дискретное матричное уравнение лурье в случае полного

ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
ÓÄÊ 517.977.55
ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÅ ÌÀÒÐÈ×ÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ËÓÐÜÅ
 ÑËÓ×ÀÅ ÏÎËÍÎÃÎ ÂÛÐÎÆÄÅÍÈß ÂÅÑÎÂÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ
ÏÐÈ ÓÏÐÀÂËßÞÙÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ Â ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÊÀ×ÅÑÒÂÀ1
À.È. Ïåðîâ
Âîðîíåæñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Ïðèâîäÿòñÿ ñâîéñòâà ñèíãóëÿðíîãî îïåðàòîðà Ëóðüå îòíîñèòåëüíî âûïóêëîãî êîíóñà äîïóñòèìûõ ìàòðèö (ïîëîæèòåëüíîñòü, ìîíîòîííîñòü, âûïóêëîñòü). Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå ñëàáîé ñèíãóëÿðíîñòè ïðèìåíèìà òåîðèÿ âîãíóòûõ îïåðàòîðîâ Êðàñíîñåëüñêîãî.  ñëó÷àå ñèëüíîé ñèíãóëÿðíîñòè îïåðàòîð Ëóðüå ñ ïîìîùüþ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû ïðîäîëæàåòñÿ íà êîíóñ âñåõ ñàìîñîïðÿæåííûõ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö. Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â óñëîâèÿõ äèñêðåòíîé ÷àñòîòíîé
òåîðåìû Êàëìàíà-Ïîïîâà-ßêóáîâè÷à óðàâíåíèå Ëóðüå âñåãäà èìååò ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå.
 òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèñêðåòíûìè ñèñòåìàìè [1-3] âàæíóþ ðîëü èãðàåò äèñêðåòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ðèêêàòè, êîòîðîå
òàêæå íàçûâàþò ÷àñòî óðàâíåíèåì Ëóðüå,
S = Φ * ( S − S Γ ( C + Γ * S Γ ) −1 Γ * S ) Φ + R .
Âñå âñòðå÷àþùèåñÿ ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè, ïðè÷åì Φ - êâàäðàòíàÿ n × n - ìàòðèöà, Ã
- ïðÿìîóãîëüíàÿ n × m - ìàòðèöà, R - êâàäðàòíàÿ n × n - ìàòðèöà, C - êâàäðàòíàÿ m × m ìàòðèöà; êâàäðàòíàÿ n × n - ìàòðèöà S ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò ïåðåõîä ê òðàíñïîíèðîâàííîé è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ìàòðèöå). Êðîìå ýòîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöû R è C - ñàìîñîïðÿæåííûå è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûå: R * = R, R ≥ 0; C * = C , C ≥ 0
(íåðàâåíñòâà ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì); èñêîìàÿ ìàòðèöà S òàêæå ñ÷èòàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííîé è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé. Ìû íàçûâàåì óðàâíåíèå Ëóðüå ðåãóëÿðíûì èëè ñèíãóëÿðíûì â çàâèñèìîñòè îò òîãî,
ðåãóëÿðíîé (det C > 0) èëè ñèíãóëÿðíîé (det C =
0) ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà C. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ñèíãóëÿðíîãî ñëó÷àÿ (ðåãóëÿðíûé ñëó÷àé áûë ïîäðîáíî ðàññìîòðåí íàìè
â [4]); áîëåå îïðåäåëåííî - ìû ðàññìîòðèì âåñüìà âàæíûé äëÿ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîãî «äåøåâîãî» óïðàâëåíèÿ (C = 0), êîòîðûé
áûë ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ â ðàáîòàõ
Ï.Â.Ïàêøèíà [5, 6].
Ïðè ñäåëàííîì íàìè ïðåäïîëîæåíèè óðàâíåíèå Ëóðüå ïðèíèìàåò âèä
S = F ( S ) ≡ Φ ( S − S Γ (Γ * S Γ ) −1 Γ * S ) Φ + R .
(1)
Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ýòî óðàâíåíèå äëÿ òåõ
ìàòðèö S, äëÿ êîòîðûõ Γ*SΓ > 0 (òàêèå ìàòðèöû
áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûìè). Ôîðìóëà (1) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Ëóðüå áóäóò
òå è òîëüêî òå ìàòðèöû S, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè îïåðàòîðà Ëóðüå F .
Èç äèñêðåòíîé ÷àñòîòíîé òåîðåìû Êàëìàíà-Ïîïîâà-ßêóáîâè÷à (ñì., íàïðèìåð, [7]) âûòåêàåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå «äåøåâîãî» óïðàâëåíèÿ ñòàáèëèçèðóåìàÿ ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ Ëóðüå (1) èìååò ìåñòî òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
Γ *Γ > 0 ,
ïàðà (Φ, Γ) ñòàáèëèçèðóåìà,
(2)
(3)
èç Φ x + Γu = θx , ãäå x ∈ ker R , u ∈ ker C , θ = 1
âûòåêàåò, ÷òî x = 0 è u = 0(äèñêðåòíîå ÷àñòîòíîå óñëîâèå).
(4)
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (2) âûòåêàåò èç (4) ïðè x =
= 0; îíî âûäåëåíî íàìè îòäåëüíî òîëüêî èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà. Óñëîâèå (2) ïîêàçûâàåò,
÷òî ìàòðèöà Ãðàììà ñòîëáöîâ ìàòðèöû Ã ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé; ïîýòîìó
ñòîëáöû ìàòðèöû à ëèíåéíî íåçàâèñèìû è, ñëåäîâàòåëüíî, m ≤ n . Ñëó÷àé m = n îñîáåííî
ïðîñò: ìàòðèöû Ã è R äîëæíû áûòü îáðàòèìû-
147
148
À.È. Ïåðîâ
ìè (óñëîâèå (3) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè), à
ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå èìååò âèä S = R. Â
äàëüíåéøåì ìû ïðåäïîëàãàåì óñëîâèÿ (2)—(4)
âûïîëíåííûìè.
Ìû õîòèì äîêàçàòü ñòàáèëèçèðóåìóþ ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ Ëóðüå (1) ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
(5)
S k = F ( S k −1 ), k = 1,2,... ,
îòïðàâëÿÿñü îò êàêîé-ëèáî äîïóñòèìîé ìàòðèöû S 0 , è òåì ñàìûì äîêàçàòü òåîðåìó Êàëìàíà-Ïîïîâà-ßêóáîâè÷à ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Ïîïóòíî ìû ðàçâèâàåì êà÷åñòâåííóþ òåîðèþ óðàâíåíèÿ Ëóðüå [8].
Îòìåòèì îñíîâíûå òðóäíîñòè, êîòîðûå
ïðèõîäèòñÿ ïðåîäîëåâàòü â ñèíãóëÿðíîì ñëó÷àå. Âî-ïåðâûõ, ïîñòðîåíèå êîíóñà, èíâàðèàíòíîãî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà Ëóðüå. Âî-âòîðûõ, îòäåëåíèå ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåøåíèÿ îò
äðóãèõ âîçìîæíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ëóðüå.
Â-òðåòüèõ, óñòàíîâëåíèå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ê ñòàáèëèçèðóþùåìó
ðåøåíèþ. Ïîñëåäíåå, âêëþ÷àÿ äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåøåíèÿ,
îêàçàëîñü äîñòàòî÷íî ñëîæíûì, ÷òî ïîòðåáîâàëî ðàäèêàëüíîãî èçìåíåíèÿ âçãëÿäà íà îïåðàòîð Ëóðüå, îòðàçèâøåãîñÿ â åãî ïðîäîëæåíèè
íà áîëåå øèðîêèé êîíóñ. Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìîå
ïðèìåíåíèå çäåñü ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé ÿâíî èñêëþ÷åíî.
Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé âûïóêëûé êîíóñ
âñåõ ñàìîñîïðÿæåííûõ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ n × n - ìàòðèö [9, ñ. 363]
~
K = {S : S * = S , S ≥ 0}.
(6)
I ( S ) = S − S Γ ( Γ * S Γ ) −1 Γ * S ,
(8)
âàðèàöèîííûé ñìûñë êîòîðîãî áóäåò ïîëíîñòüþ ðàñêðûò íåñêîëüêî ïîçäíåå, à ïîêà çàïèøåì
óðàâíåíèå (1) â êðàòêîé ôîðìå
S = F ( S ) ≡ Φ * I ( S )Φ + R .
(9)
 ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå «äåøåâîãî»
óïðàâëåíèÿ ñèíòåçèðîâàííàÿ ìàòðèöà äîïóñêàåò ïðîçðà÷íîå ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå. Ïóñòü
P = P ( S ) ≡ Γ ( Γ * S Γ ) −1 Γ * S .
(10)
Ñ ïîìîùüþ ýòîé ìàòðèöû îïåðàòîð I çàïèñûâàåòñÿ â âèäå I ( S ) = S ( I − P ) , à ñèíòåçèðîâàííàÿ
ìàòðèöà - â âèäå D = ( I − P )Φ . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî P ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòîðîì ( P 2 = P ), ïðè÷åì S - îðòîãîíàëüíûì ïðîåêòîðîì ( P * S = SP )
îòíîñèòåëüíî
ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ
( x, y ) S = x * Sy , êîòîðîå ìîæåò è íå áûòü ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì. Ïîýòîìó ñèíòåçèðîâàííàÿ
ìàòðèöà åñòü ðåçóëüòàò S - îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ íà S - îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê
im Ã. Óêàçàííûå ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò íàïèñàòü
I ( S ) = ( I − P * ) S ( I − P ) , à óðàâíåíèå (9) ïåðåïèñàòü
â âèäå
S = D * SD + R , ãäå D = ( I − P )Φ .
(11)
Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îïåðàòîðà I , ðàññìàòðèâàåìîãî êàê îïåðà~
òîð èç êîíóñà K â êîíóñ K :
1) 0 ≤ I ( S ) ≤ S ;
2) I ( S ) = 0 ⇔ ker S + im Γ = C n ;
Ýòîò êîíóñ âïîñëåäñòâèè åùå ñûãðàåò ñâîþ ðîëü,
à ïîêà çàìåòèì, ÷òî ñèíãóëÿðíûé îïåðàòîð F
íåïîñðåäñòâåííî íà íåì íå îïðåäåëåí. Ïîýòîìó
ââåäåì âûïóêëûé êîíóñ äîïóñòèìûõ ìàòðèö
3) I ( S ) ≠ S ;
K = {S : S * = S , S ≥ 0, Γ * SΓ > 0}.
6) I (α S ) = αI ( S ) ïðè α > 0 (ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü);
(7)
Ïîñòðîåííûé êîíóñ K íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì
çàìêíóòîñòè, íî çàòî îí ÿâëÿåòñÿ, òàê ñêàçàòü,
«åñòåñòâåííîé» îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà F . Çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà F , âî âñÿêîì ñëó~
÷àå, ëåæàò
â áîëåå øèðîêîì êîíóñå K ,
~
F :K → K .
Íåëèíåéíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðà Ëóðüå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ «âíóòðåííèì» îïåðàòîðîì
4 ) Γ * I ( S )Γ = 0 ;
5) ker I ( S ) = ker S + im Γ ;
7 ) I ( S + T ) ≥ I ( S ) + I (T )
ñíèçó);
(ïîëóàääèòèâíîñòü
8) I ( S + T ) = I ( S ) + T , åñëè Γ*TΓ = 0 ;
9) åñëè S ≤ T , òî I ( S ) ≤ I (T ) (ìîíîòîííîñòü);
10) (1 − α ) I ( S ) + αI (T ) ≤ I ((1 − α ) S + α T )
ïðè 0 < α < 1 (âîãíóòîñòü).
ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
Äèñêðåòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëóðüå â ñëó÷àå ïîëíîãî âûðîæäåíèÿ âåñîâîé ìàòðèöû
Äëÿ ïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (5) â êàêîì-ëèáî êîíóñå íóæíî, ÷òîáû îí áûë èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî
îïåðàòîðà F .
Òåîðåìà 1. Êîíóñ K èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà R ïðèíàäëåæèò ýòîìó êîíóñó, ò.å.
Γ* RΓ > 0 .
(12)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü êîíóñ
K èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî F . Âîçüìåì ìàòðèöó S = ΓΓ* èç êîíóñà K . Äëÿ íåå F ( S ) = R è,
çíà÷èò, ìàòðèöà R äîëæíà ïðèíàäëåæàòü êîíóñó K , ò.å. èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (12).
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå
(12). Òîãäà â ñèëó î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà
F ( S ) ≥ R , âåðíîãî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû S èç K ,
ìû âèäèì, ÷òî Γ*TΓ ≥ Γ* RΓ > 0 , ò.å. ìàòðèöà
T = F (S ) ñíîâà ëåæèò â êîíóñå K . Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Ê ñîæàëåíèþ, íåðàâåíñòâî (12) íå âûòåêàåò
èç óñëîâèé (2)-(4), à åñòü íåêîòîðîå äîïîëíèòåëüíîå òðåáîâàíèå. Ïî ñóùåñòâó, âñå, ÷òî ìû äåëàåì
äàëüøå, ñâÿçàíî ñ èçó÷åíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà íåðàâåíñòâî (12) íå âûïîëíåíî.
Ëåììà 1. Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâî L óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
L ⊆ ker R , Φ L ⊆ L + im Γ .
(13)
Òîãäà ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ L è im à òðèâèàëüíî, L I im Γ = 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå, è
ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâî L I im Γ èìååò íåíóëåâóþ
ðàçìåðíîñòü q. Ïîñòðîèì â ïîäïðîñòðàíñòâå
L + im Γ áàçèñ f1 ,..., f d òàê, ÷òîáû âåêòîðû
f1 ,..., f p + q îáðàçîâûâàëè áàçèñ â L; f p +1 ,..., f d
áûëî áàçèñîì â im Ã, à f p +1 ,..., f p + q - áàçèñîì â
ïåðåñå÷åíèè L I im Γ . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
âåêòîðó x èç L ñòîëáåö x̂ èç êîîðäèíàò x1 ,..., x p + q
âåêòîðà x â áàçèñå f1 ,..., f p + q . Ñîãëàñíî âòîðîìó èç ñîîòíîøåíèé â (13) äëÿ ëþáîãî x èç L
âåêòîð y = Ôx ðàçëàãàåòñÿ ïî áàçèñó f1 ,..., f d ñ
êîîðäèíàòàìè
p+q
yi = ∑ ϕij x j , i = 1,..., d .
j =1
ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
149
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
îïåðàòîð Ã ïåðåâîäèò âåêòîðû e1 ,..., em áàçèñà
Cm â âåêòîðû f p +1 ,..., f p + m ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì îïåðàòîð K èç L â C m òàê, ÷òîáû âåêòîð z = ΓKx èìåë â áàçèñå f1 ,..., f d êîîðäèíàòû
zi = 0 ïðè 1 ≤ i ≤ p ;
p+q
zi = ∑ kij x j , p + 1 ≤ i ≤ p + q ;
j =1
p+q
zi = − ∑ ϕij x j , p + q + 1 ≤ i ≤ p + q + r ( = d ) ,
j =1
ãäå ìàòðèöà ( kij ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé. Ïðè
âûáðàííîì òàêèì îáðàçîì îïåðàòîðå K ìû âèäèì, ÷òî ïðè ëþáîì x èç L âåêòîð Dx = Φ x + ΓKx
ñíîâà ëåæèò â L, ïðè÷åì îïåðàòîð D : L → L èìåˆ + Γˆ Kˆ , ãäå
åò â áàçèñå f1 ,..., f p + q ìàòðèöó Dˆ = Φ
ˆ
Φ = (ϕij ) - êâàäðàòíàÿ ( p + q ) × ( p + q ) - ìàòðèöà
(i,j = 1,...,p+q), Γ̂ - ïðÿìîóãîëüíàÿ ( p + q ) × q ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé ñóòü e p +1 ,..., e p + q , à
Kˆ = (k p +i , j ) - ïðÿìîóãîëüíàÿ q × ( p + q ) - ìàòðèöà ( 1 ≤ i ≤ q; j = 1,..., p + q ). Òàê êàê ìàòðèöà K ïðîèçâîëüíàÿ, òî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî λ
ìîæíî óêàçàòü òàêóþ ìàòðèöó K = K(λ), ÷òî λ
áóäåò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû D̂ ,
Dˆ xˆ = λxˆ , xˆ ≠ 0 . Ïîëàãàÿ λ = θ , ãäå θ = 1 , è, ïåðåõîäÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó âåêòîðó x èç L, ïîëó÷àåì Φ x + Γu = θx , ãäå u = Kx . Òàê êàê
x ∈ ker R (â ñèëó ïåðâîãî èç ñîîòíîøåíèé â (13)),
u ∈ ker C = C m è θ = 1 , òî ñîãëàñíî (4) äîëæíî
áûòü x = 0 è u = 0 - âîïðåêè òîìó, ÷òî xˆ ≠ 0 .
Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç L ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäïðîñòðàíñòâ L, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (13)
(ýòî ìíîæåñòâî íå ïóñòî: íàïðèìåð, â íåãî âõîäèò L = 0). Ñîãëàñíî ëåììå 1 äëÿ êàæäîãî òàêîãî
ïîäïðîñòðàíñòâà L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé îïåðàòîð K = K ( L ) : L → C m òàêîé, ÷òî îïåðàòîð D,
îïðåäåëåííûé ïî ïðàâèëó Dx = Φ x + ΓKx äëÿ x èç
L, îòîáðàæàåò L â ñåáÿ. Äèñêðåòíîå ÷àñòîòíîå
óñëîâèå (4) ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñïåêòð îïåðàòîðà D íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ åäèíè÷íîé îêðóæíîñòüþ.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â L åñòü ìàêñèìàëüíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç L max ñîâîêóïíîñòü âñåõ
òåõ ïîäïðîñòðàíñòâ L èç L , äëÿ êîòîðûõ ñïåêòð
ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà D = D(L) ëåæèò
âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â
L max âñåãäà åñòü ìàêñèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì Lmax (ò.å. Lmax ∈ L max
è èç L ∈ L max âûòåêàåò L ⊆ L max ). Ïî ëåììå 1
èìååì Lmax I im Γ = 0 . Çíà÷åíèå ïîñòðîåííîãî
150
À.È. Ïåðîâ
íàìè ïîäïðîñòðàíñòâà Lmax äëÿ ðàçâèâàåìîé òåîðèè ïîëíîñòüþ âñêðûâàåò ïðèâîäèìàÿ íèæå òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. ßäðî ñòàáèëèçèðóþùåãî ðåøåíèÿ S ñîâïàäàåò ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì Lmax , ò.å.
ker S = Lmax .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ L = ker S, ìû â
ñèëó óðàâíåíèÿ (9) âèäèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî
L óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (13) (ïðè ýòîì ìû
âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì 5) îïåðàòîðà J ).
Äàëåå, ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (11). Òàê êàê ïî
ïðåäïîëîæåíèþ S - ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå,
òî ñïåêòð ñèíòåçèðîâàííîãî îïåðàòîðà D ëåæèò
âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî
ñîãëàñíî (11) îïåðàòîð D îòîáðàæàåò L â ñåáÿ.
Ïîýòîìó L ∈ L max è èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
ker S ⊆ Lmax .
Ïóñòü òåïåðü L - ïðîèçâîëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç L max , λ - ïðîèçâîëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà D = D(L) è x1 ,..., x p - îòâå÷àþùàÿ λ æîðäàíîâà öåïî÷êà ( λ < 1; x1 ,..., x p ∈ L ),
Dx1 = λx1 , Dx 2 = λx2 + x1 , ... , Dx p = λx p + x p −1 .
Îí òàê æå, êàê è êîíóñ K, íå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, íî ó íåãî åñòü îäíî íåîñïîðèìîå ïðåèìóùåñòâî - îí ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà F áåç âñÿêèõ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé (ñì. íèæå òåîðåìó 3). Íåòðóäíî âè~
~
äåòü, ÷òî int K = int K = int K max ⊂ K max ⊂ K ⊂ K .
Òåîðåìà 3. Êîíóñ K max èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà F , ò.å. F (K max ) ⊆ K max .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S èç K max . Ïîêàæåì,
÷òî T = F (S ) òàêæå ïðèíàäëåæèò K max . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ ker T , òî ñîãëàñíî (9) èìååì
x ∈ ker R è Φ x ∈ ker J ( S ) = ker S + im Γ (ñì. ñâîéñòâî 5) îïåðàòîðà J). Òàê êàê ker S ⊆ Lmax , òî
Φ x ∈ Lmax + im Γ . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îòñþäà
âûòåêàåò, ÷òî x ∈ Lmax , ò.å. ker T ⊆ Lmax . Òåîðåìà
3 äîêàçàíà.
 ïðîöåäóðå ïîñòðîåíèÿ «ýëåìåíòà, èäóùåãî
âïåðåä» [10, ñ. 115], âàæíîå ìåñòî çàíèìàåò ïðèâîäèìàÿ íèæå ëåììà 2. Ïóñòü S - ïðîèçâîëüíàÿ ñàìîñîïðÿæåííàÿ è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ
ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T ñîâîêóïíîñòü âñåõ
ìàòðèö T, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
0 ≤ T ≤ S , Γ*TΓ = 0 .
(15)
Ïðîâåðèì, ÷òî âñå âåêòîðû x1 ,..., x p ñîäåðæàòñÿ
â S. Äîêàçûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå áóäåì èíäóêöèåé ïî íîìåðó k âåêòîðà xk ( k = 1,..., p ). Ïðîâåäåì òîëüêî øàã èíäóêöèè. Ïóñòü x1 ,..., xk −1 ∈ ker S ;
ïðîâåðèì, ÷òî xk ∈ ker S . Èç óðàâíåíèÿ (9) ïîëó÷àåì
Êîíå÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà T ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííîé.
xk* Sxk = x*k Φ * J ( S )Φxk + xk* Rx k .
[S ] ∈ T è T ≤ [S ] äëÿ ëþáîé ìàòðèöû T èç T.(16)
Òàê êàê ïî óñëîâèþ xk ∈ R (èáî L ⊆ ker R ) è
Φ xk = λxk + xk −1 − ΓKx k , òî â ñèëó ñâîéñòâà 4) îïåðàòîðà J íàõîäèì
(1 − λ 2 ) xk* Sxk + λ 2 xk* SΓ(Γ* SΓ) −1 Γ* Sxk = 0 .
Èç íåðàâåíñòâà λ < 1 âûòåêàåò, ÷òî Sxk = 0 è,
çíà÷èò, xk ∈ ker S . Øàã èíäóêöèè ïðîâåäåí. Òàê
êàê L åñòü ïðÿìàÿ ñóììà êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà D, òî íàìè äîêàçàíî âêëþ÷åíèå ker S ⊆ Lmax . Òåîðåìà 2 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå íîâûé âûïóêëûé
êîíóñ
K max = {S : S * = S , S ≥ 0, ker S ⊆ Lmax } .
(14)
Ëåììà 2. Â ñîâîêóïíîñòè T âñåãäà åñòü ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò, ò.å. òàêàÿ ìàòðèöà [S], ÷òî
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî
íàéòè â [9, ãë. VIII, § 7, çàäà÷è 205-208], ãäå ïðèâåäåíà òàêæå ôîðìóëà [ S ] = S 1/ 2QS 1 / 2 (Q - îðòïðîåêòîð íà îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ïîäïðîñòðàíñòâó S 1 / 2 im Γ ).
~
~
Êâàäðàòíûå ñêîáêè [ ] : K → K îáëàäàþò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì îïåðàòîðà J :
1) 0 ≤ [ S ] ≤ S ;
2) [ S ] = 0 ⇔ ker S + im Γ = C n ;
3) [ S ] = S ⇔ Γ* SΓ = 0 ;
4) Γ * [ S ]Γ = 0 ;
5) ker [ S ] = ker S + im Γ ;
ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
Äèñêðåòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëóðüå â ñëó÷àå ïîëíîãî âûðîæäåíèÿ âåñîâîé ìàòðèöû
6) [α S ] = α[ S ] ïðè α > 0 (ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü);
7 ) [ S + T ] ≥ [ S ] + [T ] (ïîëóàääèòèâíîñòü ñíèçó);
8) [ S + T ] = [ S ] + T , åñëè Γ*TΓ = 0 ;
9) åñëè S ≤ T , òî [ S ] ≤ [T ] (ìîíîòîííîñòü);
ïðè 0 < α < 1 (âîãíóòîñòü);
11) [[ S ]] = [ S ] (èäåìïîòåíòíîñòü);
12) [ S ] = J ( S ) , åñëè Γ*SΓ > 0 ;
~
~
13) îïåðàòîð [ ] : K → K íåïðåðûâåí â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè íåóáûâàþùàÿ (íåâîçðàñòàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S k ñõîäèòñÿ ê S, òî íåóáûâàþùàÿ (íåâîçðàñòàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü [Sk ] ñõîäèòñÿ ê [S].
Ñâîéñòâî 12) ãîâîðèò î âàðèàöèîííîì õàðàêòåðå îïåðàòîðà J (cì. ëåììó 2). Ñâîéñòâà
12) è 13) îçíà÷àþò, ÷òî îïåðàòîð [ ] ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì (â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå) ïðîäîë~
æåíèåì îïåðàòîðà J ñ êîíóñà K íà êîíóñ K .
Ðàññìîòðèì îáîáùåííîå óðàâíåíèå Ëóðüå
~
S = F ( S ) ≡ Φ * [ S ]Φ + R ,
(17)
êîòîðîå â ñèëó ñâîéñòâà 12) ïðåâðàùàåòñÿ â
óðàâíåíèå Ëóðüå (9), åñëè ìàòðèöà S ïðèíàäëåæèò êîíóñó K. Îáîáùåííûé îïåðàòîð Ëóðüå
~
~ ~
F : K → K ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì (â óêàçàííîì
âûøå ñìûñëå) ïðîäîëæåíèåì îïåðàòîðà
~
~
~
F : K → K ñ êîíóñà K íà âåñü êîíóñ K . ßñíî,
÷òî ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëóðüå (9) îäíîâðåìåííî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé è ðåøåíèå îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Ëóðüå (17).
Ðàññìîòðèì âìåñòî (5) ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
~
~ ~
S k = F ( S k −1 ), k = 1,2,... .
(18)
Ìû âèäèì, ÷òî îí áåñïðåïÿòñòâåííî îïðåäåëåí
~
~
äëÿ ëþáîé ìàòðèöû S 0 èç êîíóñà K , òàê êàê
~
êîíóñ
K èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà
~
F . Âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (18) «ìèíèìàëüíóþ», ïîëîæèâ
~
~
~
U k = F (U k −1 ), k = 1,2,..., U 0 = 0 .
äåì øàã ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè: åñëè
~
~
U k −1 ≤ U k óæå óñòàíîâëåíî, òî~ â ñèëó ìîíîòîíïîëó÷àåì
íîñòè
îïåðàòîðà
F
~
~ ~
~ ~
~
U k = F (U k −1 ) ≤ F (U k ) = U k +1 , è íàøå óòâåðæäåíèå
äîêàçàíî. Ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (19) ñîñòîèò â òîì, ÷òî
~
~
U k ≤ S k , k = 0,1, 2,...,
10) (1 − α )[ S ] + α[T ] ≤ [(1 − α ) S + αT ]
(19)
Ïðîâåðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (19) íåóáû~
~
âàþùàÿ. Íåðàâåíñòâî U 0 ≤ U1 î÷åâèäíî. ÏðîâåÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
151
(20)
äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (18) (ñâîéñòâî
«ìèíèìàëüíîñòè»). Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî
~
~ ~
~
U 0 ≤ S0 î÷åâèäíî, è, åñëè íåðàâåíñòâî U k −1 ≤ S k −1
óæå óñòàíîâëåíî (øàã ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè), òî îïÿòü-òàêè â~ ñèëó
~ ìîíîòîííîñòè
~
~ ~
~îïå~
ðàòîðà F ïîëó÷àåì U k = F (U k −1 ) ≤ F (U k ) = U k +1 ,
è òðåáóåìîå óñòàíîâëåíî. Òàê êàê â ñèëó óñëî~
âèÿ (3) íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {U k }
îãðàíè÷åíà ñâåðõó,
òî îíà ñõîäèòñÿ ê íåêîòî~
~
ðîé ìàòðèöå U èç êîíóñà K . Ñîâåðøàÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â (19), íàõîäèì
~ ~ ~
U = F (U ) .
(21)
Ìû íå òîëüêî îáíàðóæèëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(17), íî è ïîëó÷èëè ìèíèìàëüíîå~ ðåøåíèå: ñîãëàñíî (20) äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ S óðàâíåíèÿ (17)
~ ~
èìååì îöåíêó U ≤ S .
Ïîêàæåì, ÷òî â ñèëó äèñêðåòíîãî ÷àñòîòíîãî óñëîâèÿ (4) ëþáîå ðåøåíèå îáîáùåííîãî
óðàâíåíèÿ Ëóðüå (17) ëåæèò â êîíóñå K è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëóðüå (9). Îáî~
çíà÷àÿ ÷åðåç L ÿäðî ðåøåíèÿ S óðàâíåíèÿ (17),
ìû âèäèì, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ÿäåð
ìàòðèö R è Φ * [ S ]Φ , ò.å. x ∈ L ⇔ x ∈ ker R è
Φ x ∈ ker [ S ] = L + im Γ (ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì 5) êâàäðàòíûõ ñêîáîê). Ïî ëåììå 1 ïîëó~
÷àåì L I im Γ = 0 è, çíà÷èò, ìàòðèöà S ëåæèò â
êîíóñå K. Òàêèì îáðàçîì, íàìè äîêàçàíî, ÷òî
ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëóðüå (9) èìååò ðåøåíèå.
~
Îäíàêî ïîñòðîåííîå íàìè ðåøåíèå U = U
ìîæåò íå áûòü ñòàáèëèçèðóþùèì ðåøåíèåì. Äëÿ
òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå, íóæíû äîïîëíèòåëüíûå ðàññóæäåíèÿ. Ïîëîæèì R (ε) = R + εI , ãäå ε > 0 . Ïðè ëþáîì ε ìàòðèöû Ô, à è R(ε) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (2)(4), ïðè÷åì (4) â ýòîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ (2).
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííîå íàìè ðåøåíèå S(ε) óðàâíåíèÿ Ëóðüå
S = Φ * J ( S )Φ + R (ε)
(22)
152
À.È. Ïåðîâ
ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëèçèðóþùèì. Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ S(ε) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé è ïîòîìó èìååò ïðåäåë ïðè 0 < ε → 0 , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì
÷åðåç S; ÿñíî, ÷òî S ≥ U~ . Òàê êàê ñîãëàñíî (22)
èìååì S (ε) = Φ * J ( S (ε))Φ + R (ε) , òî, ñîâåðøàÿ â
ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè
0 < ε → 0 , ïîëó÷àåì S = Φ * J ( S )Φ + R (â ñèëó
ñâîéñòâà 13) êâàäðàòíûõ ñêîáîê). Ìû âèäèì,
÷òî ïðåäåëüíàÿ ìàòðèöà S ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Ëóðüå (17). Ïî äîêàçàííîìó âûøå îíà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ è ðåøåíèåì óðàâíåíèåì Ëóðüå (9). Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ìàòðèöà S åñòü ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå. Íà ñàìîì äåëå, òàê êàê S(ε) - ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (22), òî ñîãëàñíî (11)
S (ε ) = D * ( ε ) S ( ε ) D ( ε ) + R (ε ) ,
(23)
ïðè÷åì â ñèëó òîãî, ÷òî S(ε) - ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå, ñïåêòð ñèíòåçèðîâàííîé ìàòðèöû
D ( ε ) = Φ − Γ (Γ * S ( ε )Γ ) − 1 Γ * S ( ε ) Φ
(24)
Òåîðåìà 4. Ïðè ëþáîé ìàòðèöå S0 èç êîíóñà K max ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé
(5) ñõîäèòñÿ ê ñòàáèëèçèðóþùåìó ðåøåíèþ S.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå, ïðåäëîæåííîé â [4, ñ.27-28]. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì,
÷òî â ñèëó òåîðåìû 3 ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ (5) ìîæíî íåîãðàíè÷åííî ñòðîèòü äëÿ
ëþáîé íà÷àëüíîé ìàòðèöû èç êîíóñà K max . Çà-
R + Φ * [ R ]Φ + ... + Φ * [...[ Φ * [ R ]Φ...]Φ + ... ≤ S .
(25)
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ÷àñòíûå ñóììû íàïèñàííîãî ðÿäà: W 0 = 0, W 1 = R, W 2 = R + Φ * [ R]Φ,...
(â k-é ñóììå êàæäàÿ èç ìàòðèö Ô* è Ô âñòðå÷àåòñÿ k-1 ðàç). Ïðîâåðèì, ÷òî ïðè ëþáîì k ñïðàâåä~
ëèâî íåðàâåíñòâî W k ≤ U k , ãäå U k = U k åñòü «ìèíèìàëüíàÿ» ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (19). Íà ñàìîì
äåëå, W 0 = 0 = U 0 , W 1 = R = U1 è, åñëè íåðàâåíñòâî W k −1 ≤ U k −1 óæå óñòàíîâëåíî, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè è ïîëóàääèòèâíîñòè ñíèçó êâàäðàòíûõ ñêîáîê ïîëó÷àåì
W
k
= R + Φ * [ R]Φ + ... + Φ* [...[Φ * [ R]Φ ]...]Φ ≤
}
ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà. Òàê êàê S(ε) ïðè
0 < ε → 0 èìååò ïðåäåë S è ýòîò ïðåäåë ïðèíàäëåæèò K, òî D(ε) ïðè 0 < ε → 0 òàêæå èìååò ïðåäåë, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç D. Ñîâåðøèâ
â (23) è (24) ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, ìû íàéäåì, ÷òî
èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà (10) è (11). Ïî íåïðåðûâíîñòè ñïåêòð ìàòðèöû D ëåæèò â çàìêíóòîì åäèíè÷íîì êðóãå. Ïîêàæåì, ÷òî íè îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû D íå ïîïàäàåò íà åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü. Ïóñòü Dx = θx è θ = 1 . Èç
(11) ïîëó÷àåì, ÷òî x * Sx = ( Dx )* S ( Dx ) + x * Rx , ò.å.
2
x * Sx = θ x* Sx + x * Rx , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî
x ∈ ker R . Òàê êàê Φx + Γu = θx , åñëè ïðèäàòü u
ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå, òî â ñèëó óñëîâèÿ
(4) ïîëó÷àåì x = 0 (u = 0). Èòàê, íàìè äîêàçàíî,
÷òî S - ñòàáèëèçèðóþùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ëóðüå (9).
Öåíòðàëüíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìàÿ íèæå
ìåòèâ ýòî, íàéäåì òàêèå ìàòðèöû S 0 è S 0 èç
êîíóñà K max , ÷òî âûïîëíåíû òðåáîâàíèÿ
S 0 ≤ S 0 ≤ S 0 , ïðè÷åì S 0 ≤ F ( S 0 ) è F ( S 0 ) ≤ S 0 .
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S k è S k , ïîëó÷àþùèåñÿ, åñëè â (5) â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé ìàòðèöû
âçÿòü S 0 èëè S 0 ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííûìè, è S k ≤ S k ≤ S k ïðè ëþáîì k (â ñèëó
ìîíîòîííîñòè îïåðàòîðà F). Ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S k è S k , êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì
÷åðåç S è S ñîîòâåòñòâåííî, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Ëóðüå (9), è, êðîìå
òîãî, óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèþ αS ≤ S ≤ S
ïðè íåêîòîðîì α ∈ (0,1) . Òàê æå, êàê è â [4], ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
S = S = S . Èòàê, îáå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S k è
S k ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó S, îòêóäà íåìåäëåííî âûòåêàåò è ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S k ê ïðåäåëó S. Òåîðåìà 4 ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ S óðàâíåíèÿ (9) ñïðàâåäëèâà îöåíêà ñíèçó
k–1
≤ R + Φ * [ R + Φ * [ R ]Φ + ... + Φ * [...[ Φ * [ R ]Φ ]...]Φ ]Φ =
= R + Φ * [W
k −1 ]Φ
≤ R + Φ* [U k −1 ]Φ = U k .
Øàã ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïðîâåäåí è òðåáóåìàÿ îöåíêà óñòàíîâëåíà.
Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ñâîéñòâà 4) êâàäðàòíûõ ñêîáîê, ñòîÿùèé â (25) ìàòðè÷íûé ðÿä íå
èçìåíèòñÿ, åñëè â íåì âìåñòî Ô íàïèñàòü Ô+ÃK,
ãäå K - ïðîèçâîëüíàÿ m × n -ìàòðèöà. Âûáðàâ
ìàòðèöó K òàê, ÷òîáû ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ
ìàòðèöû Ô+ÃK áûë ìåíüøå åäèíèöû, spr
ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
Äèñêðåòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëóðüå â ñëó÷àå ïîëíîãî âûðîæäåíèÿ âåñîâîé ìàòðèöû
(Φ + ΓK ) = q < 1 , ìû âèäèì, ÷òî èçó÷àåìûé
ìàòðè÷íûé ðÿä ñõîäèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì, ñêîëü
óãîäíî áëèçêèì ê ÷èñëó q2. Íàêîíåö, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ â (25) ñòîèò çíàê ðàâåíñòâà, è ïîëó÷àþùàÿñÿ ôîðìóëà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ.
Ðàáîòà ôèíàíñèðîâàëàñü ÐÔÔÈ (øèôð 96-0100374)
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àëèåâ Ô.À. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Áàêó, Ýëì, 1989, 329 ñ.
2. Àëèåâ Ô.À., Áîðäþã Á.À., Ëàðèí Â.Á.
H 2-îïòèìèçàöèÿ è ìåòîä ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé â çàäà÷å ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ ðåãóëÿòîðîâ.
Áàêó, Ýëì, 1991, 376 ñ.
3. Ôîìèí Â.Í. Ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ëèíåéíûìè äèñêðåòíûìè îáúåêòàìè. Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1985, 336 ñ.
4. Ïåðîâ À.È. Äèñêðåòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëóðüå (ðåãóëÿðíûé ñëó÷àé)// ÀèÒ, 1995,
N 3, ñ. 21-29.
ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2000, â. 1
153
5. Ïàêøèí Ï.Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà
ëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ óïðàâëåíèé. I. Àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè// Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà, 1991, N 3 ñ. 226232.
6. Ïàêøèí Ï.Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà
ëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ óïðàâëåíèé. II. Ðîáàñòíàÿ
ñòàáèëèçàöèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûìè øóìàìè// Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà, 1991, N 4, ñ. 103-114.
7. Àíòîíîâ Â.Ã., Ëèõòàðíèêîâ À.Ë., ßêóáîâè÷ Â.À. Äèñêðåòíàÿ ÷àñòîòíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àÿ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé è óïðàâëåíèé// Âåñòí. Ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1975,
N 1. ñ. 23-31.
8. Perov Anatolii, Voronezh State University,
Russia. Discrete matrix Lur’e equation (singular
case). International Congress of Mathematicians
(Berlin, August 18-27, 1998). Abstracts of Short
Communications and Posters Sessions, p. 347.
9. Ãëàçìàí È.Ì., Ëþáè÷ Þ.È. Êîíå÷íîìåðíûé ëèíåéíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1969, 476 ñ.
10. Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À. Ïîëîæèòåëüíûå
ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962, 396 ñ.