Теория приближений

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ
асс. А.И. Козко
1 год
1. Теорема Вейерштрасса. Приближение с помощью операторов
n
(2)
A (1)
n f ( x )   f (t ) K n (t , x ) dt и A n f ( x )   k 0 p n , k ( x )f ( k / n ) .
A
2. Пространства L p , (   p   ), Lip  . Пример функции f  L p , но f  Lip  для
любого   0 .
3. Неравенства в пространстве L p , (   p   ). Неравенства Гёльдера, Минковского
и их обощения. Вложение пространств L p1  L p2 , 0  p2  p1   .
4. Существование элемента наилучшего приближения для квазинормированных пространств. Единственность элемента наилучшего приближения для строго выпуклых квазинормированных пространств. Примеры неединственности для L p , p   , p  (0,1] .
5. Критерий наилучшего приближения в гильбертовом пространстве.
6. Двойственность в случае приближения линейным подпространством.
7. Двойственность в выпуклых пространствах. Теорема о двойственном выражении
для наилучшего приближения.
8. Применение теоремы двойственности к нахождению точных констант в неравенствах
Джексона между наилучшим приближением и обобщенным модулем непрерывности.
9. Характеризация элемента наилучшего приближения в пространстве C ( A) . Теорема
Колмогорова, теорема Каратеодори.
10. Вычисление наилучшего приближения для функции f ( z )  1/( z   ) ,   ,   1
в пространстве
( B ) , B  z 
: z  1.
11. Теорема Ривлина-Шапиро и следствие из нее.
12. Система Хаара и примеры. Свойства системы Хаара.
13. Единственность полинома наилучшего приближения по системе Хаара.
14. Теория Чебышева об альтернансе для приближения по системе Хаара. Теорема
Валле-Пуссена.
15. Примеры нахождения элемента наилучшего приближения:

а) для функции Вейерштрасса f ( x)  k 0 a k cos(bk x) , по тригонометрической системе;
б) для функции f ( x )  e 3 x / 2 по системе 1, e x / 2 , e x на [0, 2 ln 3] ;
в) для функции f ( x )  x n  1 по системе алгебраических полиномов степени не выше
чем n. Полиномы Чебышева.
16. Связь разложения по системам с дифференциальными уравнениями. Теорема Стеклова для дифференциального оператора L y  (k ( x ) y ' )  (  g ( x )  q ( x )) y .
17. Примеры разложения по тригонометрической системе, полиномы Чебышева.
18. Функции Бесселя и их свойства, собственные функции оператора Лапласа для задачи Дирихле в круге (случай 2 ).
19. Тригонометрические полиномы. Разложение по корням.
20. Полиномы Джексона-Стечкина. Их свойства (норма в L p , 0  p   , нахождение
моментов).
21. Нахождение коэффициентов полиномов Джексона-Стечкина в разложении в ряд по
косинусам.
22. Лемма о счёте нулей. Неравенства Стечкина, Бернштейна.
23. Неравенство Джексона-Никольского (разных метрик). Доказательство неулучшаемости порядковых оценок.
24. Теорема Арестова (б/д) и получение из неё неравенства Сёге-Арестова.
25. Доказательство теоремы Арестова.
a ,r
26. Обобщённый разностный оператор  h ( f , x ) и его свойства. Классический разностный оператор ( a  1) . Разностный оператор Туэ-Морса (a  2) .
27. Обобщённый модуль гладкости  a ,r ( f ,  ) p , 0  p   и его свойства.
a ,r
28. Норма разностного оператора  h ( f , x ) как оператора из L 2 в L 2 .
29. Прямая теорема теории приближений.
30. Обратная теорема теории приближений в L p , 0  p   ;
Литература
1. Арестов В.В. О неравенствах С.Н. Вернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов.// ДАН СССР. 1979. Т. 246. № 6. С. 1289-1292.
2. Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их
производных.// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1981. Т. 45. № 1. С. 3-22.
3. Boman J. Equivalence of generalized moduli of continuity.// Arkiv för Matematik. 1980. V. 18.
№ 1. P. 73-100.
4. Boman J., Shapiro H.S. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity.// Arkiv
for Matematik. 1971. V. 9. № 1. P. 91-116.
5. Gelfond A.O. Sur les nombres qui ont des proprietes additives et multiplicatives donnees.//
Acta Arithmetica. 1968. V. 13. pp. 259-265.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. М., Наука, 1981.
7. Виноградов О.Л., Жук В.В. Точные оценки отклонения среднего значения периодической
функции через модули непрерывности высших порядков.// Проблемы математического
анализа. 2001. Вып 22. С. 3-26.
8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи.// УМН. 1968. Т. 23. № 6. С. 51-116.
9. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений М., изд-во иностранной литературы, 1961.
10. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в L 2 с обощенным модулем непрерывности.// Матем. сб. 2003.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М., Наука, 1989.
12. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М., Наука, 1970.
13. Lorentz G., Golitsihek М.V., Makovoz Y. Constructive approximation: Advanced Problems.//
Comprehensive Studies in Mathematics. 1996. Vol. 304.
14. Golitsihek M.V. Short proofs of the inequalities of Szegö, Markov and Zygmund.// In: Approximation and function spaces, vol. 22, Z. Ciesielski (ed.) Banach Center Publ. Warszaw. pp.
165-168.
15. Morse M. Recurrent geodesies on a surface on negative curvature.// Trans. Amer. Math. Soc.
1921. Vol. 22.
16. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения М.,
Наука, 1977.
17. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L 2 .// Тр. МИАН. 1967. Т. 88. С. 71-74.
18. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L 2 .// Матем. заметки. 1967. Т. 2. Вып. 5. С. 513-522.
19. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1, 2. М., Наука, 1978.
20. Prouhet M.E. Memoire sur quelques relations entre les puissances des nombres // C.R. Acad.
Sci. Paris. 1851. vol.33.
21. Shapiro H.S. A Tauberian theorem related to approximation theory.// Acta Math. 1968. V.
120. P. 279-292.
22. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций.// Доклады АН
СССР. 1949. Т. 71. № 2. С. 135-137.
23. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций.// Известия
АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15. С. 219-242.
24. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа
Джексона в пространствах L p , 0  p  1 .// Матем. сборник. 1975. Т. 98 (140). № 3 (11).
С. 219-242.
25. Шмидт В. Диофантовы приближения. М., Мир, 1983.
26. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М., изд-во иностранной литературы, 1960.
27. Thue A. Über die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreihen.// Kra. Vidensk.
Selsk. Skrifter. I. Mat.-Nat. Kl. 1912. Nr. 10.
28. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. М., Мир, 1985.
29. Юдин А.А., Юдин В.А. О теоремах Джексона в L 2 .// Матем. заметки. 1990. Т. 48.
Вып. 4. С. 152-157.