что под сингулярной теориями возмущений ?
8. Что такое секулярные члены ?
9. В чем недостаток прямых разложений?
10. Что такое фазовая плоскость ?
11. Как построить фазовый портрет дифференциального уравнения?
12. В чем заключается основная идея метода Линдштедта-Пуанкаре?
13. Описать процедуру метода Линдштедта-Пуанкаре?
14.Как применяется метод перенормировки ? В чем его отличие от метода
Линдштедта-Пуанкаре?
15. Как в методе многих масштабов производная по исходной переменной
выражается (на основании правила дифференцирования сложной
функции) через частные производные по новым переменным?
16. Изложить идею метода вариации произвольных постоянных. Обратить
внимание на то, что эта идея в сжатой форме отражена в названии метода.
17.Описать формальную процедуру метода усреднения.
18. Что такое пограничные слои? Почему именно «пограничные»?
19. Описать формальную процедуру метода сращивания асимптотических
разложений.
20. Что такое ВКБ-приближения?
21. Что такое точки поворота?
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
9
1. Пример вычисления интеграла, приводящий к понитию асимптотического ряда.
2. Переход к безразмерным величинам в задаче о движении частицы, связанной с пружиной и вязким демпфером
3. Определение асимптотической последовательности и асимптотического разложения. Единственность асимптотического разложения функции
по данной асимптотической последовательности. Контрпример, показывающий, что асимптотический ряд не определяет однозначно функцию.
4. Эквивалентность различных определений асимптотического разложения. Теорема о линейной комбинации асимптотических разложений.
5. Теоремо о произведении асимптотических разложений.
6. Теоремо о частном асимптотических разложений.
7. Интегрирование асимптотических разложений.
8. Метод прямого разложения. Недостатки этого метода.
9. Понятие фазовой плоскости и фазового портрета дифференциального
уравнения.
10.Фазовый портрет уравнения Дюффинга.
11.Метод Линдштедта-Пуанкаре.
12.Метод перенормировки.
13.Метод многих масштабов
14.Вариация произвольных постоянных.
15.Метод усреднения.
16.Обснование метода усреднения.
17. Метод Крылова-Боголюбова
18.Метод пограничного слоя.
19. Метод сращивания асимптотических разложенийю
20. Метод ВКБ. Возмущение по аргументу.
21. Метод ВКБ. Возмущение по параметру.
10
Автор профессор В.Б.Левенштам
Рассмотрено и рекомендовано к утверждению на заседании кафедры
алгебры и дискретной математики
протокол № 12 от «02» июля 2012 г.
Зав.
кафедрой
__________________Штейнберг
11
Б.Я.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Рассмотрен и рекомендован к утверждению на заседании кафедры алгебры и дискретной математики
протокол № 12 от «02» июля 2012 г.
Зав. кафедрой __________________Штейнберг Б.Я.
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ
_________________________________М.И.Карякин
«03» июля 2012 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория возмущений»
Направление подготовки (специальность)
Профиль подготовки (специализация)
Квалификация (степень) выпускника
Форма обучения
Разработчик
Прикладная математика и информатика 010501
Математическая кибернетика
Бакалавр, специалист
Очная
Левенштам В.Б., профессор, д.ф.-м.н., доцент
Ростов-на-Дону
2012