Metod_Pascal

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«Основы алгоритмизации и программирования».
Линейный вычислительный процесс.
1. Известна диагональ квадрата (d). Найти длину вписанной в этот квадрат
окружности (  ).
2. Известна сторона квадрата (а). Найти длину описанной около этого квадрата
окружности (  ).
3. Известны длины сторон треугольника. Найти его высоты (ha, hb, hc).
4. Известны длины сторон треугольника. Найти его медианы (ma, mb, mc).
5. Известны длины сторон треугольника. Найти его биссектрисы (  a,  b,  c).
6. Известны катеты прямоугольного треугольника. Найти его периметр.
7. Известны величины углов треугольника и радиус описанной окружности. Найти
длины сторон этого треугольника.
8. Известны величины углов треугольника и радиус вписанной окружности. Найти
длины сторон этого треугольника.
9. Известны два элемента арифметической прогрессии (ak, k, am, m). Найти сумму n
первых элементов этой прогрессии.
10.Известны знаменатель (q) геометрической прогрессии и один элемент (bk, k).
Найти сумму n первых элементов этой прогрессии.
11.Известны длина стороны прямоугольника и радиус описанной около него
окружности (a,r). Найти периметр этого прямоугольника.
12.Известны диагональ и одна сторона прямоугольника (d, a). Найти его площадь.
13.Известны угол, количество сторон правильного n-угольника и радиус вписанной
окружности. Найти периметр этого n-угольника.
14.Известны угол, количество сторон правильного n-угольника и радиус описанной
окружности. Найти площадь этого n-угольника.
15.Зная длину окружности (  ), найти площадь круга (S), ограниченного этой
окружностью.
16.Зная сторону и два прилежащих угла треугольника, найти две других стороны и
третий угол.
17.Зная длину ребра куба, найти площадь развертки, необходимой для постройки
модели куба.
18.Найти площадь равнобедренного треугольника, зная длину основания и угол при
основании.
19.Зная длины сторон треугольника, найти радиус описанной окружности.
20.Зная длины сторон треугольника, найти радиус вписанной окружности.
21.Найти площадь правильного треугольника, описанного около окружности
радиуса r.
22.Найти периметр правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R.
23.Известны длины диагоналей ромба. Найти длину стороны ромба.
24.Известны две стороны и одна из диагоналей параллелограмма. Найти его
площадь.
25.Известны основания равнобокой трапеции и радиус вписанной в нее окружности.
Найти длину боковой стороны.
Краткие теоретические сведения.
Соотношения в произвольном треугольнике:
a
b
c
(т-ма синусов)


sin  sin  sin 
a 2  b 2  c 2  2bc  cos
(т-ма косинусов)
abc
R
(радиус описанной окружности)
4S
S
(радиус вписанной окружности)
r
p
2 p ( p  a )( p  b)( p  c)
a
1
ma 
2b 2  2c 2  a 2
2
2
a 
bcp( p  a )
bc
ha 
В
с
а
С
А
b
(высота треугольника)
(медиана треугольника)
(биссектриса треугольника)
Соотношения в прямоугольном треугольнике:
a 2  b 2  c 2 (т-ма Пифагора)
В
a
sin  
(отношение противолежащего угла к гипотенузе)
c
b
cos 
(отношение прилежащего угла к гипотенузе)
c
a
tg 
(отношение противолежащего катета
b
к прилежащему)
b
ctg 
(отношение прилежащего катета к противолежащему) С
a

А
Соотношения в правильном n-угольнике:
180(n  2)

(угол в правильном n-угольнике)
n
S=ph
(площадь правильного n-угольника)
an
p
(полупериметр)
2
h
a
Окружность:
(длина окружности)
  2r
Величина центрального угла, опирающегося
на дугу АВ, в два раза больше величины
вписанного угла, опирающегося на ту же
дугу.
<АОВ=2<АСВ
С
О
А
В
Площади фигур:
S=a2
S=ab
S=   r 2
S
(квадрат)
(прямоугольник)
(круг)
1
1
p( p  a)( p  b)( p  c)  ab  sin   aha
2
2
(произвольный треугольник)
1
ab
2
dd
S  1 2  a 2 sin 
2
S  ah  ab  sin 
ab
S
h
2
S
(прямоугольный треугольник)
(ромб)
(параллелограмм)
(трапеция)
Арифметическая и геометрическая прогрессии:
(an) – арифметическая прогрессия
(bn) – геометрическая прогрессия
bn  b1  q n1
an  a1  d (n  1)
b q  b1
(a1  an )n
Sn  n
q 1
2
Перевод градусной меры () в радианную (х) и наоборот: х=*  /180; =x*180/.
Sn 
Разветвляющийся вычислительный процесс.
1. Даны три действительных числа. Существует ли треугольник с данными длинами
сторон?
2. Известны длины сторон треугольника. Определить какой это треугольник:
прямоугольный, тупоугольный или остроугольный.
3. Известны длины сторон треугольника. Определить какой это треугольник:
равносторонний, равнобедренный или разносторонний.
4. Даны три действительных числа (коэффициенты квадратного уравнения).
Определить сколько корней имеет это уравнение.
5. Даны три действительных числа (а,b,c), причем а не равно 0. Решить
неравенство: ax+b>c. Ответ дать в виде: «х>(число)» или «x<(число)».
6. Дано натуральное число n. Является ли оно четным?
7. Определить является ли заданное двузначное число палиндромом.
8. Известны размеры кирпича (a,b,c) и размеры прямоугольного отверстия (х, у).
Пройдет ли данный кирпич в данное отверстие?
9. Даны три действительных числа. Найти наименьшее из них.
10.Даны три действительных числа. Найти наибольшее из них.
11.Известны координаты вершин четырехугольника на плоскости. Определить
является ли он квадратом.
12.Известны координаты вершин четырехугольника на плоскости. Определить
является ли он прямоугольником.
13.Известны координаты вершин четырехугольника на плоскости. Определить
является ли он ромбом.
14.Известны координаты вершин четырехугольника на плоскости. Определить
является ли он параллелограммом.
15.Уравнения двух прямых на плоскости y=b0+b1x задаются своими
коэффициентами. Определить взаимное расположение этих прямых
(параллельны, пересекаются, совпадают).
16.Известны площади двух вырезанных из картона фигур: круга и квадрата. Какой
из двух фигур можно целиком закрыть вторую фигуру?
17.Уравнение прямой на плоскости y=b0+b1x задано своими коэффициентами. В
какой четверти расположен треугольник, образованный осями координат и
данной прямой?
18.Известны координаты белого коня на шахматной доске (х,у) и координаты
черной фигуры (k,l). Бьет ли за один ход конь вражескую фигуру?
19.Известны координаты белого слона на шахматной доске (х,у) и координаты
черной фигуры (k,l). Бьет ли за один ход слон вражескую фигуру?
20.Известны координаты белого ферзя на шахматной доске (х,у) и координаты
черной фигуры (k,l). Бьет ли за один ход ферзь вражескую фигуру?
21.Известны координаты белой ладьи на шахматной доске (х,у) и координаты
черной фигуры (k,l). Бьет ли за один ход ладья вражескую фигуру?
22.Известны координаты белой пешки на шахматной доске (х,у) и координаты
черной фигуры (k,l). Бьет ли за один ход пешка вражескую фигуру?
23.Известны координаты двух полей шахматной доски. Являются ли они полями
одного цвета?
24.Заданы действительные числа a1,b1,c1,a2,b2,c2. Определить имеет ли решение
a1 x  b1 y  c1
система уравнений: 
a2 x  b2 y  c2
(как расположены прямые на плоскости?)
25.Найти значение сложной функции по заданному аргументу:
 x 2 , x  [1;1]

y
 x , x  (;1)  (1; )

Краткие теоретические сведения.
Неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух
других сторон (a<b+c; a>b-c).
Шахматы:
- ферзь,
- ладья,
- слон,
- конь,
- пешка.
Ферзь ходит по диагонали, вертикали или горизонтали на любое количество клеток. Слон ходит
по диагонали на любое количество клеток. Ладья – по горизонтали или вертикали. Конь ходит
«буквой Г» (крестиками отмечены поля, находящиеся под боем у коня). Пешка может бить
фигуры, расположенные «выше» нее на одну летку по диагонали.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos
(т-ма косинусов)
Примечание. Из т-мы косинусов следует: если <А=90, то формула сводится к т-ме Пифагора; если
<А<90, то из формулы видно, что квадрат стороны а меньше суммы квадратов двух
других сторон; если <А>90, то квадрат стороны а больше суммы квадратов двух
других сторон.
Палиндромом называется число, в записи которого слева направо и справа налево стоят
одинаковые цифры; например: 373, 4554…
Расстояние между двумя точками на плоскости: d  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 .
Линейная функция вида y=b0+b1x. Графиком данной функции является прямая, образующая с
осью ОХ угол  (причем, b1  tg ) и проходящая через точку с координатами (0; b0).
Запись условий на языке Паскаль:
Х – кратно 5, т.е. делится на 5 без остатка
x  (5; )
x  (2;4]
x  (;2)  (7; )
n – точный квадрат; например: 36, 121,
625…
x mod 5 =0
x>5
(x>-2) and (x<=4)
(x<2) or (x>7)
frac(sqrt(n))=0
(дробная часть корня из n равна 0),
sqrt(n)=int(sqrt(n))
Циклический вычислительный процесс.
Найти сумму Y=  F 1 , где а  x  b , x меняется с шагом h=c. Варианты
F2
заданий, а также значения F1, F2, a, b, c приведены в таблице.
Задачу решить, используя циклы:
а) WHILE;
б) REPEAT.
Вари
ант
F1
F2
A
b
c
1
2 x 3 sin x 3
x4  2 x3  x
0.3
3.12
0.15
2
3 ln 5 sin x  x 2
(2 x  1) / x5
2.12
7.45
0.34
3
ln 3 2 x  x 3
3x5  ctgx 3
0.35
3.5
0.5
4
5x + 1 sin2x
1,3 4  x 3
-1
12
2
e X  3 3x
x1,5e  3x
2.4
12.5
0.45
ln(4 x  1)2
ln 5 x  x 2
2.6
5.8
0.3
x x + 1 sinx
3.5
12.3
1.5
e 2 X  3 x
2
12
0.5
sinx2 x - cosx
3.5
6.5
0.2
5
6
7
ln
1 x
1 x
1
ln x
1 x
8
9
5
6x  x 2
10
2  xe  x
ln( x 3  x 2 )
sin 3 x 2
0.1

/20
x(tgx+2)
/3
2
/3
12
1  x2
XsinX
0.1
2
/3
13
x 2e x
x5ctg2 x 3
0.1

/6
/2
3/2
/6
11
14
sin x 2  x 0.25
ln 3 ( x  4 x )
ln2 x  x
ctg(3x  1)2
8.3
16.7
0.8
16
Sin3x
e X  4 x
2.1
4.2
0.2
17
5/x-0,4
ln2 x x
1.4
4.3
0.3
18
x4 /7
1 / tg 2 x
0.3
3.56
0.87
Ctg(1/X+0,4)
x2 cosx
1.5
4.6
0.9
sin x 2
0.9
3.9
1
21
ln 3 x  4
Ln2x
Cos(x-2)
0.4
4
0.3
22
4x+1/Tgx
0,5/2Sin4x
0.7
12.9
3.7
sin 3 2x
0.1
63
7
4.8
13.8
0.78
1.2
13.4
0.6
15
19
20
3
23
x 1
24
3
sin2 x  cos4 x
Ln(2X+0,5)
x 3  ln x
x4  x2 x
25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Циклы со счетчиком.
Дано натуральное n. Найти n!.
Дано натуральное n. Найти сумму n первых четных чисел.
Дано натуральное n. Найти сумму n первых нечетных чисел.
Дано натуральное n. Найти сумму всех степеней числа 2 от 1 до n.
Найти произведение всех нечетных чисел от –15 до 25.
Дано натуральное n. Найти сумму n первых элементов ряда: tg1; tg2; tg3; …;
tg(n); …
Дано натуральное n и действительное х. Найти сумму n первых элементов ряда:
cosx; cos2x; cos3x; …; cosnx; …
1 1 1
1 3 5
8. Дано натуральное n. Найти сумму n первых элементов ряда: ; ; ;...;
1
;…
2n  1
9. Дано натуральное n и действительное х. Найти сумму n первых элементов ряда:
sinx; sin(sinx); sin(sin(sinx)); …
10.Дано натуральное n и действительное х. Найти сумму n первых элементов ряда:
x;
x;
x; …
11.Дано натуральное n и действительное х. Найти сумму n первых элементов ряда:
x; x ; 3 x ; 4 x ;...n x ;...
12.Дано натуральное n. Определить является число простым или составным.
13.Дано натуральное n. Определить является ли число совершенным.
14.Дано натуральное n. Найти все делители заданного числа.
15.Даны первый элемент и разность арифметической прогрессии. Найти сумму n
первых элементов (n задается), не пользуясь формулой суммы арифметической
прогрессии.
16.Даны первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии. Найти сумму n
первых элементов (n задается), не пользуясь формулой суммы геометрической
прогрессии.
17.Найти такое двузначное число, которое больше своего обращенного на сумму
своих цифр.
18.Найти все двузначные числа, которые при вычитании из них своего обращенного
дают точный квадрат.
19.Определить количество трехзначных чисел-палиндромов, которые делятся на 3.
1 3 5
3 5 7
20.Дано натуральное n. Найти сумму n первых элементов ряда: ; ; ;...
2n  1
;...
2n  1
21.Определить количество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 9.
22.Определить количество трехзначных чисел, в записи которых используется
заданная цифра а.
23.Определить количество трехзначных чисел, у которых сумма первой и последней
цифры равна второй цифре в записи этого числа. Например: 374, 3+4=7.
24.Дано натуральное n и действительное х. Найти сумму n первых элементов ряда:
x+1; (x+2)2; (x+3)3; …; (x+n)n; …
25.Найти произведение всех четных чисел от 10 до 24.
Краткие теоретические сведения.
Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n,
т.е. n!=1*2*3*…*n.
Простым числом называется натуральное число, у которого только два делителя: 1 и само число.
Если натуральное число имеет более двух делителей, то его считают составным. Число 1 не
является ни простым, ни составным.
Совершенным числом называется натуральное число, равное сумме всех своих делителей, кроме
самого числа. Например: 6=1+2+3.
Обращенным называется число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Например:
98 и 89.
Палиндромом называется число, в записи которого слева направо и справа налево стоят
одинаковые цифры; например: 373, 4554…
Для определения цифр двузначного (n) числа можно воспользоваться формулами:
a= n mod 10; (вторая цифра)
b= n div 10; (первая цифра).
Аналогично можно найти цифры трехзначного числа:
a= n mod 10;
b= n div 10 mod 10;
c= n div 100.