Фишман Б.Е., Василенко В.С.

К ВОПРОСУ О ХАРАКТЕРЕ ФАЗОВОГО ПОРТРЕТА
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Р. СОЛОУ
Б.Е. Фишман, В.С. Василенко
Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН,
Биробиджан, Россия
ТО THE QUESTION ABOUT THE CHARACTER
OF THE SOLOW MODEL’S PHASE PORTRAIT
B.E. Fishman, V.S. Vasilenko
Institute for Complex Analysis of Regional Problems FEB RAS,
Birobidzhan, Russia
Одним из наиболее распространенных подходов к моделированию
динамики развития экономической системы является использование
экономико-математической модели экономического роста Р. Солоу.
(М.И. Умаханов, 2006; В.К. Булгаков, О.В. Булгаков, 2006; Е.А. Семенчин,
А.С. Урусова, 2007 и др.). Существенное достоинство этой модели является
возможность нахождения оптимального («золотого») уровня накопления, при
котором экономика выходит на стационарную траекторию развития.
В частности, М.И. Умаханов предлагает использовать модель Р. Солоу как
средство факторного анализа источников экономического роста.
В.К. Булгаков и О.В. Булгаков на основе модели Р. Солоу исследовали новый
вид производственной функции (B-функция). А Е.А. Семенчин и
А.С. Урусова
рассматривают
возможности
применения
методов
квадратичного программирования к решению обратных задач для
первоначального капитала и экзогенных параметров модели Р. Солоу.
Представляет интерес качественное исследование экономикоматематическую модель Р. Солоу. Эта модель с системных позиций
представляет экономику рассматриваемого объекта как единое целое, в
котором осуществляется производство некоторого обобщенного продукта
(как бы синтезирующего все многообразие реальных продуктов). При этом
произведенный продукт может не только потребляться, но и инвестироваться
в производство. Экспорт и импорт продукции в явном виде модель не
учитывает.
Модель обладает следующими отличительными свойствами (Замков
О.О. и др., 2001):
1)
нелинейность производственной функции, которая обеспечивает
убывание предельной производительности;
2) учет выбытия основных производственных фондов;
3) может ставиться и решаться задача максимизации уровня
потребления на некотором множестве устойчивых траекторий.
При этом уже учтено влияние динамики трудовых ресурсов и
технического прогресса на экономический рост.
В удельных показателях (в расчете на одного занятого) модель Р. Солоу
с производственной функцией Кобба-Дугласа имеет вид:
 y  f k   A0 k  ,

 y  A0 k  ,
k   k  i,

i  ay,
 k   k  ay,     , k (0)  k 0 ,

Y
K
 f k ,1  f k 
k
L
L где
- ВРП в расчете на одного занятого;
I
i
L - инвестиции в расчете на одного занятого
фондовооруженность;
y
(удельные инвестиции); A0 - коэффициент, отражающий влияние научнотехнического прогресса на динамику валового регионального продукта
(ВРП);  - коэффициент эластичности по основным производственным
фондам;  - норма выбытия основных фондов;  - темп роста численности
занятых; a - норма сбережений (инвестиций).
Для качественного исследования представленной модели найдем первую
производную уравнения, описывающего динамику удельной величины ВРП,
и представим полученную систему дифференциальных уравнений первого
порядка:
 y    y  aAy0 k  1 ,

k    k  ay.
Из приведенной системы уравнений получаем следующие стационарные
 y, k    y, a y 
  .
решения:  y, k   0,0 ,
Поочередно исследуем характер найденных стационарных решений. Для
этого выполним линеаризацию системы дифференциальных уравнений в
окрестностях каждой из точек.
Для первой точки выполним линеаризацию правой части системы
дифференциальных уравнений в окрестности начала координат, используя
разложение в ряд Тейлора. В результате получим:
 y    y  R1  y, k ,

k    k  ay  R2  y, k ,
lim Ri  y, k  r   0
где функции R1  y, k  , R2  y, k  удовлетворяют условию r 0
;
здесь r  y  k .
Находим собственные значения этой системы:
2
2
   1
  ,
 0,   1
a
   2
 2   
Таким образом, для особой точки  y, k   0,0 имеются два собственных
значения 1   и 2   . Поскольку коэффициенты a,  в модели Р. Солоу
0
строго положительны, то, 1 и 2 отрицательны, т.е. решение в окрестности
исследуемой особой точки устойчиво. Согласно теореме о линеаризации,
фазовые портреты системы дифференциальных уравнений и ее линеаризации
качественно эквивалентны, если только стационарная точка линеаризованной
системы не является центром (Эрроусмит Д., 1986). Поскольку первая
стационарная точка в линеаризированной модели Р. Солоу – устойчивый
узел, то фазовый портрет исходной модели Р. Солоу имеет тот же характер в
окрестности начала координат.
Для исследования на устойчивость второго стационарного решения
0
0
выберем произвольную особую точку y , k , удовлетворяющую условию
y
0

a 
, k 0   r 0 , r 0 
 .


В точке y , k  выполним линеаризацию системы
дифференциальных уравнений модели Р. Солоу. Выделяя линейную часть
функций по формуле Тейлора, получим:
0
0


 2
a 

y


y

k  R1  y  r 0 , k  r 0 ,

a
 



k   k  ay  R  y  r 0 , k  a r 0 ,
2

 




a 
a 
R1  y  r 0 , k  r 0  R2  y  r 0 , k  r 0 
 , 
  удовлетворяют условию
где функции 
 
a  
a
lim  Ri  y  r 0 , k  r 0  r   0 r  ( y  r 0 ) 2  (k  r 0 ) 2
r 0
  

 
(
).
Находим собственные значения системы:
  
a
 2
 1  0,

0
,


a
2     1.
 

Одно из собственных значений системы дифференциальных уравнений
y

k
a ,
равно нулю, при этом ранг ее равен единице. Следовательно, прямая
проходящая через начало координат, состоит из непростых неподвижных
точек, и нельзя описывать фазовый портрет этих особых точек при помощи
теоремы о линеаризации (Эрроусмит Д., 1986).
Рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений модели
Р. Солоу. Из нее можно получить следующее дифференциальное уравнение,
описывающие фазовые траектории:
dy y

dk
k .
Это уравнение с разделяющимися переменными, решение которого
имеет следующий вид:
y  C  k , C  R.
Таким образом, все траектории стремятся к началу координат,
следовательно, неподвижная точка, лежащая в начале координат, является
асимптотически устойчивой (любая траектория, проходящая через
некоторую окрестность, стремится к началу координат, при t   )
(Эрроусмит Д., 1986).
В
y  0.295k
качестве
0.8
иллюстрации
для
частного
случая
, k  0.95k  0.1 y с использованием программного пакета Maple
построен фазовый портрет модели Р. Солоу, полученный варьированием
начальных условий (см. рис.1). Указанный рисунок иллюстрирует типичный
фазовый портрет модели Р. Солоу.
Рис. 1. Фазовый портрет модели Солоу в удельных показателях.
Полученный результат - отсутствие иных асимптотически устойчивых
состояний экономической системы, описываемой моделью Р. Солоу, кроме
состояния (0,0) – не является удивительным. Он согласуется со вторым
началом термодинамики, утверждающим, что замкнутая система при
отсутствии внешних воздействий с течением времени «деградирует». Кроме
того, он вытекает из экономической сущности модели Р. Солоу, в рамках
которой для замкнутой экономической системы выбытие основных фондов
не может быть полностью скомпенсировано инвестициями.
Список литературы:
1. Булгаков В.К., Булгаков О.В. Моделирование динамики обобщающих
показателей развития региональных экономических систем России. //
Экономика и математические методы, 2006, том 42, № 1, с. 32-49
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича;
МГУ имени М.В. Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело
и сервис», 2001.
3. Умаханов М.И. Устойчивое развитие региона: модель, основные
наравления, концепция: монография / М.И. Умаханов, Р.Д. Шахпазова. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА: Закон и право, 2006.
4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ. – М.: Мир,
1986.
Резюме
В статье описаны результаты качественного исследования стационарных
решений системы дифференциальных уравнений экономико-математической
модели Р. Солоу в удельных показателях. Показана асимптотическая
устойчивость решения указанной системы.
Summary
The results of the qualitative research of the stationary solution of the
differential equations of the R. Solow growth model are described. The
asymptotical stable of the solution was shown.