Теория функций комплексной переменной

Федеральное агентство по образованию
___________________________________
Санкт-Петербургский государственный
Электротехнический университет «ЛЭТИ»
_______________________________________
Теория функций комплексной переменной
Методические указания
к практическим занятиям
по высшей математике
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2010
УДК 512.64(07)
ТФКП: Методические указания к решению задач / сост.: В.Г.Дюмин,
А.М.Коточигов, Н.Н.Сосновский.СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 32с.
Содержат примеры решения основных типов задач ТФКП, ориентированных на выполнение заданий, формирующих оценку текущего контроля по
этой дисциплине. Предназначены для студентов ФКТИ всех специальностей.
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010
2
Функции комплексного переменного w  f  z  , z  x  iy, w  u  iv , в
общем случае отличаются от отображений вещественной плоскости R 2 в себя ( x, y)  (u( x, y), v( x, y)) только формой записи. Важным и чрезвычайно
полезным объектом оказывается класс функции комплексного переменного,
имеющих производную такую же, как и функции одной переменной. Известно, что функции нескольких переменных могут иметь частные производные и производные по направлению, но, как правило, производные по разным направлениям не совпадают, и говорить о производной в точке не возможно. Однако для функций комплексной переменной удается описать условия, при которых они допускают дифференцирование. Изучение свойств
дифференцируемых функций комплексного переменного составляет содержании методических указаний. Указания ориентированны на демонстрацию
того, как свойства таких функций могут быть использованы для решения
разнообразных задач. Успешное освоение, излагаемого материала невозможно без элементарных навыков вычислений с комплексными числами и знакомства с простейшими геометрическими объектами, определяемыми в терминах неравенств, связывающих вещественную и мнимую часть комплексного числа, а так же его модуль и аргумент. Краткое изложение всех необходимых для этого сведений можно найти в методических указаниях [1].
Стандартный аппарат математического анализа: пределы, производные,
интегралы, ряды широко используется в тексте методических указаний. Там,
где эти понятия имеют свою специфику, по сравнению с функциями одной
переменной, приведены соответствующие пояснения, но в большинстве случаев достаточно разделить вещественную и мнимую часть и применить к
ним стандартный аппарат вещественного анализа.
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Обсуждение условий дифференцируемости функций комплексного переменного, естественно начать с выяснения того, какие элементарные функции обладают этим свойством. Из очевидного соотношения
( z  z ) n  z n
 nz n1
lim
z 0
z
Вытекает дифференцируемость любого многочлена. И, поскольку, степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри круга его сходимости,
3
то любая функция дифференцируема в точках, в окрестности которых ее
можно разложить в ряд Тейлора. Это достаточное условие, но, как вскоре
выясниться, оно является и необходимым. Исследование функций одной переменной по производной удобно поддерживать, контролируя поведение
графика функции. Для функций комплексного переменного такой возможности нет. Точки графика лежат в пространстве размерности
4,
( x, y, u( x, y), v( x, y)) .
Тем не менее, некоторое графическое представление о функции можно получить, рассматривая образы достаточно простых множеств комплексной
плоскости , возникающие под воздействием заданной функции. Для примера, рассмотрим, с этой точки зрения несколько простых функций.
Линейная функция w  az  b
Эта простая функции очень важна, тек как любая дифференцируемая
функция локально похожа на линейную. Рассмотрим действие функции с
максимальной подробностью
z  z1 | a | z  z2  ei z1  w  z2  b
здесь | a | -- модуль комплексного числа a и  -- его аргумент. Таким образом, линейная функция осуществляет растяжение, поворот и сдвиг. Следовательно, линейное отображение переводит любое множество в подобное множество. В частности, под воздействием линейного отображения прямые переходят в прямые, а окружности в окружности.
1
z
Эта функция -- следующая по сложности за линейной. Трудно ожидать, что
она переведет любую прямую в прямую, а окружность в окружность, простые примеры показывают, что этого не происходит, тем не менее, можно
показать, что эта функция переводит множество всех прямых и окружностей
в себя. Чтобы убедится в этом, удобно перейти к вещественному (координатному) описанию отображения
1
x
1
y
z  x  iy, w  u  iv, ( x, y)  (u, v), u  Re  2
, v  Im  2
,z  0
2
z x y
z x  y2
Для доказательства потребуется описание обратного отображения
1
1
u
1
v
z  , x  Re  2
, y  Im  2
2
w
w u v
w u  v2
Функция w 
4
Рассмотрим уравнение A( x 2  y 2 )  Bx  Cy  D  0, если A  0 , то получится общее уравнение прямой. Если A  0 , то
B
B2
C
C2
B2 C 2
2
A( x  x 
)  A( y  y 
)

 D,
A
4 A2
A
4 A2
4A 4A
B 2
C
B 2  C 2  4 AD
2
2
2
(x 
)  (y 
)R , R 
2A
2A
4 A2
Следовательно, при B2  C 2  4 AD получается уравнение произвольной
окружности.
Отметим, что если A  0 и D  0 , то окружность проходит через начало
координат. Если же A  0 и D  0 , то получится прямая, проходящая через
начало координат.
Под действие инверсии рассматриваемое уравнение перепишется в виде
1
1
A
Bu
Cv
 2
 2
 D  0 , ( x 2  y 2 | z |2 
 2 2)
2
2
2
2
2
u v u v u v
| w| u  v
2
или
D(u 2  v 2 )  Bu  Cv  A  0, D  0, B 2  C 2  4 AD . Видно, что это тоже
уравнение, описывающие либо окружности, либо прямые. То, что в уравнении коэффициенты A и D поменялись местами, означает, что при инверсии
прямые, проходящие через 0, перейдут в окружности, а окружности, проходящие через 0, перейдут в прямые.
Степенные функции f ( z )  z n
Главное отличие этих функцией от рассмотренных ранее состоит в
том, что они не являются взаимно однозначными ( 12  (1)2 ). Можно сказать, что функция f ( z )  z 2 переводит комплексную плоскость в два экземпляра той же плоскости. Аккуратное рассмотрение этой темы требует использования громоздкого аппарата римановых поверхностей и выходит за
рамки рассматриваемых здесь вопросов. Важно понимать, что комплексную
плоскость можно разделить на секторы, каждый из которых взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость. Это разбиение для функ2 (k  1) 
 2 k
 arg z 
f ( z )  z n выглядит так,  z :
ции
 , k  0,1,..., n  1.
n
n


Например, верхняя полуплоскость взаимно однозначно отображается на
комплексную плоскость функцией f ( z )  z 2 . Искажения геометрии для таких
изображений описать сложнее, чем в случае инверсии. В качестве упражне5
ния можно проследить, во что переходит сетка прямоугольных координат
верхней полуплоскости при отображении w  z 2
z  c  iy, y  0  u  c 2  y 2 , v  2cy  u  c 2 
v2
2c
v2
z  x  ic, c  0  u  x  c , v  2cx  u   c 2
2c
2
2
Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол,
образующих систему криволинейных координат в плоскости w . Описанное
выше разбиение плоскости таково, что функция f ( z )  z n отображает каждый из n секторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения выглядит так
z  rei ,
2 k
2 (k  1)
2 k
 
 w  r nein  r nein0 ,0  0 

n
n
n
 z  w  re
n
i (0 
2 k
)
n
Таким образом, функция f ( z )  z n имеет n различных обратных функций,
заданных в различных секторах плоскости
i
i
z  re , r  0,0    2  g k (re )  r e
1/ n
i ( 
2 k
)
n
, k  0,1,..., n  1.
В таких случаях говорят, что отображение многолистно.
Функция Жуковского w 
1 
1
 z  
2 
z
Функция имеет собственное названия, поскольку она составила основу
теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой
конструкции можно найти в книге [2]). Функция обладает рядом интересных
свойств, остановимся на одном из них – выясним, на каких множествах эта
функция действует взаимнооднозначно. Рассмотрим равенство
6
z1 
1
1
 z2  , откуда
z1
z2

 z1  z2   1 

1 
  0.
z1  z2 
Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых z1 и z 2 их произведение не равно единице. Таковыми являются, например, открытый единичный круг {z;| z | 1} и дополнение
замкнутого единичного круга {z :| z | 1} .
Рассмотрим
действие
функции
Жуковского
на
окружности
{z : z  r  ei ,0    2 }, тогда
1
e i  1 
1
i
1
w   rei 
   r   cos    r   sin  .
2
r  2
r
2
r
Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое уравнение эллипса
1 
1
1 
1
u    r    cos  , v    r    sin  .
2 
r
2 
r
Если 0  r  1 , то эти эллипсы заполняют всю плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезков
{z : z  rei ,0  r  1},0    2
являются
гиперболы
u2
v2

 1.
cos 2  sin 2 
Показательная функция f ( z )  e z
Функция допускает разложение в степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на которых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство e xiy  e xi ( y 2 ) показывает, что плоскость можно разбить на
семейство полос {z  x  iy : 2 k  y  2 (k  1)}, k  , каждую из которых
функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость.
Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная
функция, точнее обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение
z  x  iy, x  , y  y0  2 k ,0  y0  2  w  u  iv  e xi ( y0 2k )  e xiy0 
 z  x  i ( y0  2 k ), k 
7
Обратная функция и в этом случае многолистна, причем количество
обратных функций бесконечно.
Геометрическое описание отображения довольно простое: прямые
{z : Im z  c}
переходят в лучи
{w  reic ,r  0 }, отрезки
{z : R ez  c1 ,
c2  Im z  c2  2 } переходят в окружности {w :| w | ec1 } .
2. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Выясним условия, гарантирующие наличие производной у функции
комплексного переменного, т. е. наличие предела
f ( z  z )
lim
z 0
z
Рассмотрим эквивалентное «вещественное» описание этого вопроса
 u ( x, y ) 
 u ( x  x, y  y )  u ( x, y ) 
f ( z) 
, f 

,
v
(
x
,
y
)
v
(
x


x
,
y


y
)

v
(
x
,
y
)




çäåñü w  u  iv, u  u( x, y)  Re( f ( x  iy)), v  v( x, y)  Im( f ( x  iy)) .
Если устремить приращения аргументов к нулю, то получится следующее соотношение для дифференциалов
u   u u 
 u
dx

dy
y   x y   dx 
 du   x

 
df    
dv

v

v

v

v



  dy 
 
dx

dy
 x
y   x y 

Требуется выяснить, при каких условиях найдется комплексное число
k такое, что df  k dz , т. е.
 u
 x

 v
 x

u 
y   dx 
 dx 
   k  
v   dy 
 dy 
y 
Заметим, что умножение вектора на комплексное число k  k ei означает растяжение с коэффициентом k и поворот на угол  . Воспользуемся
матричным описание этих действий и получим равенство
8
 u
 x

 v
 x

u 
y 
 cos 
  k
v 
 sin 

y 
 sin  
cos  
Из этого равенства следует требуемое условие, которое можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема (условие Коши-Римана). Функция комплексного переменного дифференцируема тогда и только тогда, когда выполнены равенства
u v u
v
– условия Коши-Римана.
 ,

x y y
x
Определение. Функция f ( z ) называется аналитической в области G ,
если в каждой точке области выполнено условие Коши-Римана.
Напомним, что областью называется любое подмножество комплексной
плоскости такое, что каждая точка входит в него вместе с окрестностью (достаточно малым кругом с центром в этой точке).
Легко привести примеры функций удовлетворяющих условию КошиРимана в одной единственной точке, но важными являются именно аналитические функции. Только о них и будет идти речь в дальнейшем.
Из анализа доказательства условий Коши-Римана вытекает полезная
геометрическая интерпретация: в малой окрестности точки аналитическая
функция действует как линейная, при этом f ( z ) – сдвиг, | f '( z ) | – локальный
коэффициент растяжения, а arg( f '( z )) – локальный угол поворота, осуществляемый отображением f в точке z .
Следствие. Пусть функция f аналитическая в области G тогда
1) если l кривая в области G , и L  {w : w  f ( z ), z  G} , то длина кривой L равна
 | f '( z ) || dz | (кривая L получается из кривой l
«растяжением»,
l
коэффициент растяжение в точке z равен | f '( z ) | ).
2) если область D содержится в области G , и H  {w : w  f ( z ), z  D} , то
площадь области H равна
 | f '( z ) | dxdy , (локальный коэффициент растяже2
D
ния одинаков во всех направлениях, поэтому квадрат со стороной  перейдет в квадрат со стороной | f '( z ) |  ).
9
3) если две кривые l1 , l2 лежат в области G , пересекаются в точке z 0 под
углом  (т. е. касательные к кривым в этой точке образуют угол  ), то образы этих кривых при отображении f пересекаются в точке w0  f ( z0 ) под тем
же углом  .
Задача. Покажите, что элемент дуги кривой l равен | dz | . Указание.
Рассмотрите параметрическое описание кривой z  z (t )  x(t )  iy(t ) .
Примеры. 1) Вычислим длину образа отрезка ( A , B ), A 1,B  2 i при
отображении f ( z )  z 2  z .
Решение.
f '( z )  2 z  1,| f '( z ) | (2 x  1) 2  y 2 , для вычисления интеграла
надо ввести параметризацию кривой
l  {z (t )  x(t )  iy(t ) : x(t )  t , y(t )  t  1,1  t  2},
dl | dz |
 x (t )    y (t )  dt 
2
'
'
2
2dt ,
Теперь можно вычислить длину образа
2
 | f '( z ) || dz | 
l
(2t  1) 2  t 2 2dt
4,272 .
1
2) Вычислим площадь образа квадрата ABCD, A  0, B  1, C  1  i, D  i
при отображении f ( z )  z 3 .
Решение. | f '( z ) |2 | 3z 2 |2  9 | x 2  y 2  2ixy |2  9(( x 2  y 2 ) 2  4 x 2 y 2 ) ,
площадь равна

ABCD
1 1
| f '( z ) | dxdy   9( x 2  y 2 ) 2 dxdy  5,6 .
2
0 0
3) Образ квадрата A B C D,
A  2 , B  3, C  3 i , D  2  iпри дробно-
линейном отображении
iz 2i
z 1 i
Чтобы контролировать отображения надо выяснить, во что перейдут
прямые, составляющие границы квадрата. Эта задача сводится к рассмотренной ранее инверсии, если предварительно разложить дробно-линейную
функцию на компоненты
1 2 i
wi
z 1 i
1
z  z1  z  1  i  z2   z3  1  2  i   z2  z4  z3  i  w
z1
w  f ( z ), f ( z ) 
10
Обозначим
z  x  iy; z1  x1  iy1; z2  x2  iy2 ; z3  x3  iy3 ; z4  x4  iy4 .
Действительная часть - x и мнимая часть - y с соответствующими индексами
являются координатами образов точки z, получаемых в результате последовательных преобразований.
Построим изображения
квадрата,
выписывая
формулы преобразования координат для каждого шага (Рис.1). Вершины квадрата и их последовательные образы
будем обозначать одними и теми же буквами
с соответA B C D,
ствующим количеством
штрихов на каждом
изображении.
Так,
A B C D это вершины
исходного
квадрата,
A B C  D - вершины
Рис.1
квадрата после первого
шага отображения и т.д.
Цифра внутри квадрата обозначает номер преобразования, 0 – исходный
квадрат. Вообще говоря, квадрат будет получаться криволинейным, но углы
при вершинах будут оставаться прямыми. Будет также сохраняться ориентация квадрата: внутренность квадрата на каждом изображении будет находиться слева от точки, движущейся по границе в направлении от A к B .
Шаг 1. Формулы преобразования координат:
x1  x  1; y1  y  1 .
Это преобразование задает параллельный перенос исходного квадрата
вниз и влево на единицу.
Шаг 2. Формулы преобразования координат:
x2 
x1
;
x  y12
2
1
y2 
11
 y1
.
x  y12
2
1
Данное преобразование задает инверсию. Заметим, что отрезки A B ,
B C и DA переходят в дуги окружностей, а отрезок C D сохраняется
прямолинейным, точка A B C D, остается неподвижной.
Шаг 3. Формулы преобразования:
x3  x2  2 y2 ;
y3  2 x2  y2
Это преобразование задает поворот вокруг начала координат на угол
arctg 2 против часовой стрелки и растяжение в 5 раз.
Шаг 4. Формулы преобразования координат:
x4  x3 ;
y4  y3  1
Это преобразование задает сдвиг на единицу вверх по оси y.
4) Вычислим периметры последовательных изображений квадрата
A B C D из предыдущего примера, обозначения сохраняются.
Периметр изображения 1 равен периметру изображения 0: p1  p0  4 .
Вычислим периметр изображения 2 – криволинейного квадрата
A B C  D :
p2 

dz2 
ABC D
2

1

ABC D
0
dz1
dz1
dz1
dz1
dz1
 
 
 
 

2
2
2
2
2
z1
AB z1
BC  z1
C D z1
DA z1
1
1
dx
dy
dx
dy

 2  

2
2
x  1 1 4  y 2 x
1 y2
0
0
1
1
1
1
arctg x 1  arctg ( y / 2) 
 arctg y 0 
2
x2
1
 1
1 
 arctg 2   arctg (1/ 2)   
4 2
2 4
1
1
 arctg 2  arctg (1/ 2)   1.8390.
2
2
2
Изображение 3 получается из изображения 2 поворотом и растяжением в
5 раз, а изображение 4 – сдвигом изображения 3. Поэтому
p4  p3  5  p2  4.1121 .
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В рамках рассматриваемых здесь вопросов важны криволинейные
интегралы второго рода от функции комплексного переменного. Такой интеграл не требует специального определения, так как он легко сводится к паре
криволинейных интегралов от функций вещественного переменного:
12
 f ( z )dz  (u( x, y)  iv( x, y))(dx  idy) 


  (u ( x, y )dx  v( x, y )dy )  i  (u ( x, y )dy  v( x, y )dx)


для вычисления, которых требуется провести параметризацию кривой
 : x  x(t ), y  y(t ), a  t  b, и вычислить определенные интегралы:
b
b
 f ( z )dz  u( x(t ), y(t )) x(t )dt   v( x(t ), y (t )) y(t )dt 

a
a
b
b
a
a
i  u ( x(t ), y (t )) y(t )dt  i  v ( x (t ), y (t )) x(t )dt
Как обычно, компактная формула векторного анализа при переходе к
вычислению превращается в длинное описание. Переход от произвольной
функции комплексной переменой в общем случае не меняет ситуации. Однако для замкнутых контуров картина резко меняется.
Чтобы точно описать это утверждение, нужно уточнить терминологию.
Определение. Область комплексной плоскости называется односвязной, если любой замкнутый путь в этой области можно стянуть в точку, не
выходя из области.
Пример. D  {z :| z  z0 | r} – открытый круг, P  {z : Im z  2} -- открытая полуплоскость, множество G  {z :| z  z0 | r} не является открытым, так
как все точки его границы не обладают требуемым свойством, множество
T  {z : Im z  2}  {2i} не является открытым, так как в точке z  2i не выполнено требуемое свойство. Все перечисленные множества являются односвязными. Область K  {z :   {z  z0 | r} (кольцо) не является односвязным,
множество D0  {z : 0  {z  z0 | r} (проколотый круг) то же не односвязно.
Теорема Коши. Пусть G – односвязная область  – замкнутый контур
внутри области. Тогда интеграл от аналитической в области G функции
f ( z ) контуру  равен нулю:
 f ( z )dz  0.

13
Доказательство. Условия Коши – Римана
u v u
v
и форму , 
x y y
x
 Q P 
Pdx

Qdy


  x  y  dxdy гарантируют равенство нулю вещеD
ственной и мнимой части интеграла.
Первое важное следствие теоремы Коши – формула, дающая интегрально представление аналитической функции.
ла Грина
Следствие (формула Коши). Если f аналитическая функция в односвязной области G ,  – положительно ориентированный замкнутый контур,
лежащий в области, и точка z 0 находится внутри контура, то справедливо равенство:
f ( z0 ) 
1
f ( z)
dz
2 i  z  z0
Доказательство. Простое, но очень важное доказательство этой формулы основано, вытекающей из теоремы Коши, независимости интеграла от
выбора контура. В формуле Коши подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки z 0 .
Покажем, что интеграл по контуру  равен интегралу по контуру
  {z :| z  z0 | r} -- положительно ориентированной окружности маленького
радиуса (    ). Рассмотрим вспомогательный контур L          ,
здесь  ,  дуга соединяющая контуры  и  , пройденная дважды в разных
направлениях,   контур  , пройденный в отрицательном направлении. При
такой компоновке L окажется замкнутым контуром, внутри которого функf ( z)
f ( z)
dz  0 . Стандартные свойства
ция
аналитична, следовательно 
z  z0
z  z0
L
криволинейных интегралов второго рода позволяют получить формулу
f ( z)
f ( z)
dz

 z  z0  z  z0 dz . Простые вычисления показывают, что интеграл по контуру  стремится к 2 i f ( z0 ) при r  0 , с другой стороны все такие интегралы равны интегралу по контуру  . Следовательно:
f ( z)
 z  z0 dz  2 i f ( z0 ).
14
Формула Коши позволяет получить много интересной и полезной информации об аналитических функциях. Первый шаг в этом направлении –
формула для производных аналитических функций.
Следствие (формула для производных). Если f аналитическая функция в области G ,  – положительно ориентированный замкнутый контур,
лежащий в области, и точка z 0 находится внутри контура, то функция имеет
в этой точке производные всех порядков, причем справедливо равенство:
n!
f ( z)
f ( n ) ( z0 ) 
dz .

2 i  ( z  z0 ) n1
Легко дать прямое доказательство этой теоремы, но важно понимать, что
формула является следствием теоремы о дифференцировании интеграла по
параметру.
Теорема. Если функция f (t , x) дифференцируема по t и интегралы
b

f (t , x)dx сходятся равномерно (т. е. | I1 (t ) | M ,

t
a
b
I1 (t )   f (t , x)dx è I 2 (t )  
a
| I 2 (t ) | M ), то интеграл можно дифференцировать по параметру
d

f
(
t
,
x
)
dx

a t f (t , x)dx
dt a
b
b
Отметим, что такое поведение совершенно не свойственно неаналитическим функциям одной переменной, которые могут иметь производную
n  1 -го порядка, но не иметь производной n -го порядка. Это различие идет
и дальше. Функция f ( x)  e1/ x может быть непрерывно продолжена в 0 ,
2
f (0)  0 , то же справедливо в отношении всех ее производных f ( n ) (0)  0 .
Таким образом мы получаем пример бесконечно дифференцируемой функции, которую нельзя представить в виде ряда Тейлора, но для аналитических
функций такое не возможно.
Следствие (ряд Тейлора для аналитической функции). Если f аналитическая функция в области G , точка z 0 находится внутри контура, то в
круге {| z  z0 | d }, ãäå d расстояние от точки z 0 до границы области G ,
функция допускает разложение в ряд Тейлора:
15

f ( z )   cn ( z  z0 )n , cn 
n 0
Доказательство.
Положим
1
f ( z)
dz.

2 i  ( z  z0 )n1
r  (d  | z  z0 |) / 2,   {t :| t  z0 | r} .
Окружность лежит в области G , и точка z лежит внутри окружности. Воспользуемся формулой Коши
1 f (t )
f ( z) 
dt.
2 i  t  z
Преобразуем выражение так, что бы дробь 1/ (t  z ) можно было бы
разложить по формуле геометрической прогрессии
n
1
1
1
1   z  z0 



 ,

t  z (t  z0 )  ( z  z0 ) (t  z0 )(1  ( z  z0 ) / (t  z0 )) t  z0 n0  t  z0 
здесь мы воспользовались тем, что | z  z0 || t  z0 | . Подставим это разложения в интеграл и поменяем местами интеграл и сумму:

1 f (t )
f (t )
n 1
f ( z) 
dt

(
z

z
)
dt .

0
2 i  t  z
2 i  (t  z0 )n1
n 0
Доказанная формула позволяет дать еще одно эквивалентное определение аналитичности: функция является аналитической в области, если она
допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности любой точки.
Локальные свойства аналитических функций, описные выше, оказывают существенное влияние на поведение функции в целом.
4. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
Аналитические функции, в некоторых отношениях, очень похожи на
многочлены.
Теорема. Нули аналитической функции, отличной от тождественного
нуля, изолированы, т. е. у каждой точки, где аналитическая функция обращается в ноль, существует окрестность, не содержащая других нулей этой
функции.
Доказательство. Пусть функция f аналитична в окрестности точки
z0 и
f ( z0 )  0 , тогда найдется достаточно малый круг {z :| z  z0 | r} , в ко-
тором функция допускает разложение в ряд Тейлора. Из предположения
f ( z0 )  0 следует, что c0  0 , но поскольку функция не равна нулю тожде16
ственно, то существуют ненулевые коэффициенты. Пусть cm – первый из
них, тогда ряд Тейлора этой функции можно представить в виде

f ( z )  ( z  z0 ) m  cn ( z  z0 ) nm , cm  0.
nm
Можно подобрать число r1  r такое, что в круге {z :| z  z0 | r1} выполнено
неравенство | cm |

 | c (z  z )
n  m 1
n
nm
0
| и, следовательно, в этом круге функция
имеет единственный корень z 0 .
Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен n -й степени
имеет n корней. Аналитическая функция, как многочлен «бесконечной»
степени может иметь бесконечное число корней, например, sin( k )  0, k  .
Но на расположение корней имеется жесткое ограничение: они не могут
сгущаться.
Теорема единственности. Если функция f является аналитической
в области G и f ( zn )  0, zn  G,
lim zn  z0 , z0  G , то f ( z )  0 .
n
Доказательство. В силу непрерывности f ( z0 )  0 , и точка z 0 оказывается корнем функции, в любой окрестности которого имеются другие корни.
Такое возможно только для f ( z )  0 .
Рассмотрим теперь свойства аналитических функций, которые не возможны для многочленов.
Определение. Если функция f является аналитической в круге круг
{z :| z  z0 | r0 } и z1 {z :| z  z0 | r0 }, то существует число r1  0 такое, что f
разлагается в ряд Тейлора в круге {z :| z  z1 | r1} . Если эту процедуру можно
продолжать и за конечное число шагов перейти в точку z* , то говорят, что
функция f допускает аналитическое продолжение из точки z 0 в точку z* .
Разумеется, такая процедура для многочленов возможна всегда, но для
аналитических функций общего вида это не так. Функцию f ( z )  1 / z не
возможно продолжить из точки
благополучную в кольце
z0  0 в точку z*  0 . Более того, вполне
{z :1 / 2 | z | 2} функцию f ( z )  z можно про-
должать из точки z0  1 и вернуться в ту же точку z*  1, но при этом окажется, что значение функции будет другим. Процедура аналитического продол17
жения выводит на многолистные аналитические функции. Это полезные и
важные объекты, познакомится с ними можно по книге [3].
Рассмотренные свойства составляют исчерпывающую картину поведения аналитической функции во внутренних точках области аналитичности.
Теперь следует обратиться к рассмотрению точек, где аналитичность нарушается.
5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯДЫ ЛОРАНА
Функция аналитическая в точке обязательно аналитична в некоторой
окрестности этой точки, но это не означает, что функцию можно продолжить
в любую точку, двигаясь от окрестности к окрестности. Дело в том, что размер окрестности может очень маленьким. Рассмотрим пример того, как мо
жет «исчезать» аналитичность: функция f ( z )   z 2 сходится при любом
n
n 0


m
i k
1
z,| z | 1, ò.ê. | f ( z ) | | z |  | z | 
, но если положить z  e 2 , то
1 | z |
n 0
k 0
2n
ряд разойдется, поскольку
k

e
n  k 1
i m 2n  k

  1 . Поведение аналитической
n  k 1
функции при приближении к границе области аналитичности может быть
очень сложным, эти вопросы выходят далеко за рамки вводного курса.
Другая причина потери аналитичности связана с невозможностью определить функцию, как однозначную в окрестности точки. Нельзя отказаться от
рассмотрения этой ситуации, потому что она возникает при решении такой
банальной задачи, как квадратное уравнение. Рассмотрим функцию
f ( z )  z . Напомним, что можно определить корень двумя способами (две
ветви корня)
f1 (reit )  reit /2 , f 2 (reit )  rei (t /2 ) ,(r  0, 0  t  2 )
Вычислим значения f1 в двух близких точках
f1 (ei )  ei /2 , f1 (ei (2  ) )  ei (  /2)
Если   0 , то оба аргумента стремятся к 1, но значения функций
стремятся соответственно к 1 и -1. Такого рода точки называют точками
ветвления.
Здесь будет рассмотрен только простейший вариант нарушения аналитичности.
18
Определение.
Точка z 0 называется изолированной особой точкой
функции, если существует число r  0 такое, что в «проколотом круге»
{z : 0 | z  z0 | r} функция аналитична и однозначна, т.е. любое аналитическое продолжение функции вдоль замкнутой кривой сохраняет значение
функции в стартовой точке.
Не приходится ожидать, что в окрестности изолированной особой точки функцию удастся разложить в ряд Тейлора, но представить функцию виде
ряда более сложного вида всегда возможно.
Определение. Рядом Лорана называется следующее выражение:

 c (z  z )
n 
n
n
0
Говорят, что ряд Лорана сходится в кольце {z : r | z  z0 | R} , ряд

 c ( z  z ) сходится
n
n 0
n
0
при | z  z0 | R , а ряд
1
 c (z  z )
n 
n
0
n
сходится при
| z  z0 | r .
Примеры. 1) Исследуем сходимость ряда Лорана
1

zn
. Пеn
2
n 0
 2n z n  
n 


1
zn
репишем ряды в более привычной форме  n n   n . Первый ряд схоn 1 2 z
n 0 2
дится при | z | 1/ 2 , второй при | z | 2 , т. о. ряд Лорана сходится в кольце
{1/ 2 | z | 2} .
1
zn  n n
2) «Похожий» ряд  n   2 z расходится, т. к. ряд
n  2
n 0

2 z
при | z | 2 , а ряд сходится только при
n n
1
zn
 n сходится
n  2
| z | 1/ 2 .
n 0
Введенной конструкции достаточно, что бы разложить в ряд любую
аналитическую функцию в окрестности изолированной особой точки.
Теорема. (о разложении в ряд Лорана) Если z 0 – изолированная особая точка функции f , то в проколотой окрестности точки z 0 она допускает
разложение в ряд Лорана
f ( z) 

 c (z  z ) ,
n
n 
n
0
ï ðè ýòî ì cn 
19
1
f (t )
, n  0, 1, 2,...
2 i  (t  z ) n1
План доказательства. Фиксируем точку z . Рассмотрим пару окружностей, лежащих внутри кольца и таких, что точка z лежит между ними:
{t :| t  z0 | r1}, {t :| t  z0 | r2}, 0  r1 | z  z0 | r2  r .
Соединим окружности отрезком, не проходящим через точку z , и сформируем из них положительно ориентированный контур, обходящий точку z
в положительном направлении и не содержащий внутри себя особых точек
функции f . Представим f ( z ) с помощью формулы Коши и применим рассуждение, использованное в доказательстве теоремы о разложении в ряд
Тейлора. На внешней окружности оно пройдет без изменений (важно, что
| z  z0 || t  z0 | ) и получится часть ряда Лорана с положительными коэффициентами. На внутренней окружности справедливо противоположное неравенство | z  z0 || t  z0 | , что изменит ход тождественных преобразований и
даст, в результате часть ряда Лорана с отрицательными коэффициентами.
Поведение функции в окрестности изолированной особой точки может
быть различным. Эти различия хорошо улавливаются следующим определением.
Определение. Классификация изолированных особых точек.
Пусть z 0 -- изолированная особая точка функции f .
z 0 называют устранимой особой точкой, если функция ограничена в
проколотом круге {| 0 | z  z0 | r} ,
z 0 называют полюсом, если lim | f ( z ) |  ,
z  z0
z 0 называют существенной особой точкой во всех остальных случаях.
Примеры.
1) для функции f ( x) 
sin z
, z  0 , точка z0  0 является устранимой
z
особой точкой,
2) для функции
f ( x) 
1
, z  i , точки z1  i и z2  i являются поz2  1
люсами,
3) для функции f ( x)  e1/ z , z  0 , точка z0  0 является существенно
особой точкой, действительно,
lim f (1/ n)  lim en   и, следовательно,
n
n
20
функция не ограничена, lim f (1/ n)  lim e n  0 , следовательно, функция не
n
n
имеет предела в точке z0  0 .
Проследим, как выглядят ряды Лорана в каждом из этих случаев
z3 z5
sin z
z2 z4
1) sin z  z    ,
1  
3! 5!
z
3! 5!
1
1 1
1 
2) 2
 

 чтобы получить ряд Лорана в изолированной
z  1 2i  z  i z  i 
особой точке z1  i достаточно разложить в ряд второе слагаемое
1
1
i
i  iz


 

z  i ( z  i )  2i 2(1  (i  z ) / 2) 2 n0  2 
n
Следовательно
1
1
i
i 1
1  (1) n





( z  i ) n ,| 0  z  i | 2.

2
n
z  1 ( z  i )  2i 2(1  (i  z ) / 2)
2 z  i 4 n 0 2
1 2 1 3
z  z  ,| z | 0.
2!
3!
Внешне банальная, классификация особых точек приобретает глубокий
смысл благодаря замечательной связи с рядами Лорана.
3) e1/ z  1  z 1 
Теорема (об эквивалентной классификации). Пусть z 0 – изолированная особая точка функции f ,

 c (z  z )
n 
n
0
n
– ее ряд Лорана. Тогда:
1) z 0 – устранимая особая точка  cn  0, n  0 (ряд Лорана не содержит слагаемых с отрицательными степенями);
2) z 0 – полюс  существует число N такое, что cn  0, n   N (ряд Лорана содержит конечное число слагаемых с отрицательными степенями);
3) z 0 – существенно особая точка  для всякого положительного числа
N существует n   N такое, что cn  0 (ряд Лорана содержит бесконечное
число слагаемых с отрицательными степенями).
Для доказательства теоремы потребуется простая, но полезная оценка:
Неравенство Коши
21
Если функция f аналитична в круге | z  z0 | R и | f ( z ) | M при
M
, n  0, 1, 2,...
rn
Доказательство неравенства. В теореме о разложении в ряд Лорана до1
f (t )
казано, что cn 
. В качестве контура интегрирования можно
2 i  (t  z )n1
| z  z0 |=r  R , то |cn |
взять окружность | z  z0 | r , далее простые оценки по модулю завершают
доказательство.
Доказательство теоремы об эквивалентной классификации.
1) Из условия равенства нулю коэффициентов с отрицательными номерами следует аналитичность функции в круге | z  z0 | R , и, следовательно,
она ограничена в этом круге, т. е. z 0 -- устранимая особая точка.
Покажем, что верно и обратное. Пусть | f ( z ) | M в 0 | z  z0 | R .
M
, n  0, 1, 2,... при любом
rn
r, 0  r  R . Для отрицательных n  k , k  0 получим |cn | Mr k , поскольку
Воспользуемся неравенством Коши |cn |
r может быть сколь угодно малым, то cn  0 .
c m
2) Предположим, что существует положительное число m такое, что
 0 и cn  0, n   m . Тогда свойства степенных функций, гарантируют,
что в достаточно малой окрестности точки
| f ( z ) |

 cn ( z  z0 )n 
n m
z0
справедлива оценка

| c m |
| c m |
.

| cn | | z  z0 |n 

m
m
| z  z0 |
2
|
z

z
|
n m1
0
Следова-
тельно z 0 -- точка полюса.
Проверим обратное утверждение. Если известно, что z 0 -- точка полюса,
то f ( z ) 

 c (z  z )
n  m
n
0
n

g ( z)
, m  0 , причем g ( z ) аналитическая функ( z  z0 ) m
1
g ( z)
также является аналитической. Это следует из следующего простого свойция и g ( z0 )  c m  0 . Можно доказать, что в этих условиях функция

ства степенных рядов: если степенной ряд c0   cn z n сходится при | z | r и
n 1
1

1 

n
c0  0 , то  c0   cn z     an z n и ряд сходится при | z | r .
c0 n1
n 1


22
С учетом этого утверждения
f ( z) 

1
1
n

a
z

 и очевидно

n
( z  z0 ) m  c0 n1

| f ( z ) | , ï ðè z  z0 .
3) Достаточно, заметить, что если модуль функции не ограничен и не
стремится к бесконечности, то он не может иметь предела. Аналогично доказывается обратное утверждение.
6. ВЫЧЕТЫ
Наиболее востребованное приложения рядов Лорана связано с форму1
лой для вычисление коэффициента c1 
f ( z )dz , здесь  – контур, об2 i 
ходящий особую точку z 0 в положительном направлении и не содержащий
внутри других особых точек. Дело в том, что коэффициенты ряда часто удается определить из косвенных соображений, и тогда формула становиться
мощным инструментом для вычисления контурных интегралов. Если известен коэффициент c1 , то известен и интеграл. Для устранимых особых точек
этот коэффициент равен нулю и получается уже известная теорема Коши.
Будет показано, что в точках полюсов вычисление коэффициента c1 дело
чисто техническое. Это дает аппарат для вычисления множества интегралов.
В существенно особых точках мало шансов получить c1 из косвенных соображений, но если это все-таки удается, то результаты получаются наиболее
эффектные. Роль коэффициента c1 в этих вопросах так велика, что для него
существует стандартное обозначение.
Определение. Пусть z 0 -- изолированная особая точка функции f , тогда вычетом функции f в точке z 0 называют c1 , и обозначают это символом res( f , z0 )  c1 .
Используя это обозначения можно записать формулу
 f ( z)dz  2 i
res( f , z0 ),
здесь, как и прежде,  -- контур, обходящий особую точку z 0 в положительном направлении и не содержащий внутри других особых точек. Чтобы сделать эту формулу содержательной, надо указать косвенный способ вычисления вычетов. Как было отмечено, это можно сделать, если z 0 является полю-
23
сом. Для этого нам потребуется уточнение определения, фактически содержащееся в доказательстве теоремы о классификации особых точек.
Определение. Пусть z 0 – полюс функции f , тогда порядком полюса
называется число m такое, что cn  0, n   m и c m  0 .
Теорема (формула вычисления вычетов в полюсах). Если z 0 – полюс функции f порядка m , то
( m 1)
1
lim  f ( z )( z  z0 ) m 
m! z  z0
Доказательство. Из определения полюса следует, что
res( f , z0 ) 
( z  z0 ) m f ( z ) 
(z  z )
m
0
f ( z) 
( m 1)


 cn ( z  z0 )nm   ck m ( z  z0 )k .
n  m
k 0

 m!c1   ck m k
k m
Следовательно lim  f ( z )( z  z0 )m 
( m1)
z  z0
(k  m  2)( z  z0 ) k m1
 m!c1 .
Следствие (формула для вычетов в полюсах первого порядка).
1) Если z 0 – полюс функции f первого порядка, то
res( f , z0 )  lim f ( z )( z  z0 )
z  z0
2) Если функции g и h аналитчны в окрестности точки z 0 ,
h( z0 )  0, h( z0 )  0, то res ( f , z0 ) 
f ( z) 
g ( z)
,
h( z )
g ( z0 )
.
h( z0 )
Примеры.
1) Вычеты позволяют проводить разложение дробно-рациональной
функции
на
простейшие.
Рассмотрим
для
примера,
P( z )
f ( z) 
, Q( z )  ( z  a)( z  b) 2 ( z  c)3 , a, b, c  , ñòåï åí ü P  6.
Q( z )
Функцию f можно разложить на простейшие
P( z )
A
B
B2
C
C2
C3
 1  1 
 1 

2
3
2
2
( z  a)( z  b) ( z  c)
z  a z  b ( z  b)
z  c ( z  c ) ( z  c )3
Коэффициенты разложения можно вычислить как вычеты в полюсах. Точка
a является полюсом первого порядка, точка b -- полюс второго порядка, ,
точка c -- полюс третьего порядка для функции f , что позволяет вычислить
24
A1 , B1 , C1 . Точка b – полюс первого порядка для функции f1 ( z )  ( z  b) f ( z ) .
что позволяет вычислить B2 , аналогично функция f 2 ( z )  ( z  c) f ( z ) позволяет найти C 2 и функция f3 ( z )  ( z  c)2 f ( z ) позволяет найти C3 .
2) Полученное в примере 1 разложение можно использовать для вывода формулы общего члена рекуррентной последовательности
an6  c1an5  c2 an4  c3an3  c4 an2  c5an1  c6an , n  0,1,2
Эта последовательность определяет степенной ряд
F ( z )  a0  a1z  a2 z 2   an z n 
который принято называть производящей функцией.
,
Обозначим Q( z )  c6 z 6  c5 z 5  c4 z 4  c3 z 3  c2 z 2  c1z  1.
Можно проверить, что F ( x)Q( x)  P( x) , где
P( z )  p5 z 5  p4 z 4  p3 z 3  p2 z 2  p1z  p0 ,
pk  ak  c1ak 1 
 ck a0 , k  1,2,3,4,5 , p0  a0 .
Если k  5 , то pk  ak  c1ak 1 
 ck 6a0 , т. е. pk  0 в силу рекуррентного
P( z )
.
Q( z )
Далее, для определенности, будем считать, что знаменатель имеет такое же разложение на множители, как в первом примере, т. е.
соотношения. Следовательно, F ( z ) 
Q( z )  ( z  a)( z  b)2 ( z  c)3 . Тогда
A1
B
B2
C
C2
C3
.
 1 
 1 

2
2
z  a z  b ( z  b)
z  c ( z  c ) ( z  c )3
Для получения нужной формулы достаточно разложить в степенные ряды
слагаемые, и затем собрать вместе слагаемые с одинаковыми степенями z .
Разложения для слагаемых получаются из формул:
f ( z) 
1
zn
  n1
z  z*
n z*
,
1
 z  z* 
2

n
(n  1) z n
z*n2
,
1
 z  z* 
3

n
(n  2)(n  1) z n
2 z*n3
,
Первая формула – сумма геометрической прогрессии, две другие получаются
почленным дифференцированием первой.
7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
Возможность «исправлять» контур интегрирования позволяет получить
важную формулу для вычисления интегралов.
25
Теорема о вычетах. Пусть функция
f аналитична в области G за
исключением конечного числа изолированных особых точек. Замкнутый положительно ориентированный контур  лежит внутри области G , не проходит через особые точки функции f и внутри контура содержатся особые
точки {z1 , z2 , , zm } . Тогда справедливо равенство


m
f ( z )dz  2 i  res( f , zk ) .
k 1
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный контур L , образованный контуром  , маленькими (не пересекающимися) окружностями  k с
центрами в точках
z k и непересекающимися кривыми, соединяющими
окружности с контуром  , кривые проходятся по два раз в противоположных
направлениях. Контур L не содержит внутри себя особых точек и по теореме
Коши
 f ( z )dz  0 . Рассуждая далее как в доказательстве теоремы о разлоL
жении в ряд Тейлора, можно показать, что


Остается заметить, что
m
f ( z )dz  2 i   f ( z )dz .
k 1  k
 f ( z)dz  2 i
res( f , zk ) .
k
Примеры вычисления интегралов
z 2 dz
 2 i (res ( f , 2)  res ( f ,1))
1) I  
( z  2)( z  1)3
| z | 3
z2
4
 ,
z  2 – простой полюс, res ( f , 2)  lim
3
z 2 ( z  1)
27
(2)
1
2 5
4
f ( z )( z  1)3   

, так как это полюс

z 2 2
6 27 27
третьего порядка, следовательно, I  0 .
z  1 – res( f ,1)  lim
2) I 
1
z 1
e
dz  2 i (res ( f ,2)  res ( f ,1))
z

2
| z|  4

1
z  2 – простой полюс, res( f ,2)  lim e z 1  e .
z 2
z  1 – существенно особая точка, надо вычислять коэффициент c1 из разложения в ряд Лорана. Это можно сделать, разлагая в ряды сомножители
26
e
1
z 1

1
1
1
1
è



( z  1) n ,

n
z  2 1  ( z  1)
n 0 n ! ( z  1)
n 0


1
1
   )  1  e это сумма произведений коэффициен2!
n!
тов с индексами, дающими в сумме 1, следовательно, I  2 i .
Прямое применение теоремы о вычетах возможно для очень специального класса интегралов – по замкнутому контуру. Но, иногда замена переменой позволяет использовать эту технику для интегралов иного вида. Например, такая возможность появляется при интегрировании периодических
функций по отрезку равному длине периода (замена переменной позволяет
перевести интегрирование на окружность).
c1  (1 
Интегрирование дробно-рациональных тригонометрических функций
2

0
P(cos t ,sin t )
dt , ãäå P( x, y ), O( x, y ) ì í î ãî ÷ëåí û î ò äâóõ ï ååì åí û õ.
Q(cos t ,sin t )
z  eit
Замена переменной
позволяет свести задачу к теореме о вычетах.
dz
Действительно, при такой замене dz  ieit dt  dt  , интегрирование будет
iz
происходить по окружности | z | 1 , а функция под интегралом превратится
в
отношение
P1 ( z )
,
Q1 ( z )
многочленов
поскольку
1
1
1
1
cos z   z   ,sin z   z   . Возникший интеграл
2
z
2i 
z
на
окружности
P1 ( z ) dz
можно
Q
(
z
)
iz
| z| 1 1

вычислить с помощью теоремы о вычетах (все особые точки оказываются
полюсами). Заметим, что это предполагает отсутствие корней на единичной
окружности у многочлена Q1 ( z ) , но если это условие нарушается, то возникающий несобственный интеграл расходится.
2
Пример. I 
dt
 1  2a cos t  a
2
, 0  a  1.
0
1

1  2a cos t  a 2
1

z
az  (1  a 2 )  a
1
1
1  2a  z    a 2
2
z
zdz
dz
2
I 

i


2


res
(
f
,
a
)

iz (az 2  (1  a 2 )  a) |z|1 a( z  a)( z  1 / a)
1  a2
| z| 1
27
2
Хотя область применения этого методе довольно обширна, он скорее
эффектен, чем эффективен и не дает существенных преимуществ в сравнении
с универсальной тригонометрической заменой, кроме того, что сводит разложение на простейшие к вычислению вычетов.
Методы вычисления несобственных интегралов
Возможность применять вычеты для вычисления несобственных интегралов чрезвычайно важны, так как они дают уникальный инструмент для
вычисления преобразований Фурье и Лапласа.
Неочевидна сама возможность применения теоремы о вычетах, для вычисления несобственных интегралов – отсутствует замкнутый контур. Но
для того чтобы несобственный интеграл сходился необходимо, что бы функция была мала при больших значениях аргумента. Это дает надежду на то,
что замыкание конура дугой окружности большого радиуса, мало изменит
значение интеграла. Мы рассмотрим два класса функций, для которых легко
обосновать возможность применение такого приема.
Интегралы от дробно рациональных функций

I
P( x)dx
P

2

res
(
, zk ), ñò.( P)  1  ñò.(Q), x 

 Q( x)
Q
k
 Q( x)  0.
Здесь сумма распространяется по всем корням z k многочлена Q в верхней
полуплоскости.
Доказательство. Пусть | z | R окружность достаточно большого радиуса, такого, что все корни многочлена Q лежат внутри нее, тогда на окружности
| P( z ) | c

. Обозначим через
| Q( z ) | r 2
Cr  {z : Im z  0,| z | r}, Lr  Cr  [r , r ] ,
будет выполнено неравенство
тогда

Cr
P ( z )dz
| dz | 2
 c 2 
, следовательно
Q( z )
r
r
Cr
r
P( x)dx
P( z )dz
1

 O( ) .
Q( x)
Q( z )
r
r
Lr

Причем бесконечно малая добавка обращается в 0 при r  R , так как с этого
момента прекращается изменение числа особых точек внутри контура Lr ,

т.о.
P( x)dx
P( z )dz
P
 lim 
 2 i  res( , zk )
r 
Q( x)
Q( z )
Q
k

Lr

28
Примеры

1) I 
dx
 ( x  a)2  b2 , b  0 .
Проверим условия применимости формулы ñò.( P)  1  1  ñò.(Q)  2 .
Единственный корень многочлена Q в верхней полуплоскости z1  a  ib .
Следовательно I  2 i  res( f , a  ib)  2 i

2) I 
 (x

1

|z a ib  .
z  a  ib
b
dx
 1) 4
2
Единственный корень многочлена
Q в верхней полуплоскости
z1  i . Для
интегрируемой функции это полюс четвертого порядка. Следовательно
(3)
2 i  1 
 i 120
5
I  2 i  res ( f , i ) 

| 
.

4 
7 z i
6  ( z  i )  z i 3 ( z  i )
16
Вычисление преобразования Фурье от дробно рациональных функций
F ( ) 

e

ix
P( x)
P
dx  2  res ( , zk ),   0, ñò.( P)  ñò.(Q), Q( x)  0 ,
Q( x)
Q
k
здесь сумма распространяется по всем корням z k многочлена Q в верхней
полуплоскости. Небольшое отличие от первой формулы состоит в ослаблении требований к степеням многочленов, что существенно расширяет класс
допустимых функций, продвигая формулу в трудном направлении.
Доказательство формулы опирается на вспомогательную оценку, которая имеет устоявшееся название.
Лемма Жордана.
{z: Im z >0, |z|>R}
и
Пусть функция g ( z ) непрерывна в области
M (r )= max{| g ( z ) |:| z | r}  0, ï ðè r   , тогда
I   ei z g ( z )dz  0, r  , çäåñü Cr  {z : Im z  0,| z | r},   0 .
Cr
Доказательство. Введем параметризацию на Cr  {z  reit : 0  t   } .
Заметим, что | ei z | e r sin t ,sin t 
2t

, z  Cr и, следовательно
29

I  M (r )  e
 r sin t
0
 /2
rdt  2rM (r )  e  r sin t dt 
0
 /2
 2rM (r )  e  r 2t / dt  M (r )
0

(1  e  r )  0 .

Теперь доказательство формулу, может быть проведено также как в
предыдущем случае.
Заметим, что условие   0 можно заменить на   0 , но при этом
надо замыкать контур полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости.

Пример. I 
( x  1)cos 2 xdx
.
2
x

2
x

5



( x  1)ei 2 x dx
Рассмотрим J   2
, тогда I  Re J , а интеграл J можно вычисx  2x  5

лить по формуле
 ( z  1)ei 2 z

( z  1)ei 2 z
J  2 i res  2
,1  2i   2 i 2
|z 1 2i   e 42i
( z  2 z  5)'
 z  2z  5

Следовательно I   e4 sin 2 .
Формула обращения преобразования Лапласа
Напомним определение преобразования Лапласа

F ( p )   f (t )e  pt dt
0
функция f (t ) должна удовлетворять следующими условиями:
1) на любом ограниченном интервале функция имеет конечное число разрывов первого рода и экстремумов,
2) f (t )  Ce Mt ,
3) f (t )  0, t  0 .
Преобразование Фурье fˆ ( ) 


f (t )e  i t dt и преобразование Лапласа тесно

связаны fˆ ( ) 




f (t )e i t dt   f (t )e  (i )t dt  F (i ) . Теперь известная форму0
30
ла обращения преобразования Фурье может быть переписана для преобразования Лапласа
b  i
1
f (t ) 
F ( p )e pt dt

2 i bi
здесь предполагается, что
b  M è f í åï ðåðû âí à â òî ÷êå t . Поскольку
формулу можно применять к любой функции (лишь бы интеграл сходился),
то важно знать условия, гарантирующие, что функция f принадлежит классу допустимых функций. Это обстоятельство важно при решении уравнений
с помощью преобразования Лапласа. Зная лемму Жордана нетрудно получить достаточные условия [4] .
Теорема. Если функция F аналитична в полуплоскости Re p  M и
a  i
1)

| F (a  iy ) | dy  , ï ðè a  M ,
a i
2) max{| F (reit ) |: r cos t  M }  0, r   ,
a  i
1
F ( p )e pt dt .
то F является изображением функции f (t ) 

2 i a i
F ( p) 
Следствие. (Формула восстановления оригинала.) Если
A( p)  an p n  ...  a0 , B( p)  ( p  p1 ) m1
( p  pk ) mk ,
n  m, m j  0, m1  ...  mk  m ,
то F является изображением функции
k
1
m ( m j 1)
f (t )  
F ( p)e pt ( p  p j ) j
p p j
j 1 ( m j  1)!


Если все корни простые ( m1  ...  mk  1 ), то
31
k
f (t )  
j 1
A( p j )
B '( p j )
pt
e j.
A( p)
B( p)
Список литературы
1. Комплексные числа и многочлены: Методические указания к решению задач. сост./Абрамова М.Н., Толкачева Е.А., Куприянов А.И. СПб.: Изд-во
СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.И. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ФМЛ,1965.
3. Смирнов В.И. Курс Высшей Математики, т.3, ч.2, СПб.: BHV, 2008.
4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций
комплексного переменного. М.: ФМЛ,1982.
Оглавление
Элементарные функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Условия дифференцируемости функции комплексного переменного . . . . . . 8
Интегрирование аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Теорема единственности. Аналитическое продолжение . . . . . . . .. . . . . . . . . 16
Особые точки. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17
Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .32
Редактор
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. Л.
Гарнитура «
«. Тираж
экз. Заказ
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
197376, С.-Петербург, ул.Проф. Попова, 5
32