Фишман Б.Е., Василенко В.С.

К ВОПРОСУ О КАЧЕСТВЕННОМ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ
РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ СОЛОУ
Б.Е. Фишман, В.С. Василенко
Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН,
Биробиджан, Россия
TO THE QUESTION ABOUT THE QUALITATIVE ANALYSIS OF THE
REGIONAL DEVELOPMENT ON THE BASE OF THE SOLOW’S
MODEL
B.E. Fishman, V.S. Vasilenko
Institute for Complex Analysis of Regional Problems FEB RAS,
Birobidzhan, Russia
Важность рассмотрения динамики регионального развития напрямую
связана с необходимостью принятия системных управленческих решений на
уровне регионов. Такие решения должны быть сбалансированными с
экономических позиций и учитывать вероятные социальные, экологические и
иные последствия. Это означает необходимость построения комплексных
моделей динамики регионального развития.
Одним из наиболее распространенных подходов к теоретическому
моделированию динамики экономических объектов является использование
модели экономического роста Солоу. Существенным достоинством этой
модели является возможность нахождения оптимального («золотого») уровня
накопления, при котором экономика выходит на стационарную траекторию
развития.
Модель Р. Солоу представляет экономику рассматриваемого объекта
как единое целое, в котором осуществляется производство условного
продукта (обобщенно синтезирующего все многообразие реальных
продуктов). При этом произведенный продукт может, как потребляться, так и
инвестироваться в производство. Экспорт и импорт продукции в явном виде
модель не учитывает. В общем случае модель Р. Солоу в абсолютных
показателях может быть представлена следующей системой уравнений:
Y  F ( K , L),

 K   K  I ,

 L   L,
 I  aY ,

Y  C  I ,
Y  F ( K , L),

 K   K  aY ,

 L   L,
Y  C  I ,


(1)
Y
K
где − валовой выпуск,
− основные производственные фонды, L −
число занятых, F ( K , L) - производственная функция (ПФ), I - инвестиции, C
- потребление, a - норма сбережений (инвестиций),  - норма выбытия,  -
темп роста численности занятых.
Модель (1) обладает следующими отличительными свойствами:
1) ПФ F ( K , L) - нелинейная, чаще всего (хотя и не обязательно) отдача
от масштаба постоянна: F (tK , tL)  tF ( K , L) ;
2) предельная производительность факторов положительна, но
убывает: Y ' K  0 ; Y ' L  0 ; Y ' ' KK  0 ; Y ' ' LL  0 ;
3) величина
выбытия
основного
капитала
считается
K
пропорциональной
его
величине
(коэффициент

пропорциональности );
4) норма сбережений (инвестиций) a постоянна;
5) объем валового выпуска Y распределяется на потребление и
инвестиции;
6) численность занятых L растет с постоянным темпом  .
К достоинствам модели Р. Солоу относится то, что на ее основе может
быть рассмотрена задача максимизации уровня потребления на некотором
множестве устойчивых траекторий.
В стандартной модели Р. Солоу используется ПФ Кобба-Дугласа:
F ( K , L)  a 0 K a1 La2
,
где a 0 - коэффициент, отражающий влияние научно-технического
прогресса на динамику регионального развития; a1 и a 2 - коэффициенты
эластичности по основным производственным фондам и труду (численности
занятых в экономике) соответственно.
В дальнейшем в качестве объекта моделирования будем рассматривать
динамику экономики ЕАО. При этом в качестве показателя валового выпуска
Y будем использовать динамику валового регионального продукта ЕАО.
Несомненно актуальным представляется нам вопрос исследования
устойчивости решения данной системы дифференциальных уравнений.
Из исследуемой системы дифференциальных уравнений:


Y  Y  aA0 K  1 L    ,

 K   K  aY ,
 L  L.

можно определить, что имеется одно решение – это прямая особых точек,
Y , K , L   Y , a  Y ,0 

 . Исследуя на
проходящая через начало координат
устойчивость данную систему дифференциальных уравнений, были найдены
следующие собственные значения матрицы коэффициентов:
1   ,


2
2

            2      


 2 ,3
2

 2,3
Используя выражение для
можно строго показать, что
1  0,

2  3  0.
То есть, в случае положительного дискриминанта характер особых
точек – седло, в случае отрицательного дискриминанта – фокус. В любом
случае можно сделать вывод о том, что фазовый портрет в целом имеет
неустойчивый характер.
Представляет интерес применение «Золотого правила» накопления,
выведенного в модели Р. Солоу, к анализу региональной динамики ЕАО.
Сущность «Золотого правила» состоит в том, что надлежащим
выбором нормы накопления можно максимизировать среднедушевое
потребление в стационарном режиме (который, в свою очередь,
характеризуется некоторым устойчивым уровнем капиталовооруженности).
Другими словами, «Золотое правило» - это правило выбора
оптимального объема капитала и нормы накопления для максимизации
удельного потребления. Причем в анализе следует учитывать, что
потребление – это разница между доходом и инвестициями, а эти показатели
напрямую зависят от стационарного уровня фондовооруженности.
Согласно «Золотому правилу» накопления величина удельной
фондовооруженности K L находится в стационарном состоянии, если ее
прирост за счет инвестиций равен ее уменьшению за счет других факторов.
Легко проверить, что когда экономика находится на стационарном уровне,
0
основные производственные фонды K и численность занятых в экономике
L0 пропорциональны друг другу:
aa0
 L0
 
К 0  1
(2)
При этом потребление C a  , соответствующее этому стационарному
состоянию, будет также пропорционально численности занятых в экономике:
0
 a0
C (a)  

    
0
1





1
1 1
 a  1  a 
 L0
(3)
Абсцисса максимума функции (3) a   . Таким образом, в
классической модели Р. Солоу наибольшее среднедушевое потребление
достигается, когда норма накопления равна эластичности выпуска по
фондам.
Представляет интерес сравнение реальной динамики основных
производственных фондов и текущего потребления ЕАО с динамикой,
полученной при условии, если бы ежегодно соблюдалось «Золотое правило»
накопления (см. рис. 1). Параметры частного случая модели Р. Солоу были
рассчитаны на основании статистических данных о развитии ЕАО исходя из
условия минимума квадрата отклонения расчетных значений от фактических:
Y  0.145  K 0.278 L0.722 ,

 K  0.005  K  0.278  Y ,
 L  0.024  L.

Расчетная динамика указанных факторов определялась исходя из
текущего уровня численности занятых по формулам (2) и (3).
Существующие на сегодняшний день тенденции свидетельствуют о
стремлении максимизировать текущее среднедушевое потребление, при этом
не принимаются в расчет перспективы развития. В то время как для
максимизации потребления на длительную перспективу необходимо, прежде
всего, достижение устойчивого уровня фондовооруженности.
Рис. 1. Фактические и условно оптимальные динамики текущего потребления
(а) и основных производственных фондов (б) (по модели Р. Солоу). ЕАО
2000-2005 гг.
Итак, на нынешнем этапе исследования можно сказать, что модель
Солоу обладает достаточно большим потенциалом для моделирования и
анализа региональной динамики. Вместе с тем, выводы, сделанные в
настоящем исследовании, могут быть модифицированы при корректном
учете в модели открытости экономики региона и построении полного
фазового портрета модели, что является следующим этапом исследования.
Список литературы:
1. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. сб. в
2 ч., ч. 1,2 / Еврстат. – Биробиджан, 2007
2. Фишман Б.Е. Василенко В.С. К вопросу о качественном исследовании
региональной динамики на основе модели Солоу. // Тезисы докладов II
Международной конференции «Современные проблемы регионального
развития». Биробиджан, 6-9 октября 2008 г. Биробиджан: ИКАРП ДВО РАН;
ДВГСГА, 2008.
3. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ. – М.: Мир,
1986.
Резюме
Описаны результаты качественного исследования стационарных
решений системы дифференциальных уравнений экономико-математической
модели Р. Солоу в абсолютных показателях. Рассмотрены возможности
применения «Золотого правила» накопления к анализу динамики
регионального развития.
Summary
The results of the qualitative research of the stationary solution of the
differential equations of the R. Solow growth model are described. Possibilities of
application of the "Golden rule" for the analysis of regional development’s
dynamic are considered.