Экзаменационные темы по дисциплине _Математический

Экзаменационные темы по дисциплине «Математический анализ»
направление подготовки БИ в 2014-2015 уч. году
преподаватель Круглов Е.В.
Развитие понятия о числе. Натуральные, целые, рациональные, действительные,
комплексные числа. Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация,
модуль, аргумент. Четыре арифметических действия над комплексными числами. Примеры вычисления.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Формулы Эйлера (без доказательства). Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра возведения в степень.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры и разложение на линейные множители многочлена с комплексными коэффициентами.
Примеры вычисления.
Понятие функции, способы ее задания. Основные элементарные функции, их классификация. Сложная функция. Определение элементарной функции. Функции неявные,
обратные, заданные параметрически. Полярные координаты и функции, заданные в полярных координатах.
Функции, используемые в экономической науке (функция полезности, производственная функция).
Последовательность как функция натурального аргумента. Примеры последовательностей. Понятие предельной точки. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности,
об ограниченности последовательности, имеющей собственный предел. Теорема о пределе монотонно возрастающей (убывающей) последовательности, ограниченной сверху
(снизу). (Всё – без доказательства.) Число e и обоснование существование предела после-

довательности 1 т1
т .
Конечный предел функции на конечном участке прямой. Обобщения понятия предела на случаи. Когда хотя бы одна из переменных неограниченна. Односторонние пределы. Теорема, выражающая необходимое и достаточное условия существования предела
через пределы односторонние.
Теорема о единственности предела. (Обе – без доказательства.) Теоремы о пределах, связанных с равенствами. Теоремы о пределах, связанных с неравенствами (без доказательства). Примеры.
Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.
Бесконечно малые. Свойства бесконечно малых.
Асимптоты графика функции и способы их нахождения.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Односторонняя непрерывность. Непрерывности функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных функций на замкнутом интервале (без доказательства). Непрерывность элементарных функций в области их определения.
Производная функции: определение. Производная как тангенс угла наклона касательной. Эластичность функции в точке (экономический смысл производной). Односторонние производные. Производная на интервале и на отрезке. Понятие о дифференциале
функции: определение, геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции; неявной, обратной, параметрически заданной функций.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
Сравнение бесконечно малых. Формула Тейлора: многочлен Тейлора, остаточный
член в форме Пеано, разложение по формуле Маклорена пяти элементарных функций.
Монотонность функции и знак производной. Точки экстремума: определение, необходимое условие экстремума достаточные условия экстремума. Вторая производная и
геометрия кривой, точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения
графика. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке.
Понятие функции n-переменных. Функция двух независимых переменных: область
определения, область значений. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня. Общее представление о пределе функции двух переменных.
Частные производные. Дифференциал функции двух переменных. Частные производные и дифференциал функции трех переменных.
Производная по направлению. Градиент. Частные производные высших порядков.
Понятие о формуле Тейлора для функции двух переменных. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия, достаточные условия. Экстремум функции трех переменных. Необходимые условия, достаточные условия. Понятие о критерии Сильвестра
знакоопределённости дифференциала второго порядка.
Условный экстремум. Метод непосредственной подстановки; метод Лагранжа поиска условного экстремума.
Функции нескольких переменных в экономической науке. Теория потребительского выбора и функция полезности. Примеры функций полезности и задач на минимизацию
расходов.
Производственная функция. Производственная функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью замещения и т.п.