Условие - Reshaem.Net

Задача Д2
Механическая система состоит из однородных ступенчатых
шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3–6, прикрепленных к
этим нитям, и невесомого блока (рис. Д2.0 – Д2.9, табл. Д2).
Система движется в вертикальной плоскости под действием
сил тяжести и пары сил с моментом M , приложенной к одному
из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R1  0,2 м, r1  0,1
м, шкива 2 – R2  0,3 м, r2  0,15 м; их радиусы инерции
относительно осей вращения равны соответственно 1  0,1 м и
 2  0,2 м.
Рис. Д2.0
Рис. Д2.1
Рис. Д2.2
Рис. Д2.3
Рис. Д2.4
Рис. Д2.5
Рис. Д2.6
Рис. Д2.7
Рис. Д2.8
Рис. Д2.9
Пренебрегая трением, найти ускорение тела, имеющего
больший вес; веса P1 ,..., P6 шкивов и грузов заданы в таблице.
Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже можно не
изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).
Таблица Д2
Номер
условия
1
P1
P2
P3
P4
P5
P6
0
40
0
10
20
30
M,
Нм
12
2
20
30
40
0
10
0
16
3
0
20
10
30
0
40
18
4
30
0
20
0
40
10
12
5
0
10
30
40
20
0
16
6
40
0
0
20
30
10
10
7
10
20
0
40
0
30
18
8
0
40
10
0
30
20
12
9
30
0
40
20
10
0
16
Указания. Задача Д2 – на применение к изучению движения
системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну
степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной
координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение
движения. В задачах, где требуется найти ускорение груза 3 (4, 5
или 6), за обобщенную координату удобно принять координату
x , характеризующую перемещение этого груза. Для составления
уравнения Лагранжа необходимо найти кинетическую энергию
T системы и выразить все входящие в нее скорости через
обобщенную скорость x , а затем вычислить обобщенную силу
Q . Для этого надо сообщить системе возможное (малое)
перемещение, при котором выбранная координата x получит
приращение x , и составить уравнение работ всех сил на этом
перемещении. Коэффициент при x в выражении элементарной
работы и будет искомой обобщенной силой. Дальнейший ход
решения задачи разъяснен в примере Д2.
Пример Д2.
Механическая система (рис. Д2) состоит из обмотанных
нитями блока 1 радиуса R1 и ступенчатого шкива 2 (радиусы
ступеней R2 и r2 , радиус инерции относительно оси вращения
 2 ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система
движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести
и пары сил с моментом М , приложенной к блоку 1.
Рис. Д.2
Д а н о : P1  0 Н, P2  30 Н, P3  40 Н, P4  20 Н, M  16
Н  м , R1  0,2 м, R2  0,3 м, r2  0,15 м;  2  0,2 м.
О п р е д е л и т ь : ускорение груза 3, пренебрегая трением.
Решение:
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из
тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень
свободы. Связи, наложенные на эту систему, – идеальные.
Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение x
груза 3, полагая, что он движется вниз и отсчитывая x в сторону
движения (рис. Д2). Составим уравнение Лагранжа:
d  T  T
(1)
Q.


dt  x  x
2. Определим кинетическую энергию всей системы, равную
сумме кинетических энергий всех тел:
T  T2  T3  T4 .
(2)
Грузы 3 и 4 движутся поступательно, поэтому шкив 2
вращается вокруг неподвижной оси, следовательно
1
1
1
1
I 2 22  m 2  22 22 , T3  m3 v 32 , T4  m 4 v 42 . (3)
2
2
2
2
Скорости  2 , v 3 и v 4 выразим через обобщенную скорость
T2 
x :
r
x
, v3  x , v 4  x 2 .
(4)
r2
R2
Подставляя значения величин (4) в равенства (3), а затем
значения T2 , T3 и T4 в соотношение (2), получим:
2 
r2
2 
1 
(5)
P3  P4 22  P2 22  x 2 .
2 g 
R2
R2 
Так как кинетическая энергия зависит только от x ,
производные левой части уравнения (1) примут вид:
r2
2 
T 1 

P3  P4 22  P2 22  x ,
x g 
R2
R 2 
r22
 22 
T
d  T  1 


 0.
,
(6)

P

P

P
x


3
4
2
x
dt  x  g 
R22
R22 
3. Найдем обобщенную силу Q . Для этого составим уравнение
работ активных сил на перемещении x . Изобразим на чертеже
активные силы P2 , P3 , P4 и пару сил с моментом M . Сообщим
T
системе возможное перемещение
выражение для суммы работ:
A   Akа  P3 sin 60  s3  M1 .
x  s 3
и
составим
Выразим 1 через x :
r2
x .
R1 R2
В результате получим

Mr2 
A   Akа   P3 sin 60  
x .
(7)


R
R
1
2


A  Qx .
Коэффициент при x в (7) и будет обобщенной силой:
1 
Mr2
.
R1 R2
Подставляя (6) и (8) в уравнение (1), получим
Mr2
r2
2 
1 
.
P3  P4 22  P2 22  x  P3 sin 60  
g 
R1 R2
R2
R 2 
Q  P3 sin 60  
(8)
Отсюда находим
P3 sin 60  
a3 
P3 
r22
P4 2
R2

Mr2
R1 R2
 22
P2 2
R2
2
g  0,9 м/с2.
О т в е т : a3  0,9 м/с , знак минус указывает, что ускорение
груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно
показанным на рисунке.