Алгебра 11 класс ... Шаршина Юлия Юрьевна ГОУ ЦО 162 Санкт-Петербург

Алгебра 11 класс
тема: “Производная и ее геометрический смысл”.
Шаршина Юлия Юрьевна ГОУ ЦО 162 Санкт-Петербург
Теория
Производная степенной функции для любого
действительного показателя:
(𝑥 𝑝 )'= 𝑝𝑥 𝑝−1
Примеры решений
Найти производную функции:
f(x)=x5
Решение:
f ′(x) = (𝑥 5 )'= 5𝑥 5−1 = 𝑥 4
с'=0;
6'=0; 12'=0; (-58)'=0
x'=1
Постоянный множитель можно вынести за знак Найти производную функции:
f(x)=4x6
производной:
(сf(x))'=cf'(x)
Решение:
𝑓 ′(𝑥) = (4𝑥 6 )'= 4 ∙ 6𝑥 6−1 = 24𝑥 5
Производная суммы равна сумме производных: Найти производную функции:
f(x)=2x4-3x3+4x
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
Решение:
f '(x)=(2x4-3x3+4x)'=2∙4x4-1-3∙3x3-1+4=8x3-9x2+4
Производная произведения:
(f(x)∙g(x))'=f'(x)∙g(x)+ f(x)∙g'(x)
Производная частного:
Найти производную функции f(x)∙g(x), если
f(x)=3x2-5, g(x)=2x+7.
Решение:
(f(x)∙g(x))'=(3x2-5)'(2x+7)+ =(3x2-5)(2x+7)'=6x(2x7)+(3x2-5)∙2=12x2-42x+6x2-10=18x2-42x-10
Найти производную функции:
𝑥3
𝑓(𝑥)
(𝑔(𝑥)) ′ =
𝑓 ′ (𝑥)∙𝑔(𝑥)− 𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
𝑔2 (𝑥)
, при g(x)≠0
f(x)= 2
𝑥 +1
Решение:
f'(x) = (
𝑥3
′
) =
𝑥 2 +1
3𝑥 2 (𝑥 2 +1)−𝑥 3 ∙2𝑥
(𝑥 2 +1)2
Производные некоторых элементарных
функций:
(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
(𝑎 𝑥 )′ = 𝑙𝑛𝑎
1
1
(𝑙𝑛𝑥)′ = 𝑥
(log 𝑎 𝑥)′ = 𝑥𝑙𝑛𝑥
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥
Производная сложной функции:
(f(g(x)))'=f'(g(x))∙g'(x)
=
(𝑥 3 )′ (𝑥 2 +1)−𝑥 3 (𝑥 2 +1)′
(𝑥 2 +1)2
4
3𝑥 +3𝑥 2 −2𝑥 4
(𝑥 2 +1)2
=
=
𝑥 4 +3𝑥 2
(𝑥 2 +1)2
Найти производные функций:
(3𝑒 𝑥 )′ = 3𝑒 𝑥
(2𝑎 𝑥 )′ = 2𝑙𝑛𝑎
5
7
(5𝑙𝑛𝑥)′ = 𝑥
(7 log 𝑎 𝑥)′ = 𝑥𝑙𝑛𝑥
(9𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 9𝑐𝑜𝑠𝑥
(−4𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = 4𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
′
𝑥
(2𝑒 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥) = 2𝑒 − 5𝑐𝑜𝑠𝑥
Найти производную функции:
f(x)=(2x+3)8
Решение:
f'(x)=((2x+3)8)'=8(2x+3)8-1∙(2x+3)'=8(2x+3)7∙2=
=16(2x+3)7
Найти производную функции:
f(x)=sin(4x3+3)
Решение:
f'(x)=(sin(4x3+3))'=cos(4x3+3)∙(4x3+3)'=
=cos(4x3+3)∙12x2=12x2∙cos(4x3+3)
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной состоит в
том, что значение производной функции f(x) в
точке х равно угловому коэффициенту
касательной к графику функции в точке (x;f(x)).
f'(x)=tgα=k
Графиком касательной y=kx+b является
прямая.
y=kx+b
Число k=tgα называют угловым коэффициентом
прямой, а угол α – углом между этой прямой и
осью Ох.
Уравнение касательной к графику функции в
точке (x0;f(x0))
y= f (x)+f '(x)∙(x-x0)
1)Найти значение производной функции
f(x)=2x3+4x2-2 в точке x0=2.
2)Найти угловой коэффициент касательной к
графику функции f(x)=2x3+4x2-2 в точке с
абсциссой x0=2
3)Найти тангенс угла между касательной к
графику функции f(x)=2x3+4x2-2 в точке с
абсциссой x0= 2 и осью Ох.
Решение:
f '(x)=(2x3+4x2-2)'=6x2+8x
f '(2)=6∙22+8∙2=6∙4+16=24+16=40
Ответ: f '(2)=40
Написать уравнение касательной к графику
функции f(x)= 2x3+4x2-2
в точке с абсциссой x0= -2.
Решение:
f(-1)= 2(-2)3+4(-2)2-2=2∙(-8)+4∙4-2=-16+16-2=-2
f '(x)=( 2x3+4x2-2)'=6x2+8x
f '(2)=6∙(-2)2+8∙(-2)=6∙4-16=24-16=8
y= f (x)+f '(x)∙(x-x0)
y= -2+8(x+2)
y=-2+8x+16
y=8x+14
Ответ: y=8x+14