Следующая статья

1
Следующая статья
71
Метод операторного полинома печатная Вестник
наилучшего равномерного
Тюменского
приближения решения
государственного
матричных уравнений.
университета.
1999. N3. С. 149154
6 стр.
Дмитрие
вский
М.В.
УДК 512.64+519.6
Метод операторного полинома наилучшего равномерного приближения решения
матричных уравнений.
В.Н Кутрунов М.В.Дмитриевский.
ТюмГУ, математический факультет, кафедра прикладной математики и математической
физики.
АННОТАЦИЯ.В 1959 году С.Я. Альпером разработан полином наилучшего
равномерного приближения функции 1/(a-z) на комплексной плоскости в круге 1|z|, |a|1.На
этой основе в статье разработан метод решения операторных уравнений, спектры операторов
которых расположены на комплексной плоскости в круге произвольного радиуса с центром в
произвольной точке z0.
An iterative process of solving the linear algebraic systems for the operators with the complex spectrum has been built. The basis of the method is the algebraic polynomial of the optimal uniform approaching of the complex function
1 /(a  z), z  1, a  1
В работе [1] был разработан итерационный процесс решения систем линейных
алгебраических уравнений (aI  А )x  f , использующий полином наилучшего равномерного
приближения функции 1 /( a  x ) на интервале x  [m, M ] , где m , M - границы спектра
оператора А на действительной оси.
В тех случаях, когда точное решение уравнения может быть разложено по собственным
функциям оператора А, итерационный процесс обеспечивает сходимость приближенного
решения к точному равномерно по коэффициентам этого разложения. Любой другой
итерационный процесс дает неравномерную и худшую для некоторых коэффициентов скорость
сходимости. Ограничением метода служило предположение о действительности спектра
матричного оператора. Предполагалось, что матричный оператор симметричен.
Чтобы разработать метод, учитывающий комплексность спектра оператора А,
необходим полином наилучшего равномерного приближения к функции 1 /( a  z ) на
некоторой комплексной области, содержащей спектр оператора А. Проще всего реализовать
задачу в предположении, что спектр расположен на круге | z | 1, a  1 .
Полином
наилучшего
равномерного
приближения
к
функции
1 /( a  z ), | z | 1, | a | 1 построен в 1959 году С.Я. Альпером [2]. Он имеет вид:
Pn ( z ) 
1
(1  az )z n
1
 n
, n  n
; n  0,1,...
az
az
a (1 | a | 2 )
2
Отсюда легко вычисляется погрешность аппроксимации:
Модуль этой погрешности на окружности
(z)  1 /(a  z)  Pn (z) .
z  1 равен  n и эта величина оказывается
наименьшей по сравнению с погрешностями, доставляемыми любыми другими
аппроксимирующими полиномами [2].
Неявная форма записи полинома не позволяет заменить в нем величину z на оператор А
и применять его непосредственно к решению операторного уравнения. По этой причине
получим его итерационную форму. Непосредственно проверяется, что полиномы Pn (z ) и
Pn1 (z ) связаны соотношением:
Pn 
1
1  zPn1 , P0  a2 ; | z | 1, | a | 1; n  1,2...
a
| a | 1
Параллельный перенос системы координат позволяет обобщить этот результат на
круговую область радиуса М с центром в точке z 0 . В этом случае полином наилучшего
равномерного приближения для любого n получается из итерационного процесса
P0 
a  z0
1
1  (z  z 0 )Pn1 , n  1,2...
, Pn 
2
2
a  z0
| a  z 0 | M
| z  z 0 | M, | a  z 0 | M
Форма записи С.Я. Альпера приводит к погрешности аппроксимации в виде:


M 2  a  z 0 (z  z 0 )  z  z 0
1

 Pn z  
az
(a  z )( M 2  | a  z 0 | 2 )  a  z 0



n
Pn (z) сходится к функции 1 /( a  z )
для всех z , удовлетворяющих неравенству ( z  z 0 ) /( a  z 0 )  1 , т.е. в круге радиуса
| a  z 0 | с центром в точке z 0 . Наилучшая равномерная сходимость обеспечивается в круге
| z  z 0 | M | a  z 0 | .
| z  z 0 | M модуль погрешности
Легко проверить, что на окружности
Анализ погрешности показывает, что полином
1 /(a  z )  Pn (z ) оказывается одинаковым и наименьшим среди модулей, получаемых для
других полиномов Pn (z ) [2].
Как видно из анализа итерационного процесса, равномерная сходимость на круге
| z  z 0 | M обеспечивается исключительно выбором начального приближения, что не
очевидно из неявной записи полинома наилучшего приближения в форме С.Я. Альпера. Если
развернуть итерационные процессы в явной форме, то устанавливается другой неочевидный
результат: полином С.Я. Альпера, или полученный выше смещеный полином, только последним
слагаемым отличаются от отрезка ряда Тейлора функции 1 /( a  z ) в точках z=0 и
z= z 0 соответственно и это последнее слагаемое обеспечивает равномерную сходимость.
Рассмотрим теперь решение матричного уравнения (aI  A )x  f . Пусть спектр
оператора А расположен в круге
| z  z 0 | M и | a  z 0 | M . Предполагаем, что уравнение
имеет единственное решение, которое приближенно находится по формуле
учитывая итерационный процесс для
Pn (z) , получим:
Xn  Pn ( A)f ,или,
3
Xn 
1
f  ( A  z 0 I )Pn1f  ,
a  z0
т.е. окончательно
Xn 
a  z0
1
f  ( A  z 0 I )X n1 , n  1,2,... и X 0 
f.
a  z0
| a  z 0 | 2 M 2
(1)
Погрешность приближенного решения можно оценить:
| X  X n | (aI  A) 1  Pn ( A) f
Pn (z) сходится к функции 1 /( a  z ) на спектре
оператора, то, как известно, (например [3]), операторный полином Pn ( A) будет сходиться к
1
операторной функции (aI  A) .
1
Если разложить обратный оператор (aI  A)
в степенной ряд по степеням
( A  z 0 I ) , то можно показать, что
Так как алгебраический полином
 A  z 0I 

(aI  A )  Pn ( A )  
 a  z0 
n
1

a  z0
aI  A 1 
2

(a  z )  M 2

I

Для оценки этой разности по норме предположим, что А - простая матрица размерности
 1 ... n - ее собственный числа, тогда у матрицы (aI  A) 1 имеется n различных
1
собственных чисел 1 /(a   i ) . Следовательно матрица (aI  A)
- простая. Пусть
1
U  diag {(aI  A) } , тогда существует неособенная матрица S, такая, что
(aI  A) 1  SUS 1 . Так как SS 1  I , то можно записать
n и
a  z0
a  z0
IS
IS 1 .
2
2
2
2
(a  z 0 )  M
(a  z 0 )  M
После подстановки найдем:
A  z 0I
(aI  A )  Pn ( A ) 
a  z0
1
A  z 0I

a  z0
n
max
i
n

a  z0
S U 
2

(a  z 0 )  M 2


I S  1 


1
a  z0

.
a   i (a  z 0 ) 2  M 2
Из оценки следует, что решение
X n сходится к точному решению как геометрическая
прогрессия с знаменателем ( A  z 0 I ) /(a  z 0 ) Если разложить приближенное решение в ряд
по собственным функциям оператора А, то поведение коэффициентов разложения в
итерационном процессе различно.
Пусть некоторые собственные числа расположены на окружности | z  z 0 | M с
центром в точке z 0 , тогда коэффициенты разложения, соответствующие этим числам, будут
сходиться к точным значениям равномерно.
4
Коэффициенты,
соответствующие
собственным
числам,
находящимся в
круге
| z  z 0 | M , сходятся к точным значениям быстрее, а на окружности | z  z 0 | M
медленнее, чем соответствующие собственным числам на окружности
| z  z 0 | M . Эта
сходимость будет неравномерной.
Анализ полученной численной схемы приводит еще и к следующему выводу:
итерационный процесс решения систем алгебраических уравнений оказывается известным
методом простой итерации, но применение полинома наилучшего равномерного приближения
привело к появлению в нем двух параметров: z 0 - центр спектра оператора А, и М –
максимальное удаление точек спектра от центра. Если удастся с некоторой точностью указать
эти два параметра, то задание начального приближения по соответствующей формуле
обеспечивает наиболее эффективную работу итерационного процесса. Эти утверждения
проверены численно на тестовом примере. В уравнении (aI  А )x  f число а было задано
равным 10, матрица A конструировалась с помощью преобразования подобия по формуле А=В1
SB, где В квадратная матрица двадцать первого порядка, заполненная случайными числами. У
диагональной матрицы S на главной диагонали задавались сообственные числа матрицы A по
формуле sjj=5+5i+М*exp(i*φ), где i мнимая единица и аргумент φ менялся от 0 до2*pi с шагом
pi/10. Следовательно, матрица A комплексная, ее спектр расположен на комплексной плоскости
на окружности радиуса М с центром в точке z1=5+5i; Проводились следующие численные
эксперименты:
1. В общем случае центр спектра не известен, поэтому в итерационном процессе брали
z0=0. Число М менялось от 0 до величины, при которой возникала расходимость. Изменению
этого числа соответствует изменение радиуса окружности расположения спектра. Так как для
z0=0 итерационный процесс превращяется в метод простой итерации, то из общих соображений
легко установить начало возникновения расходимости. Итерационный процесс расходится,
когда хотя бы одно число спектра окажется вне круга сходимости метода простой итерации. В
данном случае круг сходимости имеет радиус а=10.
2. Так как в тестовом примере центр спектра z1 известен, то это значение
использовалось для повторного
счета.
3000
На рис.1 изображены два
графика,
показывающие
2500
изменение
числа
итераций
(вертикальная ось) в зависимости
2000
от
изменения
радиуса
окружности
(горизонтальная
1500
ось), на которой располагается
спектр оператора А. Верхний
1000
график
соответствует
итерационному
процессу
с
500
параметром z0=0, а нижний
график с параметром z1=5+5*i.
0
Как и следовало ожидать, во
втором случае сходимость на
-500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
несколько порядков
Рис 1.
5
лучше, чем в первом случае.
Заметим также, что за начальное
приближение выбиралась правая
часть системы алгебраических
уравнений.
Аналогичные
эксперименты проводились для
начального
приближения
2500
2000
1500
X0 
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Рис 2.
рис 1 и отличается выбором
начального приближения. Из
сравнения рис 1. и рис 2.
видно, что выбор начального
приближения
подсказанный
полиномом
С.Я.
Альпера
оказывается
существенным
при плохой сходимости. В
данном
примере
это
соответствует расположению
спектра на окружности радиуса
примерно равного 3. На рис 3.
Изображены два графика,
соответствующие
параметру
z0=0 и различным начальным
приближениям. Нижний
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-500
2.5
Это
начальное
приближение
соответствует
выбору
итерационного
процесса
сходящегося
равномерно
на
комплексном спектре оператора
А. Рис 2. аналогичен
500
-500
a  z0
f,
| a  z 0 | 2 M 2
2.55
2.6
2.65
2.7
2.75
2.8
2.85
начального приближения в форме X 0 
2.9
2.95
3
Рис 3.
график соответствует выбору
a  z0
f , а верхний в виде правой части
| a  z 0 | 2 M 2
системы алгебраических уравнений. Из графиков видно, что правильный выбор начального
приближения оказывается существенным при плохой сходимости.
Литература
В.Н. Полином наилучшего равномерного приближения в
итерационном методе решения систем линейных алгебраических уравнений. Сибирский
математический журнал, 1992, Т.33, N1, с.62-68.
2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций
полиномами. М.:Наука. 1997. 511 с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Гостехиздат. 1953. 491 с.
1. Кутрунов
Следующая статья