Московский государственный университет имени Ломоносова

À ÍÍ
ÒÛ
 À ÀÐÐÈÈ À
ÒÛ
Ìàòåðèàëû âñòóïèòåëüíûõ
ýêçàìåíîâ 2007 ãîäà
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
(îëèìïèàäà «Ëîìîíîñîâ-2007»)
1. Âû÷èñëèòå (sin α - cos α ) (sin β - cos β) , åñëè sin (α + β) =
= 0,8 è cos (α - β) = 0,3 .
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x 2
2
( ).
= 2
5
x
5
3. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âûðàæåíèå
logb11b50 (b1b2 K b60 ) ,
ãäå b1, b2,K – ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ?
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
8 - x - 2x - 1
£ 1.
x + 7 - 2x - 1
5. Íà ñòîðîíå À òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òàêàÿ òî÷êà D,
÷òî îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè À, Ñ è D, êàñàåòñÿ
ïðÿìîé ÂÑ. Íàéäèòå AD, åñëè ÀÑ = 9, ÂÑ = 12 è CD = 6.
6. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà à, b è ñ òàêîâû, ÷òî ÍÎÊ (a, b) = 60
è ÍÎÊ (a, c) = 270 ( ÍÎÊ ( x, y ) – íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë õ è ó). Íàéäèòå ÍÎÊ (b, c) .
7. Îïðåäåëèòå, ïîä êàêèì óãëîì âèäíî èç íà÷àëà êîîðäèíàò (ò.å. âíóòðè êàêîãî íàèìåíüøåãî óãëà ñ âåðøèíîé â
òî÷êå(0, 0) ïîìåùàåòñÿ) ìíîæåñòâî, çàäàííîå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íåðàâåíñòâîì
2
2
14 x + xy + y + 14 x + 2 y + 4 < 0 .
8. Ãðàíè äâóãðàííîãî óãëà ïåðåñåêàþò áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàäèóñîì 5, îáðàçóÿ ñ åãî îñüþ óãëû â 70°
è 80° , à ðåáðî äâóãðàííîãî óãëà ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îñè
è óäàëåíî îò íåå íà ðàññòîÿíèå 11. Íàéäèòå îáúåì ÷àñòè
öèëèíäðà, ðàñïîëîæåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà.
9. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ x Î (0; π] , óäîâëåòâîðÿþùèå
óðàâíåíèþ
tg x tg 2x tg 3x + tg x + tg 2x = tg 3x .
10.  òå÷åíèå ÷åòâåðòè ó÷èòåëü ïî ïåíèþ ñòàâèë äåòÿì
îöåíêè «1», «2», «3», «4» è «5». Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå
âñåõ îöåíîê Âîâî÷êè îêàçàëîñü ðàâíûì â òî÷íîñòè 3,5. È
òîãäà, ïî ïðåäëîæåíèþ Âîâî÷êè, ó÷èòåëü çàìåíèë îäíó åãî
îöåíêó «4» ïàðîé îöåíîê «3» è «5». Äîêàæèòå, ÷òî îò ýòîãî
ñðåäíÿÿ îöåíêà Âîâî÷êè ïî ïåíèþ óâåëè÷èëàñü. Íàéäèòå
íàèáîëüøåå âîçìîæíîå åå çíà÷åíèå ïîñëå òàêîé çàìåíû:
à) îäíîé îöåíêè «4»;
á) âñåõ åãî îöåíîê «4».
Âàðèàíò 2
(ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò)
1. Ó÷èòåëü íàçâàë Ïåòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî è ïîïðîñèë
íàéòè ñóììó åãî ëîãàðèôìîâ ïî îñíîâàíèÿì 3 è 75. Îäíàêî
"#
Ïåòÿ ïî îøèáêå íå ñëîæèë ýòè ëîãàðèôìû, à ïåðåìíîæèë èõ,
ïîëó÷èâ íåâåðíûé îòâåò, êîòîðûé îêàçàëñÿ âäâîå ìåíüøå
âåðíîãî. Êàêîå ÷èñëî íàçâàë åìó ó÷èòåëü?
2. Ãðàôèêè ôóíêöèé
f ( x ) = 2 x2 - 2x - 1 è g ( x ) = -5x2 + 2 x + 3
ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ. Íàéäèòå êîýôôèöèåíòû à è b â
óðàâíåíèè ïðÿìîé y = ax + b, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òå æå òî÷êè.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3 cos x 3 sin x + cos x = sin x cos x - 3 sin x .
4. Òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì
Î, à òî÷êà K – íà ïðÿìîé, êàñàþùåéñÿ ýòîé îêðóæíîñòè â
òî÷êå Â, ïðè÷åì ÐAKC = 46° , à äëèíû îòðåçêîâ AK, BK, CK
îáðàçóþò âîçðàñòàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (â óêàçàííîì ïîðÿäêå). Íàéäèòå óãîë AKO è ðàññòîÿíèå ìåæäó
òî÷êàìè À è Ñ. Êàêîé èç óãëîâ áîëüøå: ACK èëè AOK?
5. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
( x - 1) ( y - x ) + (7 - y) (1 - x ) + ( x - y ) ( y - 7)
ïðè x Î [ -2; 3] è y Î [0; 11] .
6. Äâà êîíóñà èìåþò îáùóþ âåðøèíó è åäèíñòâåííóþ
îáùóþ îáðàçóþùóþ, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ èõ îñÿìè óãëû â
30° è 45° . Äâóãðàííûé óãîë ðàñïîëîæåí òàê, ÷òî êàæäàÿ åãî
ãðàíü êàñàåòñÿ êàæäîãî èç êîíóñîâ ïî ðàçíûì îáðàçóþùèì.
Íàéäèòå âåëè÷èíó ýòîãî óãëà.
Âàðèàíò 3
(ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè,
îëèìïèàäà «Àáèòóðèåíò-2007», àïðåëü)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
-4 cos3 x + 2 sin 2x + cos x
= 0.
sin x - 1
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
x +3
9x -7
35x -2 - 4 ³ 5 × 35x -2 .
3. Â äâóõ îäèíàêîâûõ ñîñóäàõ îáúåìîì ïî 30 ë êàæäûé
ñîäåðæèòñÿ âñåãî 30 ë ñïèðòà. Ïåðâûé ñîñóä äîëèâàþò
äîâåðõó âîäîé è ïîëó÷åííîé ñìåñüþ äîïîëíÿþò âòîðîé
ñîñóä, çàòåì èç âòîðîãî ñîñóäà îòëèâàþò â ïåðâûé 12 ë íîâîé
ñìåñè. Ñêîëüêî ñïèðòà áûëî ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîì ñîñóäå, åñëè âî âòîðîì ñîñóäå îêàçàëîñü íà 2 ë ñïèðòà ìåíüøå,
÷åì â ïåðâîì?
4. Â ïðÿìîóãîëüíîì ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ
ïðÿìûì óãëîì Ñ ïðîâåäåíû áèññåêòðèñà ÀÌ è ìåäèàíà BN,
ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå K. Íàéäèòå ïëîùàäü äàííîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè AK = 2 + 2 .
5. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
5π ö
æ
y = sin x + sin ç x +
÷.
è
6ø
6. Íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ äâóõ ñôåð, ðàññòîÿíèå
ìåæäó öåíòðàìè êîòîðûõ ðàâíî 5. Ïåðâîé ñôåðû ðàäèóñà
"$
ÊÂÀÍT 2008/¹1
3 ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 ýòà ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ â òî÷êå K, à
âòîðîé ñôåðû ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì â òî÷êå O2 ýòà ïðÿìàÿ
êàñàåòñÿ â òî÷êå L, ïðè÷åì KL = 2 6 . ×åìó ðàâåí äâóãðàííûé óãîë, ðåáðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ KL, îäíà èç
ãðàíåé ñîäåðæèò òî÷êó O1 , à äðóãàÿ – òî÷êó O2 ?
òî÷êàõ À è  ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçîê À ðàâåí à, à ðàäèóñ
îïèñàííîé îêîëî ∆KLM îêðóæíîñòè ðàâåí R. Íàéäèòå
ïëîùàäü ∆KLM .
7. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ à èç ïðîìåæóòêà (-3; 0) íàéäèòå
÷èñëî ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
Âàðèàíò 4
(ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè)
1. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
2π
cos
7π ö
18π ö
æ
æ
3
2 sin ç x +
,
÷ sin çè 3x +
÷ = cos 4x + 2
è
25 ø
25 ø
é π 4π ù
ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó ê - ;
ú.
ë 10 5 û
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
log x + 2 (2 - x ) ³
log5 (2x + 3) - 1
log5 ( x + 2)
.
3.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ òî÷êà D ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì
âûñîòû, îïóùåííîé èç òî÷êè À íà ñòîðîíó ÂÑ. Îêðóæíîñòü
äèàìåòðà 2 3 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè  è D è êàñàåòñÿ
âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ACD. Èçâåñòíî, ÷òî AC = 4 3 , à âåëè÷èíà óãëà ÀÂÑ
ðàâíà 30° . Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÂÑ.
4. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë (x; y) , óäîâëåòâîðÿþùèå
ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
ì x - y £ -25,
ï 2
í x - y £ 8,
ï4 x + y £ 1.
î
5. Äàíà òðåóãîëüíàÿ ïðèçìà ABCA1B1C1 ( AA1 P BB1 P CC1 ).
Íà ðåáðå CC1 âûáðàíà òî÷êà D. Ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç
òî÷êè A, B1 è D, äåëèò ïðèçìó íà äâà ìíîãîãðàííèêà,
A BCDB1 è B1 AA1C1D , îòíîøåíèå îáúåìîâ êîòîðûõ ðàâíî
13:17.  êàêîì îòíîøåíèè òî÷êà D äåëèò ðåáðî CC1 ?
6. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü sin (α + β + γ ) , åñëè
ïðè ýòèõ α, β, γ ìíîãî÷ëåí îò õ
x 4 + 23 sin α x2 + x
21- sin β - cos γ + sin2 β + cos2 γ
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà îòíîñèòåëüíî õ?
Âàðèàíò 5
(ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
sin 5 x - sin 3 x
= 1.
2 sin x
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
( 3)
2x
+ 5 × 32 - x - 14
49 - 7 x
= 0.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x - 2 - 2x + 2 =
2x - 5 - 3x - 1 .
4. Îêðóæíîñòü ðàäèóñà 2, âïèñàííàÿ â ∆KLM , êàñàåòñÿ
ñòîðîíû LM â òî÷êå N. Îòðåçîê KN ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé
òðåóãîëüíèêà è KN= 8. Íàéäèòå ïëîùàäü ∆KLM .
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
(
log 4 x2 - 4
)
2
+ log 2
x -1
>0.
x2 - 4
6.  ∆KLM ÷åðåç òî÷êó N âûñîòû KN ïðîâåäåíû ïðÿìûå,
ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñòîðîíàì KL è KM è ïåðåñåêàþùèå èõ â
(2x
2
- 5ax + 2a2
)
x-
2
=0.
a
8. Ñôåðà ðàäèóñà (1 2) 17 êàñàåòñÿ âñåõ ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ∆LMN . Òî÷êà S òàêîâà, ÷òî ïëîñêîñòè SLM, SMN è
SNL êàñàþòñÿ ñôåðû. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè S äî ïëîñêîñòè
LMN ðàâíî 8. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû SLMN.
Âàðèàíò 6
(ôàêóëüòåòû: õèìè÷åñêèé, íàóê î ìàòåðèàëàõ,
áèîëîãè÷åñêèé, ôóíäàìåíòàëüíîé ìåäèöèíû,
áèîèíæåíåðèè è áèîèíôîðìàòèêè, ãåîãðàôè÷åñêèé,
ïñèõîëîãèè)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
(x
2
-7 x +6
)
4 x + 23 = 0 .
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
x2 + 4 x + 4
x2 + 8 x + 16
£1.
x+4
2x + 12
3. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå DEF íà ãèïîòåíóçó
îïóùåíû ìåäèàíà DM è âûñîòà DQ. Èçâåñòíî, ÷òî
17
8
MD =
è sin ÐDMQ =
. Íàéäèòå êàòåòû òðåóãîëüíè2
17
êà DEF.
4. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà b1, b2, b3, b4, b5 îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, à ÷èñëà b5,6b3,27b1 – àðèôìåòè÷åñêóþ.
Íàéäèòå çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè b1, b2, b3, b4, b5 .
5. Ïðÿìàÿ l1 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè (-3; 2) è (1; 1) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ l2 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (-5; 4)
è ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé l1 . Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2 .
6. Ðåøèòå óðàâíåíèå
(
)
log cos x cos2 x + sin2 x - 2 sin2 x + 5 sin 2x = 0 .
7. Çà 2005 ãîä ÷èñëî êíèã â ôîíäå áèáëèîòåêè ïîñåëêà
óâåëè÷èëîñü íà 0,4%, à çà 2006 ãîä – íà 0,8%, îñòàâøèñü ïðè
ýòîì ìåíüøå 50 òûñÿ÷. Íà ñêîëüêî êíèã óâåëè÷èëñÿ ôîíä
áèáëèîòåêè ïîñåëêà çà 2006 ãîä?
8. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç
êîòîðûõ ñðåäè êîðíåé óðàâíåíèÿ
ax2 + (a + 4) x + a + 1 = 0
èìååòñÿ ðîâíî îäèí îòðèöàòåëüíûé.
Âàðèàíò 7
(ôàêóëüòåòû: ãåîãðàôè÷åñêèé, ïî÷âîâåäåíèÿ è ôàêóëüòåò
ãëîáàëüíûõ ïðîöåññîâ)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x - 1 - 7 = 10 .
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
1
1
+9.
x -7
x -7
3. Ñóììà ïîëîæèòåëüíîé áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè â 4 ðàçà áîëüøå åå âòîðîãî ÷ëåíà. Âî
ñêîëüêî ðàç âòîðîé ÷ëåí ìåíüøå ïåðâîãî?
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
sin2 11x = cos2 17x .
2
+x£
2
"%
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
log 3x 16
+
2 log2x
2
4
16 + 4 log x 16 ³ 0 .
6. Ðåøèòå ñèñòåìó
ìï x + y + xy = 7,
í 2
2
ïî x + y + xy = 13.
7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç
êîòîðûõ ñèñòåìà
(
) (
)
ì 5 - 2 6 x + 5 + 2 6 x - 5a = y - y - 8,
ï
í
ïî x2 - (a - 4) y = 0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
8. Ïåðèìåòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 18.
×åðåç ñåðåäèíó D îñíîâàíèÿ À ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó ÂÑ â òî÷êå K è äåëÿùàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ â îòíîøåíèè 5:2, ïðè ýòîì óãîë ADK ðàâåí 135° .
Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Âàðèàíò 8
(ãåîëîãè÷åñêèé ôàêóëüòåò)
1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
x - 12 £
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
2x
-4
(
)
- 1 x2 - 7x + 6 £ 0 .
æ
æ x2 - 2 x ö ö
log x ç log2 ç
÷÷
çè
è 2 x -1 ø ø÷
log
x + 3 2
(2x
2
)
+ 9 x + 21 ³ log
x + 3 2
(x
2
)
-x .
8. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ñ óðàâíåíèå
- 16 - x2 = c + x
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå?
Âàðèàíò 10
1. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ
4. Ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâíà 9, ðàäèóñ
âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè ðàâåí 1, à äëèíû ñòîðîí ÀÂ è
ÂÑ ðàâíû 3 è 5 ñîîòâåòñòâåííî. ×åìó ðàâíû äëèíû ñòîðîí
AD è CD?
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
æ 1ö
çè ÷ø
2
πö
æ
æ 5π
ö
5 cos ç 2x + ÷ = 4 sin ç
- x÷ - 1 .
è
è 6
ø
3ø
6. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 36, à ïëîùàäü ðàâíà
60. Íàéäèòå ñòîðîíû ÀÂ è ÀÑ, åñëè ÂÑ = 10.
7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
(ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò, îòäåëåíèå ýêîíîìèêè)
x
.
12 - x
cos 2x + sin x 1
= cos x .
cos x
2
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
2
ïðîèçâîäèò â ÷àñ öåëîå ÷èñëî äåòàëåé, íå ïðåâûøàþùåå 16.
Ñêîëüêî äåòàëåé â ÷àñ ìîæåò äåëàòü ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ
ðàáî÷èé ñ ñàìîé íèçêîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ?
4. Ðåøèòå ñèñòåìó
ìï x 2 - 2y - 3 = 0,
í 2
ïî y + 2x - 3 = 0.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
£ 1.
6. Ñóììà ïåðâûõ ïÿòíàäöàòè ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ñîñòîÿùåé èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøå 337,
íî ìåíüøå 393. ×åìó ðàâåí âîñüìîé ÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè,
åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí êðàòåí ÷åòûðåì?
7. ×èñëà x, y, z òàêîâû, ÷òî
ìï x + 1 = z + y,
í
2
ïî xy + z + 14 - 7z = 0.
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ z ñóììà x2 + y2 ìàêñèìàëüíà? Íàéäèòå ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå.
8. Â êàêîì îòíîøåíèè äåëèò îáúåì êóáà ABCDA1B1C1D1 ,
ãäå AA1 P BB1 P CC1 P DD1 , ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
âåðøèíó À è öåíòðû ãðàíåé A1B1C1D1 è B1C1CB ?
Âàðèàíò 9
(ôàêóëüòåòû: ñîöèîëîãè÷åñêèé è ôèëîëîãè÷åñêèé)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
- x - 3 - x = 10 .
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
( x - 2) ( x - 5) ( x - 8) ³ -1
.
( x + 2) ( x + 5) ( x + 8 )
3. Îäèí ðàáî÷èé áðèãàäû, ñîñòîÿùåé èç 5 ÷åëîâåê, ïðîèçâîäèò â ñðåäíåì 14 äåòàëåé â ÷àñ, ïðè÷åì êàæäûé èç ðàáî÷èõ
x2 - x - 42 = 0 ,
íàéäèòå âñå ÷èñëà ó, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
-7 y2 - 10 y + 34 ³ 4 x + 7 .
2. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
cos 3x = sin x ,
óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîâðåìåííî äâóì íåðàâåíñòâàì:
sin x ³ 0,
cos x £ 0 .
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
æ 2
ö
æ 3x ö
x
x -3
<0.
ç x - log2 ç ÷ - log 3 5 ÷ log5 125 × 25
5
è ø
è
ø
( )
(
)
4. Áðèãàäå ãðóç÷èêîâ âûäåëåíà íåêîòîðàÿ ñóììà äåíåã íà
ðàçãðóçêó áàðæè, îäíàêî 3 ÷åëîâåêà çàáîëåëè è â ðàáîòå íå
ó÷àñòâîâàëè. Îñòàâøèåñÿ âûïîëíèëè çàäàíèå, çàðàáîòàâ
êàæäûé íà 1,5 òûñÿ÷è ðóáëåé áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå ðàáîòû
â ñîñòàâå ïîëíîé áðèãàäû. Îïðåäåëèòå âûäåëåííóþ áðèãàäå
ñóììó äåíåã, åñëè 5%-é ñáîð çà åå áàíêîâñêèé ïåðåâîä
îáîøåëñÿ ðàáîòîäàòåëþ äîïîëíèòåëüíî â âåëè÷èíó, íàõîäÿùóþñÿ â ïðåäåëàõ îò 1,2 äî 1,6 òûñÿ÷ ðóáëåé.
5. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà K òàê, ÷òî
òðåóãîëüíèê ABK – ðàâíîñòîðîííèé. Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè K äî öåíòðà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ðàâíî 6 è âåëè÷èíà óãëà ACB ðàâíà
5
. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÀÂ.
arcsin
2 13
6. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ
æaö
f ( x ) = 2 - x x + arcsin ç ÷
è 10 ø
íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé íà îòðåçêå ÷èñëîâîé
îñè, êîòîðûé ñîåäèíÿåò êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà
(
) (
)
x2 - a2 - 8a + 14 x + a2 - 6a + 6 (8 - 2a ) .
7. Â îñíîâàíèè ïèðàìèäû SABCD ëåæèò ïàðàëëåëîãðàìì
ABCD, íå ÿâëÿþùèéñÿ ðîìáîì. Âåðøèíû À,  è Ñ ðàñïîëîæåíû íà íåêîòîðîé ñôåðå òàê, ÷òî ïðÿìàÿ AD ïðîõîäèò ÷åðåç
"&
ÊÂÀÍT 2008/¹1
öåíòð ýòîé ñôåðû. Âåðøèíà S, òàêæå ëåæàùàÿ íà äàííîé
ñôåðå, ðàâíîóäàëåíà îò êîíöîâ äèàãîíàëè ÀÑ îñíîâàíèÿ.
Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå îáúåìà ïèðàìèäû,
åñëè AC = 2 3 , BD = 2.
Âàðèàíò 11
(Ìîñêîâñêàÿ øêîëà ýêîíîìèêè)
1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà
6 x 2 + 4a2 + 6ax - 3x - 24a + 35 < 0
ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî öåëîå ÷èñëî.
7. Îïðåäåëèòå, êàêàÿ èç äâóõ ïèðàìèä SABC èëè QKNM
èìååò ìåíüøèé îáúåì, åñëè äëèíû ðåáåð SA, SB, SC è QK,
QN, MN ðàâíû 2, à äëèíû ðåáåð ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ è KN, KM, QM
ðàâíû 3 .
Âàðèàíò 13
x2 - 3x + 2 £ x - 1 .
(ôàêóëüòåò ãîñóäàðñòâåííîãî óïðàâëåíèÿ)
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
log -2 cos x ( 3 sin x - cos 2x ) = 0 .
x 1
x 1
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
- ³
- .
10 5
4 2
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
4 × 25
x
- 23 × 5
x
+ 15 = 0 .
5. Äëÿ ïåðåâîçêè 90 ò ãðóçà çàòðåáîâàëè íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ãðóçîâèêîâ.  ñâÿçè ñ òåì ÷òî íà êàæäóþ
ìàøèíó ïîãðóçèëè íà 0,75 ò ìåíüøå, äîïîëíèòåëüíî áûëî
çàòðåáîâàíî åùå 4 ãðóçîâèêà. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èëîñü ÷èñëî ãðóçîâèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíîé
çàÿâêîé?
6. Íàéäèòå âñå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
x2 - 14 x + 4 y2 + 32y + 88 = 0 .
7. Äèàãîíàëè âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Å. Íàéäèòå ïåðèìåòð è ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, åñëè ÂÑ = CD = 6, ÀÂ = 7 è ÑÅ = 3.
8. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå
x -1
- a2 + 2a - 1 = 0
16 x - 3 × 23 x +1 + 2 × 4 x +1 - (4 - 4a ) × 2
èìååò òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿ?
Âàðèàíò 12
(Èíñòèòóò ñòðàí Àçèè è Àôðèêè)
1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
x + 3 ( x - 1 - 3) £ 0 .
2. Ôåðìåð ïîëó÷èë êðåäèò â áàíêå ïîä îïðåäåëåííûé
ïðîöåíò ãîäîâûõ. ×åðåç ãîä ôåðìåð â ñ÷åò ïîãàøåíèÿ êðåäè1
÷àñòü îò âñåé ñóììû, êîòîðóþ îí äîëæåí
òà âåðíóë â áàíê
6
áûë áàíêó ê ýòîìó âðåìåíè. À åùå ÷åðåç ãîä â ñ÷åò ïîëíîãî
ïîãàøåíèÿ êðåäèòà ôåðìåð âíåñ â áàíê ñóììó, íà 20%
ïðåâûøàþùóþ âåëè÷èíó ïîëó÷åííîãî êðåäèòà. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ ïî êðåäèòó â äàííîì áàíêå?
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
æ
x2 - 2x ö
³ 0.
log 1 ç log 4
x + 10 ÷ø
è
2
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x 2 + y2 - 4 x - 2 y + 1 +
6 x + 2y - x2 - y2 - 9 +
z
.
2
5. Â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ
ñòîðîíû À è ÂÑ â òî÷êàõ Ð è Q ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî,
÷òî ÀÂ = 3, AC = 5 , äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé èç
âåðøèíû À ê ñòîðîíå ÂÑ, ðàâíà 6 è äëèíû îòðåçêîâ ÀÐ,
PQ, QC ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà PQ.
6. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç
+
x + y - 1 = 2 x - y + 1 sin z + 6 sin2
1. Íà âåëîòðåêå, èìåþùåì ôîðìó îêðóæíîñòè, èç äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê îäíîâðåìåííî ñòàðòóþò äâà
âåëîñèïåäèñòà ñî ñêîðîñòÿìè 775 è 800 ìåòðîâ â ìèíóòó
ñîîòâåòñòâåííî. Ñêîëüêî ïîëíûõ êðóãîâ ïðîåäåò ïåðâûé
âåëîñèïåäèñò ê ìîìåíòó, êîãäà åãî äîãîíèò âòîðîé, åñëè
äëèíà âåëîòðåêà ðàâíà ÷åòâåðòè êèëîìåòðà?
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
sin x -
1 1
1æ
1ö
- = ç sin x + ÷ .
4 2
3è
4ø
3. Äèàãîíàëü ðàçáèâàåò âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà äâà
ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè äëèíîé 5, 12 è 13.
Íàéäèòå ðàäèóñ íàèìåíüøåãî êðóãà, â êîòîðûé ìîæíî ïîìåñòèòü òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê.
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
x
(log4 x)2 - 2 ³ log2 - 1 .
4
5. Ãîðîä àäìèíèñòðàòèâíî ïîäåëåí íà ïÿòü ÷àñòåé: çàïàäíóþ, ñåâåðíóþ, âîñòî÷íóþ, þæíóþ è öåíòðàëüíóþ. Ñðåäíÿÿ
öåíà äèçåëüíîãî òîïëèâà ïî áåíçîçàïðàâî÷íûì ñòàíöèÿì â
âîñòî÷íîì ðàéîíå ñîñòàâëÿåò 18 ðóáëåé çà ëèòð, â çàïàäíîì
– 18 ðóáëåé 35 êîïååê, â öåíòðàëüíîì – 20 ðóáëåé ñ ïîëòèíîé,
â ñåâåðíîì ðàéîíå – 17 ðóáëåé ñ ÷åòâåðòüþ ñîîòâåòñòâåííî,
â þæíîì ðàéîíå öåíà ñîâïàäàåò ñî ñðåäíåé öåíîé ïî âñåì
áåíçîçàïðàâêàì ãîðîäà. Èçâåñòíî, ÷òî â öåíòðàëüíîé ÷àñòè
áåíçîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèé â ïîëòîðà ðàçà áîëüøå, ÷åì â
çàïàäíîé, à íà âîñòîêå – íà òðåòü áîëüøå, ÷åì íà çàïàäå. Âî
ñêîëüêî ðàç áåíçîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèé â ñåâåðíîì ðàéîíå
ìåíüøå, ÷åì íà âîñòîêå, åñëè ñðåäíÿÿ öåíà äèçòîïëèâà ïî
çàïðàâî÷íûì ñòàíöèÿì ãîðîäà ñîñòàâëÿåò 18 ðóáëåé 60
êîïååê?
6. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ à è b òàêèå, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà
ìï bx - y = 2a,
í
2
2
2
ïî( x - b) + y = a
èìååò ðîâíî òðè ðåøåíèÿ.
7. Îáùåñòâî ðûáîëîâîâ è îõîòíèêîâ, äâå òðåòè ÷ëåíîâ
êîòîðîãî – ðûáîëîâû, à îäíà òðåòü – îõîòíèêè, ðåøèëî
ïåðåèçáðàòü ïðàâëåíèå. Ïðåäñåäàòåëü îáùåñòâà ïîäãîòîâèë
ïðîåêò ñîñòàâà ïðàâëåíèÿ èç 100 ÷åëîâåê. Êàêîå íàèáîëüøåå
÷èñëî îõîòíèêîâ ìîæíî áûëî âêëþ÷èòü â ïðîåêò ñîñòàâà
ïðàâëåíèÿ, ÷òîáû çà íåãî ïðîãîëîñîâàëî áîëåå ïîëîâèíû
÷ëåíîâ îáùåñòâà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî çà ïðîåêò ïðîãîëîñóåò
ñòîëüêî ïðîöåíòîâ ðûáîëîâîâ, ñêîëüêî ðûáîëîâîâ â ïðåäëîæåííîì ïðîåêòå, è ñòîëüêî ïðîöåíòîâ îò ÷èñëà îõîòíèêîâ,
ñêîëüêî â íåì îõîòíèêîâ?
Âàðèàíò 14
(äîïîëíèòåëüíûé íàáîð íà ïëàòíûå îáðàçîâàòåëüíûå
ïðîãðàììû äëÿ àáèòóðèåíòîâ ôàêóëüòåòîâ ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è
êèáåðíåòèêè, õèìè÷åñêîãî, áèîëîãè÷åñêîãî, ïî÷âîâåäåíèÿ,
ãåîãðàôè÷åñêîãî, íàóê î ìàòåðèàëàõ, ôóíäàìåíòàëüíîé
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
ìåäèöèíû, ïñèõîëîãèè, áèîèíæåíåðèè è
áèîèíôîðìàòèêè, Ìîñêîâñêîé øêîëû ýêîíîìèêè)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
lg y 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1
lg y = 3 .
2
cos4 x + sin 3 x = 1 .
3. Íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí êâàäðàò. Äâå
åãî âåðøèíû èìåþò êîîðäèíàòû (4; - 5) è (-6; 5) . Íàéäèòå
êîîðäèíàòû äâóõ äðóãèõ åãî âåðøèí.
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
3
1
- +2
x
- 2×9
1 1
- +
x 4
£ 27
-
1
x
.
5. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû SABCD ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê
ABCD, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà Q. Ðåáðî SA ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ, à ðåáðà SB è SD íàêëîíåíû ê
íåé ïîä óãëàìè δ è γ . Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû.
6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
9ö
πö æ
æ
arcsin x - ÷ lg ç x 2 + ÷ > 0 .
èç
6ø è
25 ø
7. Îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R îïèñàíà ðàâíîáî÷íàÿ
òðàïåöèÿ. Ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî
ñëóæàò òî÷êè êàñàíèÿ îêðóæíîñòè è òðàïåöèè, ðàâíà S.
Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè.
8. Ê äåñÿòè÷íîé çàïèñè öåëîãî ÷èñëà n ¹ 0 ïðèïèñàëè
ñïðàâà êàêóþ-òî öèôðó. Ê ïîëó÷èâøåìóñÿ íîâîìó ÷èñëó
ïðèáàâèëè êâàäðàò ÷èñëà n, à ïîòîì âû÷ëè 3. Ïîëó÷èëîñü
÷èñëî 14n. Êàêîå ÷èñëî n áûëî âçÿòî è êàêàÿ öèôðà áûëà
ïðèïèñàíà?
ÔÈÇÈÊÀ
Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà
1. Äâà òîíêèõ æåñòêèõ ñòåðæíÿ äëèíîé L êàæäûé âðàùàþòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíûõ òî÷åê O1 è O2 â ïëîñêîñòè
ðèñóíêà 1. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè ðàâíî h. Íàéäèòå ìîäóëü ñêîðîñòè
äâèæåíèÿ òî÷êè Ñ ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñòåðæíåé
âäîëü ïåðâîãî ñòåðæíÿ â
òîò ìîìåíò, êîãäà óãîë
ìåæäó ñòåðæíÿìè ðàâåí
α , óãîë CO1O2 ðàâåí β ,
à ñêîðîñòè ñâîáîäíûõ
êîíöîâ
r
r ñòåðæíåé ðàâíû
u
u
è
1
2.
Ðèñ. 1
2. Íåïîäâèæíûé êëèí
ñ óãëîì α ïðè îñíîâàíèè èìååò ãëàäêóþ íèæíþþ è øåðîõîâàòóþ âåðõíþþ ÷àñòè ñâîåé íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Íà âåðõíåé ÷àñòè êëèíà óäåðæèâàþò òîíêèé îäíîðîäíûé æåñòêèé
ñòåðæåíü ìàññîé m, ðàñïîëîæåííûé â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 2.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ñòåðæíåì è âåðõíåé ÷àñòüþ
êëèíà ðàâåí µ . Ïîñëå òîãî êàê ñòåðæåíü îòïóñêàþò, îí
íà÷èíàåò ïîñòóïàòåëüíî ñêîëüçèòü ïî êëèíó. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû íàòÿæåíèÿ ñòåðæíÿ â ïðîöåññå
åãî äâèæåíèÿ. Âëèÿíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
3. Ê âåðòèêàëüíîé ñòåíå
îäíèì êîíöîì øàðíèðíî ïðèêðåïëåí îäíîðîäíûé òÿæåÐèñ. 2
ëûé æåñòêèé ñòåðæåíü, íà
"'
äðóãîì êîíöå êîòîðîãî
ïîäâåøåí ãðóç, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3.
Ñòåðæåíü óäåðæèâàþò
â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè ëåãêîé æåñòêîé
ïðîâîëîêîé, ïðèêðåïëåííîé ê íåìó íà ðàññòîÿíèè l = 30 ñì îò
øàðíèðà. Äðóãîé êîíåö
ïðîâîëîêè ïðèêðåïëåí Ðèñ. 3
ê ñòåíå òàê, ÷òî ïðîâîëîêà è ñòåðæåíü ëåæàò â îäíîé âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà
êàêîì ðàññòîÿíèè h îò øàðíèðà äîëæíà áûòü ïðèêðåïëåíà ê
ñòåíå ïðîâîëîêà, ÷òîáû åå àáñîëþòíîå óäëèíåíèå áûëî ìèíèìàëüíûì? Òðåíèåì â øàðíèðå ïðåíåáðå÷ü.
4. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì
ñòîëå ëåæàò îäèíàêîâûå ãðóçû
ìàëûõ ðàçìåðîâ, ðàñïîëîæåííûå
â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ìàññà êàæäîãî ãðóçà ðàâíà m. Ãðóçû ñîåäèíåíû ìåæäó
ñîáîé îäèíàêîâûìè ëåãêèìè ïðóæèíàìè æåñòêîñòüþ k. Ãðóçû
ñìåùàþò îò ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ íà îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ Ðèñ. 4
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4.
Ïîñëå ýòîãî ãðóçû îäíîâðåìåííî îòïóñêàþò. Îïðåäåëèòå
ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ãðóçîâ. Ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè êîëåáàíèÿõ îñè ïðóæèí îñòàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè.
5. Íà ðèñóíêå 5 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü âíóòðåííåé ýíåðãèè
U èäåàëüíîãî ãàçà, èñïîëüçóåìîãî â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, îò êîëè÷åñòâà
òåïëîòû Q, êîòîðîå
ãàç ïîëó÷èë ñ ìîìåíòà 1 íà÷àëà öèêëà 1–
2–3–1. Íàéäèòå ÊÏÄ
ýòîãî öèêëà.
6. Â öèëèíäðå ïîä
ïîðøíåì íàõîäèòñÿ
ñìåñü âîçäóõà, íàñûùåííîãî âîäÿíîãî
ïàðà è âîäû â ñêîíäåíñèðîâàííîì ñîñòîÐèñ. 5
ÿíèè. Ìàññà âîäû ðàâíà ìàññå âîäÿíîãî ïàðà. Åñëè èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèòü
îáúåì ñìåñè â k = 2 ðàçà, åå äàâëåíèå óâåëè÷èòñÿ â n =
= 1,5 ðàçà. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ äàâëåíèå ñìåñè, åñëè
åå îáúåì íå óìåíüøàòü, à óâåëè÷èâàòü ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå äî òåõ ïîð, ïîêà âñÿ âîäà íå èñïàðèòñÿ?
7. ×åòûðå íåçàðÿæåííûå îäèíàêîâûå ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñòèíû, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ S, ðàñïîëîæåíû â âîçäóõå íà ìàëîì ðàññòîÿíèè
d ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6. Âíóòðåííèì
ïëàñòèíàì ñîîáùèëè ðàâíûå ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó
çàðÿäû. Çàòåì âíåøíèå ïëàñòèíû
ñîåäèíèëè ìåæäó ñîáîé ÷åðåç ðåçèñòîð, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R.  Ðèñ. 6
#
ÊÂÀÍT 2008/¹1
ðåçóëüòàòå â ýòîì ðåçèñòîðå âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû
Q. Ïðåíåáðåãàÿ èçëó÷åíèåì, îïðåäåëèòå ìîäóëü q çàðÿäîâ
âíóòðåííèõ ïëàñòèí.
8. Ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü, îäèí êîíåö êîòîðîãî øàðíèðíî çàêðåïëåí â òî÷êå Î, âðàùàþò ñ òàêîé ïîñòîÿííîé óãëîâîé
ñêîðîñòüþ ω , ÷òî îí îáðàçóåò ñ âåðòèêàëüþ ïîñòîÿííûé
óãîë α (ðèñ.7). Äðóãîé êîíåö ñòåðæíÿ êàñàåòñÿ ïðîâîäÿùåé ïîëóñôåðû. Öåíòð ïîëóñôåðû ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé
Î. Ðàäèóñ ïîëóñôåðû R. Âñÿ
ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì
ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî Â.
Ðèñ. 7
Ê ïîëóñôåðå ïîäêëþ÷åí ðåçèñòîð ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì r. Äðóãîé
êîíåö ðåçèñòîðà ïîäêëþ÷åí ê ñòåðæíþ â òî÷êå Î. Íàéäèòå
ìîùíîñòü P, âûäåëÿþùóþñÿ â ðåçèñòîðå.
9. Ê èäåàëüíîé êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè, çàøóíòèðîâàííîé
ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R, ïîäêëþ÷àþò íà âðåìÿ τ
èñòî÷íèê ñ ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì è ÝÄÑ - .
Ïðè ýòîì çà âðåìÿ ïîäêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà è âðåìÿ ïîñëå åãî
îòêëþ÷åíèÿ â ðåçèñòîðå âûäåëÿþòñÿ îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâà
òåïëîòû. Íàéäèòå èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè L.
10. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç òîíêîé ñîáèðàþùåé
ëèíçû Ë ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F è ïëîñêîãî çåðêàëà Ç,
ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè ëèíçû. Ìåæäó ëèíçîé è çåðêàëîì íàõîäèòñÿ ñòåðæåíü Ñ, ðàñïîëîæåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè ëèíçû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8. Ðàññòîÿíèå îò ñòåðæíÿ äî
Ðèñ. 8
ëèíçû ðàâíî d, ïðè÷åì
d > F. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå õ ìåæäó ëèíçîé è çåðêàëîì, ïðè
êîòîðîì îòíîøåíèå ðàçìåðîâ äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ èçîáðàæåíèé ñòåðæíÿ ðàâíî k >1.
Ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè
Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà
1. Òÿæåëî íàãðóæåííóþ ëîäêó ïîäòÿãèâàþò ê ïðèñòàíè ñ
ïîìîùüþ âåðåâêè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç ðîëèê, íàõîäÿùèéñÿ
íà âûñîòå h íàä óðîâíåì âîäû. Ïî êàêîìó çàêîíó äîëæíà
ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì
ñèëà F (t ) , êîòîðóþ íóæíî ïðèêëàäûâàòü ê âåðåâêå, ÷òîáû ïîääåðæèâàòü
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè â âîäå ïîñòîÿííîé è
ðàâíîé v0 ? Â ìîìåíò
âðåìåíè t = 0 ëîäêà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 ,
Ðèñ. 9
ñèëà, ñ êîòîðîé òÿíóò çà
âåðåâêó, ðàâíà F0 , à ðàññòîÿíèå îò ëîäêè äî ïðèñòàíè
ñîñòàâëÿåò l0 (ðèñ.9). Ñîïðîòèâëåíèå âîäû ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè ëîäêè.
2. Ïðàâàÿ ÷àøà ðû÷àæíûõ âåñîâ íàõîäèòñÿ ïîä ìåëêèì
ìîðîñÿùèì äîæäåì, à ëåâàÿ óêðûòà îò íåãî íàâåñîì. Êàæäàÿ
÷àøà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêîñòåííóþ öèëèíäðè÷åñêóþ
2
åìêîñòü ñ ïëîùàäüþ äíà S = 0,05 ì è âûñîòîé áîðòèêà h =
= 1 ìì. Èíòåíñèâíîñòü ðàâíîìåðíî ïàäàþùåãî äîæäÿ òàêîâà, ÷òî äîæäåâàÿ âîäà öåëèêîì çàïîëíÿåò ïðåäâàðèòåëüíî
îïîðîæíåííóþ ÷àøó âåñîâ çà âðåìÿ τ = 30 c. Êàêîé ìàññû
m ãèðþ íóæíî ïîëîæèòü íà ëåâóþ ÷àøó âåñîâ, ÷òîáû
óðàâíîâåñèòü âåñû â ñëó÷àå, êîãäà ïðàâàÿ ÷àøà çàïîëíåíà
äîæäåâîé âîäîé äî êðàåâ? Êàïëè äîæäÿ ïàäàþò âåðòèêàëüíî
ñî ñêîðîñòüþ v = 3 ì/c. Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã ì 3 .
Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì g = 10 ì ñ2 .
Ñîóäàðåíèå êàïåëü ñ âîäîé â ÷àøå ñ÷èòàòü íåóïðóãèì.
3. Ðàçâèâàÿ ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ, àâòîáóñ
äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ó÷àñòêó øîññå ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ v0 . Êîãäà àâòîáóñ ïðè íåèçìåííîé ìîùíîñòè
äâèãàòåëÿ âúåçæàåò íà ïîäúåì ñ óãëîì íàêëîíà α1 , åãî
ñêîðîñòü ïàäàåò äî v1 . Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v2 àâòîáóñ
áóäåò ïðåîäîëåâàòü ïîäúåì ñ óãëîì íàêëîíà α 2 < α1 ïðè
òîé æå ìîùíîñòè, ðàçâèâàåìîé äâèãàòåëåì? Ïðîñêàëüçûâàíèå âåäóùèõ êîëåñ àâòîáóñà íà âñåõ ó÷àñòêàõ øîññå îòñóòñòâóåò. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè
àâòîáóñà.
4. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà ïîäâåøåíû íà íåâåñîìûõ íåðàñòÿæèìûõ íèòÿõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 10. Ñèëû íàòÿæåíèÿ
âåðõíåé è ñðåäíåé íèòåé Ðèñ. 10
T1 è T2 èçâåñòíû. Íàéäèòå
ñèëó íàòÿæåíèÿ T3 íèæíåé íèòè, åñëè îíà ãîðèçîíòàëüíà.
5. Òîíêîñòåííûé ñòàêàí âìåñòèìîñòüþ V0 = 200 ñì 3 è
ìàññîé m = 100 ã ïîãðóæàþò â âîäó, äåðæà åãî äíîì ââåðõ.
Íà êàêîé ãëóáèíå h ïðåäîñòàâëåííûé ñàìîìó ñåáå ñòàêàí
ïåðåñòàíåò âñïëûâàòü? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 105 Ïà,
ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã ì 3 , òåìïåðàòóðà âîäû íå ìåíÿåòñÿ ñ ãëóáèíîé. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèíÿòü
ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Ðàçìåðàìè ñòàêàíà ïî ñðàâíåíèþ ñ
ãëóáèíîé åãî ïîãðóæåíèÿ, äàâëåíèåì ïàðîâ âîäû, à òàêæå
îáúåìîì ñòåíîê ñòàêàíà ïðåíåáðå÷ü.
6. Ñàäîâûé íàñîñ, ðàñïîëîæåííûé â ñêâàæèíå íà ãëóáèíå
h, ïîäàåò âîäó íà ïîâåðõíîñòü çåìëè ïî øëàíãó ïëîùàäüþ
ñå÷åíèÿ S. Êàêóþ ìîùíîñòü N ðàçâèâàåò íàñîñ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îí íàïîëíÿåò âîäîé âåäðî îáúåìîì V çà âðåìÿ τ ?
Ïëîòíîñòü âîäû ρ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.
7. Ê ïîòîëêó ïîêîÿùåéñÿ êàáèíû ëèôòà íà ïðóæèíå
æåñòêîñòüþ k ïîäâåøåíà ãèðÿ ìàññîé m. Â íåêîòîðûé ìîìåíò
âðåìåíè ëèôò íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ââåðõ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a. Êàêîé ïóòü s ïðîéäåò êàáèíà ëèôòà ê òîìó
ìîìåíòó, êîãäà äëèíà ïðóæèíû äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ?
8.  êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, ñîâåðøàþùèé ìåæïëàíåòíûé
ïåðåëåò, ïîïàë ìåòåîðèò, ïðîáèâøèé â êîðïóñå ìàëåíüêîå
îòâåðñòèå, ÷åðåç êîòîðîå íàðóæó ñòàë âûõîäèòü âîçäóõ.
Îáúåì êîðàáëÿ V = 1000 ì 3 , íà÷àëüíîå äàâëåíèå âîçäóõà â
íåì p0 = 105 Ïà, òåìïåðàòóðà t = 27 °C . ×åðåç êàêîå âðåìÿ
τ ïîñëå ïîïàäàíèÿ ìåòåîðèòà äàâëåíèå âîçäóõà â êîðàáëå
óìåíüøèòñÿ íà ∆p = 103 Ïà , åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ
S = 1 ñì2 ? Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà Μ =
= 29 ã/ìîëü, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ (ìîëü × Ê ) . Ïðè ðåøåíèè ó÷åñòü, ÷òî ∆p = p0 ; òåìïåðàòóðó
âîçäóõà âíóòðè êîðàáëÿ ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé, à ïðîöåññ èñòå÷åíèÿ âîçäóõà – êâàçèðàâíîâåñíûì.
9.  çàêðûòîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå
ïîä íåâåñîìûì òîíêèì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ îäèí ìîëü èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî
ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300 Ê (ðèñ.11).
 ïðîñòðàíñòâå íàä ïîðøíåì ñîçäàí âàêó- Ðèñ. 11
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
óì. Ïîðøåíü óäåðæèâàåòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðóæèíîé, ïîìåùåííîé ìåæäó ïîðøíåì è êðûøêîé öèëèíäðà, ïðè÷åì
ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà, åñëè ïîðøåíü ðàñïîëàãàåòñÿ ó
äíà öèëèíäðà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íóæíî ñîîáùèòü ãàçó, ÷òîáû åãî îáúåì óâåëè÷èëñÿ â n = 1,5ðàçà?
Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ ( ìîëü × Ê ) .
Òåïëîåìêîñòüþ ñîñóäà è òåïëîîáìåíîì ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ïðåíåáðå÷ü.
10.  çàêðûòîì ñ îäíîãî êîíöà öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå
íàõîäÿòñÿ äâà òîíêèõ ïîðøíÿ, ñïîñîáíûõ ïåðåìåùàòüñÿ áåç
òðåíèÿ è ðàçäåëÿþùèõ
ïðîñòðàíñòâî âíóòðè ñîñóäà íà äâà îòñåêà
(ðèñ.12). Â ëåâîì îòñåêå
çàêëþ÷åí âîäÿíîé ïàð
ïðè äàâëåíèè ð, à â ïðàâîì – âîçäóõ ïðè òîì æå
Ðèñ. 12
äàâëåíèè, ïðè÷åì äëèíû îòñåêîâ îäèíàêîâû è ðàâíû L. Ïðàâûé ïîðøåíü ìåäëåííî
ïåðåäâèíóëè âëåâî íà ðàññòîÿíèå l. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå x
ñìåñòèòñÿ ïðè ýòîì ëåâûé ïîðøåíü? Òåìïåðàòóðó ïàðà è
âîçäóõà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå ðàâíî 2p.
11. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî âîçäóøíîãî êîíäåíñàòîðà ðàñïîëîæåíû ãîðèçîíòàëüíî. Âåðõíÿÿ ïëàñòèíà ñäåëàíà ïîäâèæíîé
è íàõîäèòñÿ â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè íà âûñîòå h = 1 ìì íàä
íèæíåé ïëàñòèíîé, êîòîðàÿ çàêðåïëåíà. Êîíäåíñàòîð çàðÿäèëè äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 1000 Â, îòêëþ÷èëè îò
èñòî÷íèêà è îñâîáîäèëè âåðõíþþ ïëàñòèíó. Êàêóþ ñêîðîñòü
ïðèîáðåòåò ïàäàþùàÿ ïëàñòèíà ê ìîìåíòó ñîïðèêîñíîâåíèÿ
ñ íèæíåé ïëàñòèíîé? Ìàññà âåðõíåé ïëàñòèíû m = 4,4 ã,
2
ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S = 0,01 ì , ýëåêòðè÷åñêàÿ ïî-12
ñòîÿííàÿ ε0 = 8,85 × 10
Ô ì . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà
ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 .
12. Ýêðàí ýëåêòðîííî-ëó÷åâîé òðóáêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïðÿìîóãîëüíèê ñ äèàãîíàëüþ d = 51 ñì è ñîîòíîøåíèåì
ñòîðîí 3:4. Ñèëà òîêà â ýëåêòðîííîì ëó÷å I = 0,5 ìÀ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ýëåêòðîíû ëó÷à, ïîïàâøèå íà ýêðàí,
îñòàþòñÿ íà íåì, ðàñïðåäåëÿÿñü ïî åãî ïîâåðõíîñòè ðàâíîìåðíî. ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ óñòðîéñòâà
íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè
ýêðàíà äîñòèãíåò ïî âåëè÷èíå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè óåäèíåííîãî ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà ðàäèóñîì R = 10 ñì, çàðÿæåííîãî äî ïîòåíöèàëà ϕ = 3 êÂ? Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ
ε0 = 8,85 × 10 -12 Ô/ì.
13.  öåïè, èçîáðàÐèñ. 13
æåííîé íà ðèñóíêå 13,
êëþ÷ K â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè íàõîäèëñÿ â çàìêíóòîì ñîñòîÿíèè.  íåêîòîðûé ìîìåíò êëþ÷ ðàçîìêíóëè.
Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q âûäåëèëîñü â ñõåìå ïîñëå
ýòîãî? Åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ C1 = 1 ìêÔ è
C2 = 2 ìêÔ, ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà R = 4 Îì,
ÝÄÑ èñòî÷íèêà - = 10 Â,
åãî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 1 Îì.
14. Äëÿ èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû t ñîáðàíà ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ÷åòûðåõ
ðåçèñòîðîâ è ïîäêëþ÷åíÐèñ. 14
íàÿ ê èñòî÷íèêó ñ ÝÄÑ U
#
è ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ.14). Òåìïåðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ ïîïàðíî ðàâíû è ñîñòàâëÿþò α1 è α 2 ñîîòâåòñòâåííî, à ñîïðîòèâëåíèÿ
âñåõ ðåçèñòîðîâ ïðè òåìïåðàòóðå 0 °C îäèíàêîâû. Êàê
çàâèñèò íàïðÿæåíèå U12 ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 îò òåìïåðàòóðû? Ñ÷èòàòü, ÷òî â äèàïàçîíå èçìåðÿåìûõ òåìïåðàòóð α1t = 1
è α 2t = 1 .
15. Äâà ïàðàëëåëüíûõ ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îäíîðîäíîìó
ìàãíèòíîìó ïîëþ ñ èíäóêöèåé B (ðèñ.15).
Ñòåðæíè ñîåäèíåíû íåïîäâèæíûì ïðîâîäíèêîì ñîïðîòèâëåíèåì R.
Äâà äðóãèõ ïðîâîäíèêà
ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 è Ðèñ. 15
R2 íàõîäÿòñÿ ñëåâà è
ñïðàâà îò íåïîäâèæíîãî ïðîâîäíèêà è ñêîëüçÿò ïî ñòåðæíÿì
â îäíó è òó æå ñòîðîíó ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2 . Êàêîé òîê I
òå÷åò ïî íåïîäâèæíîìó ïðîâîäíèêó? Ñîïðîòèâëåíèå ñòåðæíåé ïðåíåáðåæèìî ìàëî.
16. Öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 16, ñîñòîèò èç êîíäåíñàòîðà, êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè, èñòî÷íèêà ñ ÝÄÑ - è
ïðåíåáðåæèìî ìàëûì
âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì, à òàêæå êëþ÷à K.
 íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè êëþ÷ ðàçîìêíóò, à êîíäåíñàòîð çàðÿæåí äî íàïðÿæåíèÿ
U0 ñ ïîëÿðíîñòüþ, óêàçàííîé íà ðèñóíêå. Êà- Ðèñ. 16
êîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Umax ìîæåò äîñòè÷ü íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå
ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à? Ñîïðîòèâëåíèåì êàòóøêè è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü.
17. Îïòè÷åñêàÿ ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 17, ñîñòîèò èç íåïðîçðà÷íîãî ýêðàíà ñ ìàëåíüêèì îòâåðñòèåì O è äâóõ
ïëîñêèõ çåðêàë 1 è 2. Ëó÷ ñâåòà
ïðîõîäèò ÷åðåç îòâåðñòèå O,
îòðàæàåòñÿ îò çåðêàë 1 è 2 è
âûõîäèò îáðàòíî ÷åðåç ýòî îòâåðñòèå, ïðè÷åì óãîë ïàäåíèÿ
ëó÷à íà çåðêàëî 1 ðàâåí α , à
ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà 2
ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíî çåðêàëó 1. Êîãäà çåðêàëî 1 ñìåñòèëè âëåâî ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå íà ðàññòîÿíèå
d1 , ëó÷ ïåðåñòàë ïîïàäàòü â
îòâåðñòèå O. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå d2 íóæíî ñìåñòèòü ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå çåðêàëî 2,
÷òîáû ëó÷ ñíîâà ïîïàë â ýòî Ðèñ. 17
îòâåðñòèå? Ðàçìåð îòâåðñòèÿ
ïðåíåáðåæèìî ìàë.
18. Îïòè÷åñêèé ñêàíåð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëüíóþ
øåñòèãðàííóþ ïðèçìó ñ çåðêàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, âðàùàþùóþñÿ âîêðóã ñâîé îñè O (ðèñ.18). Øèðèíà êàæäîé ãðàíè à.
Ñíèçó íà ñêàíåð ïàäàåò âåðòèêàëüíûé ñâåòîâîé ëó÷, ïðîäîëæåíèå êîòîðîãî ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè à/2 îò îñè âðàùåíèÿ ñêàíåðà. Ðÿäîì ñî ñêàíåðîì âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåíà
òîíêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà áîëüøîãî äèàìåòðà. Ôîêóñíîå
ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî F, à åå ãëàâíàÿ îïòè÷åñêàÿ îñü
ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ ñêàíåðà.  ïðàâîé ôîêàëüíîé
#
ÊÂÀÍT 2008/¹1
ïëîñêîñòè ëèíçû ðàñïîëîæåí øèðîêèé ýêðàí,
íèæíèé êðàé êîòîðîãî
íàõîäèòñÿ íà îïòè÷åñêîé
îñè ëèíçû. Îïðåäåëèòå
äëèíó d îòðåçêà, êîòîðûé çàìåòàåò íà ýêðàíå
ñâåòîâîé ëó÷, îòðàæåííûé îò ïîâåðõíîñòè ñêàíåðà.
19. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ îäèíàêîâûõ òîíêèõ ñîáèðàÐèñ. 18
þùèõ ëèíç ñ ôîêóñíûì
ðàññòîÿíèåì F êàæäàÿ. Ëèíçû ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè
L äðóã îò äðóãà (F < L < 2F) òàê, ÷òî èõ ãëàâíûå îïòè÷åñêèå
îñè ñîâïàäàþò. Ñëåâà îò ñèñòåìû íà ðàññòîÿíèè 2F îò ëåâîé
ëèíçû íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h ñìåñòèòñÿ èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà, äàâàåìîå ýòîé
ñèñòåìîé, åñëè ïðàâóþ ëèíçó ñäâèíóòü ïåðïåíäèêóëÿðíî åå
îïòè÷åñêîé îñè âíèç íà ðàññòîÿíèå H?
20. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà «êîëüöà Íüþòîíà» íàáëþäàåòñÿ â îòðàæåííîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå ñ äëèíîé
âîëíû λ = 0,63 ìêì. Èíòåðôåðåíöèÿ âîçíèêàåò â çàïîëíåííîì áåíçîëîì òîíêîì çàçîðå ìåæäó âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ
ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû è ïëîñêîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé.
Íàéäèòå ðàäèóñ r ïåðâîãî (âíóòðåííåãî) òåìíîãî êîëüöà,
åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 10 ì, à
ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ëèíçû è ïëàñòèíêè îäèíàêîâû è
ïðåâûøàþò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ áåíçîëà n = 1,5. Ñâåò
ïàäàåò ïî íîðìàëè ê ïëàñòèíêå.
Õèìè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
1. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí ýëåêòðîëèçà Ôàðàäåÿ.
2. ×òî òàêîå ñèñòåìà îòñ÷åòà?
3. Ïðîòîí äâèæåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ ïî
ïðÿìîé ëèíèè. Êàêîâà ñêîðîñòü ïðîòîíà, åñëè èíäóêöèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ  = 50 ìÒë, à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = 104  ì ?
4. Íà òîíêóþ ðàññåèâàþùóþ ëèíçó ïàäàåò ëó÷ ñâåòà 1, õîä
ïðåëîìëåííîãî â ëèíçå ëó÷à 2 èçâåñòåí (ðèñ.19). Ëèíçó
çàìåíèëè íà ñîáèðàþùóþ
ñ òåìè æå ïîëîæåíèÿìè
ôîêóñîâ. Ïîñòðîéòå õîä
ëó÷à 1 ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ
â ýòîé ëèíçå.
5. Â áàëëîíå íàõîäèòñÿ
äâóõàòîìíûé èäåàëüíûé
ãàç. Ïðè íàãðåâàíèè ãàçà
Ðèñ. 19
åãî àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà óâåëè÷èëàñü â äâà ðàçà, à ïîëîâèíà ìîëåêóë äèññîöèèðîâàëà (ðàñïàëàñü íà àòîìû). Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèëîñü
(óâåëè÷èëîñü èëè óìåíüøèëîñü) äàâëåíèå ãàçà â áàëëîíå?
6. Ïî äâóñêàòíîé êðûøå âäîëü ïîâåðõíîñòè ÀÂ ñîñêàëüçûâàåò ñîñóëüêà (ðèñ.20).
Êàêîâà ñêîðîñòü ñîñóëüêè v0 â ìîìåíò îòðûâà îò
ïîâåðõíîñòè ÀÂ, åñëè
ðàññòîÿíèå îò òî÷êè  äî
òî÷êè ñîóäàðåíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ êðûøè ÂÑ
ðàâíî l, à ñêîðîñòü ñîÐèñ. 20
ñóëüêè ïåðåä ñîóäàðåíè-
åì â n ðàç áîëüøå v0 ?
Ñ÷èòàòü óãîë α èçâåñòíûì, ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
7. Íà ëåãêîé äèýëåêòðè÷åñêîé íèòè â îäíîðîäíîì
ìàãíèòíîì ïîëå ïîäâåøåí
ìàëåíüêèé ïîëîæèòåëüíî
Ðèñ. 21
çàðÿæåííûé
øàðèê
(ðèñ.21). Øàðèê îòêëîíèëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òàê,
÷òî íèòü ñòàëà ãîðèçîíòàëüíîé, è îòïóñòèëè. Íàéäèòå ñèëó
íàòÿæåíèÿ íèòè ïðè ïðîõîæäåíèè øàðèêîì íèæíåãî ïîëîæåíèÿ. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà Â è íàïðàâëåíà
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ øàðèêà. Ìàññà è
çàðÿä øàðèêà m è q ñîîòâåòñòâåííî, äëèíà íèòè l.
8. Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó
ïó÷êà ñâåòà îò ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà ñ äëèíîé âîëíû
λ = 633 íì íàáëþäàåòñÿ
âñåãî k = 7 äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ. Êàêîâ
ïåðèîä d äàííîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè?
9. Â öåïè, ñõåìà êîòîðîé
èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 22,
ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðîâ
R = 4 Îì, âíóòðåííåå ñî- Ðèñ. 22
ïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà
òîêà r = 2 Îì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à K?
10. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ êëèí,
èìåþùèé ìàññó Ì = 0,64 êã
(ðèñ.23). Î ãëàäêóþ íàêëîííóþ
ïîâåðõíîñòü êëèíà óäàðÿåòñÿ
øàðèê ìàññîé m = 0,15 êã, ëåòåâøèé ãîðèçîíòàëüíî. Êàêèì äîëæåí áûòü óãîë êëèíà α , ÷òîáû
øàðèê îòñêî÷èë âåðòèêàëüíî
ââåðõ? Óäàð ñ÷èòàòü àáñîëþòíî Ðèñ. 23
óïðóãèì.
Âàðèàíò 2
1. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà.
2. ×òî òàêîå ðåçîíàíñ?
3. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ
ïðîâîäÿùèì êîíòóðîì, ìåíÿåòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 24. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ÝÄÑ,
èíäóöèðóåìîé â ýòîì
êîíòóðå.
4. Äâà îäèíàêîâûõ
áðóñêà íàõîäÿòñÿ íà
íàêëîííîé ïëîñêîñòè
íà îäíîì óðîâíå.
Áðóñêàì ñîîáùàþò
îäèíàêîâûå íà÷àëüíûå ñêîðîñòè âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè:
ïåðâîìó – âíèç, ê îñíîâàíèþ íàêëîííîé
ïëîñêîñòè, âòîðîìó –
â ïðîòèâîïîëîæíîì
íàïðàâëåíèè, ê âåðøèÐèñ. 24
íå ïëîñêîñòè. Êàêîé
èç áðóñêîâ áóäåò èìåòü áóëüøóþ ñêîðîñòü, êîãäà îíè îêàæóòñÿ ó îñíîâàíèÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? Ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ïîâåðõíîñòüþ µ < tg α .
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÂÊÀÀÐÇÈÀÀÍÍÈÒßÛ,
5. Â ñåðåäèíå íåïîäâèæíî çàêðåïëåííîãî ãîðèçîíòàëüíîãî
öèëèíäðè÷åñêîãî ñîñóäà, îòêðûòîãî ñ îäíîé ñòîðîíû, íàõîäèòñÿ òîíêèé ïîðøåíü.  çàêðûòîé ÷àñòè öèëèíäðà – âîçäóõ.
Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñèëó ñëåäóåò ïðèëîæèòü ê ïîðøíþ,
÷òîáû ìåäëåííî âûòàùèòü åãî èç öèëèíäðà? Àòìîñôåðíîå
äàâëåíèå p0 = 105 Ïà . Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà S = 4 ñì2 . Òåìïåðàòóðó ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Âîçäóõ ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì.
6. Áàòàðåÿ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êîíäåíñàòîðîâ, ñîåäèíåííûõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 25. Âî ñêîëüêî ðàç
èçìåíèòñÿ ýëåêòðîåìêîñòü áàòàðåè (óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ)
ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à
K?
7. Äëÿ ðàçìîðàæèâàíèÿ âîäîïðîâîäíîé òðóáû, â êîòîðîé çàìåðçëà
Ðèñ. 25
âîäà, ïðèìåíèëè ýëåêòðè÷åñêèé íàãðåâàòåëü. Íàãðåâàòåëü ïîäêëþ÷èëè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèåì U = 220 Â. Êàêèì äîëæíî áûòü ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëÿ, ÷òîáû çà âðåìÿ τ = 1 ìèí îí ðàñòàïëèâàë
m = 1 êã ëüäà? Ó÷åñòü, ÷òî ïîòåðè òåïëà ñîñòàâëÿþò k = 40%.
Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 3,3 × 105 Äæ êã .
8. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì îïèðàåòñÿ íà ïîë è íà ñòåíó.
Íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ñêîëüçèò ïî ïîëó, óäàëÿÿñü îò ñòåíû,
à âåðõíèé ñêîëüçèò ïî ñòåíå âíèç. Íàéäèòå ïóòü, ïðîéäåííûé
òî÷êîé Ñ, ëåæàùåé íà ñåðåäèíå ñòåðæíÿ, ïðè äâèæåíèè
ñòåðæíÿ îò âåðòèêàëüíîãî äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ.
ÐÅØÅÍÈß
#!
9. Â öåïè, ñõåìà êîòîðîé
ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 26,
ðåçèñòîðû èìåþò ñîïðîòèâR1 = 100 Îì
ëåíèÿ
è
R2 = 200 Îì . Àìïëèòóäà
ïîäâåäåííîãî íàïðÿæåíèÿ
U0 = 20 B . Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëÿåòñÿ â
öåïè çà âðåìÿ τ = 1 ìèí ? Ðèñ. 26
Ïåðèîä êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ T = τ . Äèîäû ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè.
10. Òîíêèé ñòåðæåíü ÀÂ ðàñïîëîæåí ïîä óãëîì α = 45° ê
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñîáèðàþùåé ëèíçû (ðèñ.27). Ïîä
êàêèì óãëîì β ê îñè ðàñïîëîæåíî äåéñòâèòåëüíîå
èçîáðàæåíèå ñòåðæíÿ, äàâàåìîå ëèíçîé? Ôîêóñíîå
ðàññòîÿíèå ëèíçû F =
= 20 ñì. Ðàññòîÿíèå îò íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ äî ëèíçû d = 60 ñì.
Ðèñ. 27
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåãóíö, Ñ.Âîëîøèí,
Â.Âîðîíèí, Å.Ãðèãîðüåâ, Ä.Äåíèñîâ, À.Çîòååâ,
Â.Êîðîëåâ, Ò.Ëóêàøåíêî, Ã.Ìåäâåäåâ, Â.Ïàíôåðîâ,
Â.Ïîãîæåâ, À.Ðàçãóëèí, È.Ñåðãååâ, À.Ñêëÿíêèí,
Â.Óøàêîâ, Å.Õàéëîâ, Ñ.×åñíîêîâ, Å.Øèêèí, Á.Ùåäðèí
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6–8»
(ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 2007 ã.)
1. Çàíóìåðóåì ìîíåòû ñëåâà íàïðàâî âäîëü ãîðèçîíòàëüíîãî
îòðåçêà, íà êîòîðîì îíè ëåæàò: 1, 2, …, 99, 100. Ñäâèíåì âñå
÷åòíûå ìîíåòû âíèç, à ïîòîì «èçîãíåì» äâà ïîëó÷åííûõ ãîðèçîíòàëüíûõ îòðåçêà ñ ìîíåòàìè òàê, ÷òîáû âåðõíèå (íå÷åò-
1 1 1 1 1
201
+ + + + +
£2.
r q p n m mnpqr
Ðèñ. 1
íûå) ìîíåòû ðàñïîëîæèëèñü âäîëü âåðõíåé ÷àñòè îêðóæíîñòè, à íèæíèå (÷åòíûå) – âäîëü íèæíåé (ðèñ.1).  ýòîì ñëó÷àå ëþáûå äâå ñîñåäíèå ìîíåòû îòëè÷àþòñÿ ïî âåñó ìåíåå,
÷åì íà 0,02 ãðàììà.
Ðèñ. 2
2. à) Ñì. ðèñ.2. Íåñëîæíî
óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè ïðè
ïåðåñå÷åíèè òðåõ êðóãîâ îáðàçóþòñÿ 6 îáëàñòåé, òî íàéäåòñÿ
êðóã, ñîäåðæàùèé ðîâíî 3 îáëàñòè. Ëþáàÿ ñóììà, áîëüøàÿ
15 è ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë îò
1 äî 6, òðåáóåò íàëè÷èÿ â êàæäîì êðóãå íå ìåíåå 4 îáëàñòåé.
á) Ñì. ðèñ.3 (îäèí èç êðóãîâ
ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ â äðóÐèñ. 4
ãîì).
â) Ñì. ðèñ.4. Â ìíîãîóãîëüíèêàõ ACEFLGHK, ABDLFHK,
BCEGLK ñóììà ÷èñåë ðàâíà 16.
3. Çàïèøåì äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî â âèäå
Ðèñ. 3
Ñóììà äðîáåé â ëåâîé ÷àñòè ìàêñèìàëüíà ëèøü â òîì ñëó÷àå,
êîãäà p, q, r, m, n ïðèíèìàþò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, òî åñòü âûáèðàþòñÿ èç ìíîæåñòâà {1, 3, 5, 7, 9}. Òîãäà â
1 1 1 1 1 201
= 2 £ 2.
ëåâîé ÷àñòè ñòîèò âûðàæåíèå + + + + +
1 3 5 7 9 945
4. Òðàäèöèîííîå ðåøåíèå îñíîâàíî íà ñâîéñòâå ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà. Ìû ïðèâåäåì äðóãîå ðåøåíèå, èñïîëüçóþùåå èäåþ ïëîùàäè. Ïóñòü òî÷êà Ì äåëèò ïîïîëàì ñòîðîíó
ÀÂ, à òî÷êà N – ñòîðîíó CD
÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD è
ïóñòü MN äåëèò ïîïîëàì äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå K (ðèñ.5).
Òàê êàê â ÷åòûðåõóãîëüíèêå
Ðèñ. 5