О.Л. КУЗЬМИНА Научный руководитель – Д.Г. МЕЩАНИНОВ, к.ф.-м.н., доцент

О.Л. КУЗЬМИНА
Научный руководитель – Д.Г. МЕЩАНИНОВ, к.ф.-м.н., доцент
Московский энергетический институт (технический университет)
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОЛИНОМ, ДООПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ЧАСТИЧНУЮ ФУНКЦИЮ НАД ПОЛЕМ GF(q).
Рассматривается задача о нахождении доопределения частичной функции, которому соответствует полином наименьший в смысле числа слагаемых. Получен
новый алгоритм решения этой задачи, основанный на использовании алгебраической структуры кольца функций над полем GF(q), в частности, на использовании
явного описания идеалов этого кольца в терминах характеристических функций.
Рассмотрен частный случай строения множества неопределенности, позволяющий
напрямую вычислить искомое доопределение.
Рассмотрим функцию f(x) от n переменных, аргументы и значения которой берутся в поле из q = pr элементов GF(q). Как известно, любая такая
функция представляется полиномом над GF(q) от n переменных. Пусть на
произвольном множестве X {GF(q)}n значения функции неизвестны.
Пусть также |X| = m. Рассматривается задача о нахождении такого доопределения функции, которому будет соответствовать полином с
наименьшим числом слагаемых (кратчайший полином).
Множество функций от n переменных над GF(q) является коммутативным кольцом R с единицей. Пусть I(Y) – множество функций из R,
равных нулю на Y. Тогда I(Y) – идеал в R, и всякий идеал I кольца R имеет вид I(Y) для некого Y {GF(q)}n. Сопоставление YI(Y) определяет
взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца R и подмножествами из {GF(q)}n.
Характеристическая функция подмножества X есть функция fX такая,
что fX принимает значение 1 только на X, а в остальных точках равна нулю. Пусть Y = {GF(q)}n \X. Базис идеала I(Y) как пространства над полем
из q элементов составят характеристические функции fx всех точек x из X.
Тогда любые два доопределения частично определенной функции f(x)
отличаются на функцию из I(Y). Следовательно, перебор всех доопределений сводится к перебору qm линейных комбинаций характеристических
функций.
Использование кода Грея[1] позволяет осуществить перебор всех возможных доопределений, на каждом шаге добавляя к текущему доопределению только одну характеристическую функцию, что существенно
улучшает временные результаты поиска.
Преимущество предложенного метода заключается в том, что он не зависит от известных значений функции f(x), а характеристические функции
точек неопределенности могут быть вычислены заранее.
Также рассматривается частный случай строения множества X. Пусть
для всякого xX и всякого yY верно, что x>y или x и y несравнимы. В
этом случае доопределение функции f(x), соответствующее кратчайшему
полиному, может быть найдено по прямым формулам, без использования
перебора всех возможных доопределений.
Случай q=2 был рассмотрен в [2].
Список литературы
1. Закревский А.Д., Торопов Н.Р. «Полиномиальная реализация частичных булевых
функций и систем». Москва., 2003.
2. Кузьмина О.Л., Мещанинов Д.Г. «Метод доопределения булевой функции до
кратчайшего полинома». Вестник МЭИ, выпуск 6. 2004, стр. 73.