Сжатие – восстановление численной информации

Весна 2006
Сжатие – восстановление численной информации
1. Примеры прикладных задач, в которых целесообразно сжатие – восстановление численной
информации.
2. Задача о наилучшем приближении функции. Классы приближающих функций, используемые
нормы.
3. Полная погрешность решения задачи о наилучшем приближении.
4. Теорема о существовании элемента наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
5. Пример функции, заданной на сетке, для которой не существует рациональной дроби наилучшего
приближения.
6. Теорема о единственности элемента наилучшего приближения в строго выпуклом пространстве.
Аппроксимация в пространстве со скалярным произведением.
7. Характеризация элемента наилучшего приближения из выпуклого множества пространства со
скалярным произведением.
8. Характеризация элемента наилучшего приближения из линейного подпространства пространства со
скалярным произведением.
9. Теорема Пифагора.
10. Построение элемента наилучшего приближения из конечномерного подпространства пространства
со скалярным произведением.
11. Экстремальное свойство сумм Фурье.
12. Доказать, что если x=∑ckxk, то ck=(x,xk)
если x=∑ckxk, y=∑bkxk, то (xy)=∑ckbk, где {xk} – ортогональная система.
13. Замкнутость и полнота ортогональных систем, их взаимосвязь.
14. Выражение величины наилучшего приближения элемента через его коэффициенты Фурье.
15. Примеры ортогональных систем полиномов.
16. Комплексная форма ряда Фурье периодической функции.
17. Быстрое вычисление коэффициентов Фурье.
18. Фильтрация сигналов.
Аппроксимация в пространстве С
19. Теорема Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения.
20. Теорема В-Пуссена об оценке снизу величины наилучшего приближения.
21. Теорема Чебышева о характеризации элемента наилучшего приближения (случай многочленов).
22. Теорема В-Пуссена для рациональных дробей.
23. Теорема Чебышева в случае рациональных дробей.
24. Алгоритм В-Пуссена – Ремеза построения многочлена наилучшего приближения на сетке.
25. Алгоритм спуска построения многочлена наилучшего приближения.
26. Алгоритм Чини-Лоэба рациональной аппроксимации.
27. Сплайны одной переменной. Их представление.
28. В-сплайны одной переменной.
29. В-сплайны двух переменных.
30. Сплайны на произвольных сетках (первой, второй, третьей степени).