 

ЗАДАНИЕ Д12-00
Дано: m1= 12 кг, m2= 16 кг, m4= 8 кг, с1= 1200 Н/м. R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,.
Найти: частоту k и период  малых колебаний системы около положения равновесия и значение ст.
РЕШЕНИЕ:
1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота 
колеса 2 от равновесного положения (при равновесии =0, s4=0,
SK
ст
z2
z1
sK=0). Рассматривая малые колебания считаем угол  малым.
z4
Т.к. все действующие на систему силу потенциальны (силы
тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через
потенциальную энергию системы. Тогда
K 1
С1
d  T  T
П
 Q , где Q  

 
dt    

2. Кинетическая энергия системы
T  T1  T2  T4 .
Т.к. колесо 1 и 2 вращается вокруг оси , а груз 4 движется
поступательно, то
T1 
1
1
1
I С112 ; T2  I С 2 22 ; T4  m 4 v 42 ,
2
2
2
I C1  m1 R12

P1
(1)
/ 2 , I C 2  m2 R22
/2.
скорости
обобщенную
где
1
2
4



P2

P4
2
S4
v4
 . Тогда  2   , 1r1   2 R2 и
R
R
RR
1   2 2  2  . Ввиду малости  можно считать, что v 4  1 R1  1 2  . Следовательно,
r1
r1
r1
Выразим
все
2
через
скорость
2
R 
R 
1
1
1
1
T  m1 R22  1   2  m2 R22 2  m4 R22  1   2  2m1  0,5m2  2m4 R22 2
4
4
2
2
 r1 
 r1 
T  0,5a 0 2 , где a 0  2m1  0,5m2  2m4 R22 . Отсюда
T
T
и
 a 0 ,
0


или
d  T 

  a 0 .
dt   
(2)
2
3. Потенциальная энергия системы. Для пружины П  0,5с , где  – удлинение (сжатие) пружины, а
для поля сил тяжести П  mgzC , где z C – координата ц. тяжести (ось Z направлена вертикально вверх).
П  0,5с12  m4 gzC 4
R R
Учтем, что   ст  s K  ст  R2 , а z C 4  1 2  . Таким образом
r1
RR
П  0,5с1 ст  R2 2  m4 g 1 2  .
r1
RR
П
4. Определим обобщенную силу Q и ст. Q  
 с1 R2 ст  R2   m4 g 1 2 .

r1
RR
Т.к. при равновесии, когда =0 должно быть и Q=0, то с1 R2 ст  m4 g 1 2 и отсюда
r1
m gR
ст  4 1 .
с1 r1
Для всей системы
(3)
Тогда Q  с1R22
5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляем в (1) значения производных (2) с учетом (3) получаем
с1 R22
с1 R22
c1
2
  0 . Обозначим k 

или  
и уравнение
а0
а0
2m1  0,5m2  2m4
Лагранжа примет вид
(4)
  k 2  0 .
а 0  с1 R22
Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (4), то в нем k является круговой
2
. Таким образом
k
c1
1200
2 2  3,14

 1,15 (с);
k

 5.477 (1/с);  
k
5,477
2m1  0,5m2  2m4
2  12  0,5  16  8
частотой, а период колебаний  
ст 
m4 g R1 8  9,81 0,4

 0,131 м = 13,1 см. (пружина растянута)
с1 r1
1200 0,2