МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КРАТКИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
с индивидуальными домашними заданиями
по теме “Функции нескольких переменных”
по курсу “Высшая математика”
для студентов специальности “Прикладная экология” дневной
формы обучения
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета.
Протокол N2 от 18.04.97
Сумы СумГУ 1997
2
Учебное издание
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
с индивидуальными домашними заданиями
по теме “Функции нескольких переменных”
по курсу “Высшая математика”
для студентов специальности “Прикладная экология” дневной
формы обучения
Составитель
И.Н.Беда
Рецензент
В.А.Ячменев
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во многих высших учебных заведениях, в том числе и в
СумГУ, курс высшей математики для студентов специальности
“Прикладная экология” излагается по сокращенной программе.
При такой программе целесообразно иметь краткое учебное
издание, в котором содержался бы основной как теоретический,
так и практический материал изучаемой дисциплины.
Настоящий конспект лекций, написанный в соответствии с
программой для указанной выше специальности, имеет целью
помочь студентам в усвоении учебного материала, а также
организовать и активизировать их самостоятельную работу при
изучении темы “Функции нескольких переменных”. Здесь
приведены основные теоретические сведения: основные
определения, формулировки теорем, доказательства основных
теорем. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными
примерами. Однако число их невелико и они несложны,
поскольку имеется в виду, что студенты параллельно с
изучением теоретического материала посещают практические
занятия, на которых приобретают навыки и в решении более
сложных задач.
По каждому разделу темы предложены индивидуальные
домашние задания, что позволяет закрепить как теоретический
материал, так и методы решения задач практического плана.
4
1
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Определение.
Если каждой паре (x,у) значений двух
независимых друг от друга переменных величин х и у из
некоторой области их изменения соответствует определенное
значение величины z , то говорят, что z есть функция двух
независимых переменных х и у , определенная в этой области.
Символически функция двух переменных обозначается так: “
z=f(x,y) “ или “z=z(x,y) “ и читается “зет равно эф от икс,
игрэк” или “зет равно зет от икс, игрэк “
Функция двух переменных может быть задана:
1 Аналитически - с помощью формулы. Например, площадь
прямоугольника S со сторонами, длины которых х и у,
выражается формулой
S = ху .
2 С помощью таблицы. Например, температуру воздуха в
различных районах и в разное время можно задать таблицей:
Время суток
район, N
1
2
3
9
12
15
18
0
-3
-6
3
0
-3
4
2
0
1
1
-2
3 Функция может быть представлена пространственной
моделью (пространственным графиком), рис. 1. Однако для
функции трех и большего числа аргументов этот способ не
применим.
4 Функцию двух переменных можно представить на
плоскости линиями уровня: точки, для которых функция имеет
одно и то же значение, соединяют линией, рис. 2. Этот способ
применяется в картографии.
5
z
y
z 
 z= f(x,y)
20
15
y  y

x
5
26
x

x
Рисунок 1
Рисунок 2
Как и в случае одного независимого переменного, функция
двух переменных существует, вообще говоря, не при любых
значениях х и у.
Определение. Совокупность пар (х,у) значений х и у, при которых
определяется функция z, называется областью определения или
областью существования этой функции, а совокупность
значений z называется областью значений функции.
Область определения функции наглядно иллюстрируется
геометрически. Если каждую пару значений x и у мы будем
изображать точкой М(х,у) в плоскости Оху, то область
определения функции изобразится в виде некоторой
совокупности точек на плоскости. Линию, ограничивающую
данную область, будем называть границей области. Точки
области, не лежащие на границе, называются внутренними
6
точками области. Область, состоящая из одних внутренних
точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области
относятся и точки границы, то область называется замкнутой,
рис. 3.
y
L1
y
L2
DD

O
D1
x
D2
O
x
Рисунок 3
D1 - замкнутая область;
D2 - открытая область;
L1 - граница области;
L2 - граница области
Определение. Область называется ограниченной, если
существует такое постоянное число С, что расстояние любой
точки М области от начала координат О меньше С, т.е.
| ОМ |< С.
Пример. Найти область определения функции
z= Ln(х + у).
Решение. Так как логарифмы определены только для
положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство
7
х+у>0
(1)
Для нахождения этой области найдем уравнение границы
области:
х+у = 0.
Это уравнение прямой. Поскольку граница области не
принадлежит области определения, то ее покажем прерывистой,
рис. 4.
Граница области (прямая у+х=0) делит всю плоскость на две
части.

===== y ===============
=======================
=====================
===================
==================
================

A(-1;0)
x+ y= 0
0
= = = B(1;0)
x
============
==========
=========
Рисунок 4
Проверим, удовлетворяют ли точки каждой части исходному
неравенству. Рассмотрим точку А(-1,0). Подставляя ее
координаты в (1), получим
-1 +0 <0.
Неравенство не выполняется, следовательно, полуплоскость с
точкой А не принадлежит области определения.
Рассмотрим точку В(1,0). Подставляя ее координаты в (1),
получим
1+0>0
Неравенство выполняется, следовательно, часть плоскости с
тоской В принадлежит области определения. Заштрихуем
область определения на рисунке.
8
Замечание. Определение функции двух переменных легко
обобщить на случай трех или более переменных. Например,
если каждой рассматриваемой совокупности значений
переменных x,y,z,...,u,t соответствует определенное значение
переменной w, то будем называть w функцией независимых
переменных x,y,z,...,u,t и писать
w =f(x,y,z,...,u,t).
2
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Число А называется пределом функции
z=f(х,у) в точке М0(х0,у0), если для любого положительного
числа  можно указать >0 такое, что для всех точек М(х,у),
координаты которых удовлетворяют неравенству
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 
выполняется неравенство
| f(х,у) -А | <  .
Если А - предел функции z = f(х,у) в точке Мо(хо,уо), то это
записывают так:
lim f ( M )  A или lim f ( x , y )  A .
M  M0
x  x0
y  y0
Правила нахождения пределов функции двух переменных
такие же, как и для функции одной переменной. Например,
найдем предел
xy  1  1
lim
.
x0
xy
y0
Решение. В точке О(0;0) имеем неопределенность вида {0/0}.
Преобразуя выражение, стоящее под знаком предела, получим
( xy 1 1)( xy 1 1)
xy 1 1
= lim
=
lim
x0
x0
xy( xy 1 1)
y0
y  0 xy( xy 1 1)
9
1
= lim
x0
y0
=1/2 .
xy 1 1
В случае, когда раскрытие неопределенности затруднено,
можно воспользоваться следующим утверждением: предел
функции f(х,у) в точке
M0(х0,у0) не существует, если в
окрестности данной точки найдутся точки, в которых
знаменатель функции обращается в нуль.
Пример. Найти предел в точке О(0;0) функции
x y
z=
.
x y
Решение. Так как в точке О(о;о) имеем неопределенность
{0/0} и невозможно избавиться от неопределенности
преобразованием функции, рассмотрим ее знаменатель и рещим
уравнение х+у=0. Видно, что в окрестности т.О(0;0) при у=-х
знаменатель обращается в нуль. Следовательно, в данной точке
предел не существует.
Такой вывод можно получить, рассмотрев предел при таких
случаях:
а) при х=0 получим
0 y
lim
 1 ;
y0 0  y
б) при у=0 получим
x0
 1.
x0 x  0
lim
Так как пределы не равны, следовательно, данный предел не
существует.
Пример. Найти предел в точке О(0;0) функции
x3 y3
z= 2
.
x y2
10
Решение. В т. О(0;0) имеем неопределенность {0/0}.
Упростить выражение невозможно. Рассмотрим случаи:
а)
пусть переменная у является величиной более высокого порядка
малости по отношению к х, тогда у2 и у3 будут величинами
более высокого порядка малости по отношению к х 2 и х3.
Получим
x3
lim 2  lim x  0 ;
x 0 x
x 0
б) пусть переменная х является величиной более высокого
порядка малости по отношению к у, тогда х 2 и х3 будут
величинами более высокого порядка малости по отношению к у2
и у3. Получим
y3
lim 2  lim y  0 ;
y 0 y
y 0
в) пусть переменная у является величиной одного порядка
малости по отношению к х, т.е. у=kx. Имеем
x 3 ( kx) 3
lim
=0.
x0
x 2 ( kx) 2
Так как пределы существуют и равны нулю, то в точке О(0;0)
x3  y3
lim 2
0.
x 0 x  y 2
y 0
3
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение. Функция z=f(х,у) называется непрерывной в
точке Мо(хо,уо), если предел функции в этой точке существует и
равен значению функции в этой точке, т.е.
lim f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) .
x  x0
y  y0
(1)
Определение. Функция непрерывная в каждой точке некоторой
области называется непрерывной в этой области.
11
Определение. Окрестностью радиуса r точки Мо(хо,уо)
называется совокупность всех точек М(х,у), координаты
которых удовлетворяют неравенству
( x xo) 2 ( y yo) 2
r.
Запищем условие непрерывности функции в другом виде.
Для этого
преобразуем (1). Имеем
lim ( f ( x , y)  f ( x0 , y0 ))  0 .
x  x0
y  y0
Введя обозначение
z=f(х,у)-f(хо,уо) =f(хо+х,уо+у)-f(хо,уо)
-полное приращение функции в точке Мо(хо,уо), получим
условие непрерывнсти функции в таком виде:
(2)
lim  z =0.
x  x0
y  y0
Если в некоторой точке N(хо,уо) не выполняется условие
непрерывности (1), то точка N(хо,уо) называется точкой
разрыва функции z=f(х,у).
Данное условие может не выполняться в следующих случаях:
а) функция определена во всех точках некоторой окрестности
точки N, за исключением самой точки N;
б) функция определена во всех точках окрестности точки N,
но не существует предела функции в этой точке;
в) функция определена во всех точках окрестности точки N,
существует предел функции в этой точке, но предел не равен
значению функции в этой точке.
4
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
12
Рассмотрим функцию z=f(х,у).
Определение. Частным приращением функции z по аргументу х
называется приращение вида
х z = f(х+х,у) -f(х,у).
Определение. Частным приращением функции z по аргументу у
называется приращение вида
y z = f(х,у+у) - f(х,у).
Определение.
приращение
Полным приращением функции z называется
z = f(х+х,у+у) - f(х,у).
Определение. Частной производной функции z по х называется
предел отношения частного приращения x z по х к приращению
х при стремлении х к нулю.
Частная производная по х от функции z=f(х,у) обозначается
одним из символов:
zx,
fx;
z/x;
f/x.
Следовательно, по определению
z
 lim x z/x=lim(f(х+х;у)-f(х;у))/x.
x x0
Аналогично, частная производная по у от функции z=f(х,у)
определяется как
z/y= Lim (f(x,у+у)- f(х,у))/y.
Частная производная по у обозначается одним из символов:
zy, fy(х,у), z/y, f/y.
Заметим, что частная производная по х от функции
вычисляется в предположении, что у - постоянная величина, а
частная производная по у от функции z вычисляется в
предположении, что х - постоянная. Следовательно, правила
13
вычисления частных производных совпадают с правилами
вычисления производной для функции одного переменного и
только требуется каждый раз помнить - по какому переменному
ищется производная.
Пример. Найти частные производные
z = х2 sin(у).
Решение.
z/x = 2х sin(у);
z/y= х2 cos(у).
Пример. Найти частные производыне
z= хy .
Решение.
z/x= y xy-1 ;
z/y = xy Ln x .
5 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ И ЕЕ
ПОЛНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Введем обозначение :
 =(х2 +у2) .
Определение. Функция z=f(х,у), полное приращение
z
которой в точке М(х,у) может быть представлено в виде суммы
двух слагаемых: выражения линейного относительно х и у и
величины бесконечно малой относительно , называется
дифференцируемой в данной точке, а линейная часть
приращения
называется
полным
дифференциалом
и
обозначается через dz или df.
Теорема. Если функция f(х,у) имеет непрерывные частные
производные в точке М(х,у) , то она дифференцируемая в этой
точке и имеет полный дифференциал
14
dz=z/x dx+ z/y dу.
Доказательство.
По определению полного приращения функции z=f(х,у)
имеем
z= f(х+х,у+у) -f(х,у).
Запишем полное приращение в виде
z =(f(х+х,у+у) - f(х,у+у)) + (f(х,у+у)- f(х,у))
и, учитывая что функция имеет непрерывные частные
производные, применим теорему Лагранжа, получим
z = x fx(х1;у+у) + y fy(х,у1),
где х<х1 <x+x; y< у1 <y +y.
Так как частные производные непрерывны, то при
х0 и у 0
получим
Lim fx(х1,у+у) =fx(х,у);
Lim fy(х;у1)= fy(x,у),
так как при х0; и у0
х1 х и у1 у.
Учитывая свойство пределов, запишем
fx(х1; у+у)= fx(х;у) +g1,
fy(х;у1) = fy(x;у) +g2,
где величины g1,g2 стремятся к нулю, когда х и у стремятся
к нулю. Имеем
z= fx (х;у) x+ fy(х;у) y + g1 х + g2 y.
Сумма двух последних слагаемых правой части является
бесконечно малой величиной высшего порядка малости
относительно . Приращения независимых переменных х и
у будем называть дифференциалами независимых переменных
х и у и обозначать соответственно через dx, dy. Тогда выражение
полного дифференциала принимает вид
dz= fx(х;у) dx + fy(х;у) dx.
Таким образом, согласно определению, данная функция
дифференцируемая и имеет полный дифференциал.
15
Замечание. Предыдущие рассуждения и определения
соответствующим образом обобщаются на функции любого
числа аргументов.
Пример. Найти полный дифференциал и полное приращение
функции z=xy в точке А(2;3) при х=0,1 и у=0,2.
Решение. Находим
z= (х+х)(у+у)-ху=у х+ху + ху.
Учитывая, что zx  =y;
zy =x , а также исходные данные,
получим
z=30,1+20,2 + 0,10,2 = 0,72;
dz=30,1+20,2 =0,7.
Видно, что z dz.
6 ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА В
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Пусть функция z=f(х,у) дифференцируемая в точке (х,у).
Учитывая, что полное приращение этой функции
 z=f(х+ х,у+у)-f(х,у),
получим
f(х+х,у+у)=f(х,у)+ z.
Поскольку  z dz можно записать
f(х+х,у+у)  f(х,у)+fx(x,y) х+fy(x,y) у.
Покажем на примере, как используется данная формула при
приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно 0,971,04.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию
z=xу
и воспользуемся формулой
f(х,у)f(хо,уо)+fx(хо,уо) х+fy(хо,уо) у,
где
fx =у ху-1;
16
fy=ху Lnx.
Учитывая, что
хо=1; уо=1; х=-0,03; у=0,04
и
fx(1;1)=1; fy(1;1)=1; Ln1=0,
получим
0,971,04  1+1 (-0,03) +00,04 =0,97
7 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Предположим, что в уравнении z=F(u,v) переменные u , v
являются функциями независимых переменных х и у, т.е.
u=u(х;у) и v=v(х;у).
В этом случае z есть сложная функция от аргументов х и у.
Пусть функции F(u;v), u(х), v(х) имеют непрерывные частные
производные по всем своим аргументам.
Дадим аргументу х приращение х, сохраняя значение у
неизменным. Тогда u и v получат частные приращения по х: xu
и хv. Полное приращение функции z будет
z=Fu xu+Fv xv +g1 xu+g2 xv,
где
g10 и g2 0 при u xu0 , yv0
в силу непрерывности функций u и v. Разделим все члены
последнего равенства на х, получим
z/x=Fu xu/x+Fu xv/x+g1 xu/x+g2 xv/x.
Переходя к пределу при х 0 и учитывая, что
Lim z/x=zx ,
Lim xu/x= ux ,
Lim xv/x= vx, Lim g1=0,
Lim g2=0,
получим
zx =Fu Ux +Fv Vx ;
Если мы дадим приращение у переменному у, а х оставили
неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений получим
zy = Fu Uy +Fv Vx .
Следовательно, для функции z=F(u;v) имеем
zx =Fu Ux +Fv Vx ;
zy = Fu Uy +Fv Vx .
17
Замечание. Для случая большего числа переменных
формулы для частных производных естественным образом
обобщаются. Например, если z=F(u,v,s), где u=u(x,y), v=v(x,y),
s=s(x,y), тогда
zx =Fu Ux +Fv Vx +Fs Sx ;
zy = Fu Uy +Fv Vx +Fs Sx .
8
ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Пусть задана функция z=F(x;y;u;v), где y,u,v в свою очередь
зависят от одного аргумента х, т.е.
у=у(х); u=u(х);
v=v(х),
то z является функцией только одного переменного х и для нее
можно найти производную по х, которая называется полной
производной по х.
Используя формулу для производной сложной функции,
получим
dz/dx=z/x+z/yy/x+z/uu/x+z/vv/x.
Но так как у, u, v - функции только одного переменного, то
частные производные обращаются в обыкновенные, поэтому
dz/dx=z/x+z/ydy/dx+z/udu/dx+z/vdv/dx.
Эта формула называется формулой полной производной.
9
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО
Пусть задана функция z=f(х;у) в неявном виде
F(х;у;z(х;у))=0.
Тогда, используя формулу производной сложной функции,
продифференцируем обе части уравнения по х и у. Получим
F/x x/x+F/y y/x+F/z z/x=0,
F/x x/y+F/y y/y+F/z z/y=0.
18
Поскольку переменные х и у независимые переменные, то
у/x=0,
x/y=0.
Имеем
F/x +F/z z/x=0,
F/y+F/z z/y=0.
Если
Fz 0,
то
zx =-Fx / Fz ;
zy =-Fy/Fz .
Пример. Найти частные производные функции
x2+y2+z2-r2=0.
Решение. Полагаем
F( х;у;z(х;у))=x2+y2+z2-r2.
Тогда
F/x=2 x;
F/y=2 y; F/z=2 z.
Откуда следует, что
z/x=-2x/2y=-x/y;
z/y=-2y/2z=-y/z.
10
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию двух переменных z=f(x,y). Частные
производные Zx и Zy, вообще говоря, являются функциями
переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить
частные производные. Следовательно, частных производных
второго порядка от функции двух переменных четыре, так как
каждую из функций Zx, Zy можно дифференцировать как по х,
так и по у.
Вторые частные производные обозначаются так:
2z/x2 =fxx(x,y)
(дэ два зэт по дэ икс дважды)дважды дифференцируется по х;
2z/xу =fxу(x,y)
(дэ два зэт по дэ х,дэ у) дифференцируется по х, а потом по у;
19
2z/ух =fух(x,y)
(дэ два зэт по дэ у,дэ х)дифференцируется по у, а потом по х;
2z/у2 =fуу(x,y)
(дэ два зэт по дэ у дважды) дифференцируется по у дважды.
Производные
второго
порядка
можно
снова
дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные
производные третьего порядка. Их будет уже восемь. И т.д.
Пример. Найти
функции
второго порядка частные производные
z=y2 ех+х2 у2 +1.
Решение. Последовательно находим
z/x=y2ех+2х у2;
z/y=2yех+2х2у;
2z/x2 =у2ех+2у2;
2z/xу =2уех+4ху;
2z/ух =2уех+4ху;
2z/у2 =2ех+2х2..
Естественно поставить вопрос, зависит ли результат
дифференцирования функции нескольких переменных от
порядка дифференцирования по разным переменным, т.е. будут
ли равны производные
2z/xy=2z/yx.
Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Если функция z=f(x,y) и ее частные производные
fx, fy, fxy, fyx определены и непрерывны в точке M(x,y) и в
некоторой ее окрестности, то в этой точке
fxy =fyx.
20
11 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть функция двух переменных z=f(x,y) непрерывна со
всеми своими частными производными до третьего порядка
включительно в некоторой окрестности точки М(хо,уо), тогда
для этой функции формула Тейлора имеет вид
f(x,y)=f(хо,уо)+fx(хо,уо)х+fy(хо,уо)у+
1
+ (fxx(хо,уо)х2+2fxy(xо,уо)ху+fyy(хо,уо)у2) +ао2,
2!
где коэффициент ао - ограничен.
12 МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Определение.
Мо(хо,уо), если
Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке
f(хо,уо)>f(х,у)
для всех точек М(х,у) достаточно близких к точке Мо(хо,уо) и
отличных от нее.
Определение.
Мо(хо,уо), если
Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке
f(хо,уо)<f(х,у)
для всех точек М(х,у) достаточно близких к точке Мо(хо,уо) и
отличных от нее.
21
Максимум и минимум функции называются экстремумами
функции, т.е. функция имеет экстремум в точке, если в этой
точке она имеет либо максимум, либо минимум.
Точки, в которых функция достигает экстремума, называются
точками экстремума.
Теорема. (Необходимое условие экстремума)
Если функция z=f(х,у) достигает экстремума при х=хо, у=уо, то
каждая частная производная первого порядка от z или
обращается в нуль при этих значениях, или не существует.
Доказательство.
Дадим переменному у определенное значение (у=уо). Тогда
функция f(х,у) будет функцией одного переменного х. Так как
при х=хо она имеет экстремум, то zx в этой точке или равна
нулю или не существует. Аналогичными рассуждениями можно
доказать, что и zy в этой точке равна нулю или не существует.
Определение. Точки, в которых частные производные
функции первого порядка равны нулю или не существуют,
называтся критическими, или стационарными.
Замечание. Условия приведенной выше теоремы не являются
достаточными, но согласно этой теореме можно утверждать, что
если функция достигает экстремума в какой-нибудь точке, то
это может случиться только в критической точке.
Для исследования функции в критических точках установим
достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку
Мо(хо,уо), функция f(х,у) имеет непрерывные частные
производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме
того, точка Мо(хо,уо) является критической точкой функции
f(х,у) и А=2f/x2, C=2f/y2, B=2f/xy, тогда при х=хо,у=уо:
1) Функция f имеет максимум, если =АС-В2>0 и А<0 ( либо
С<0).
2) Функция f имеет минимум, если =АС-В2>0 и А>0 (либо С>).
22
3) Функция f не имеет ни максимума ни минимума, если =АСВ2<0.
4) Если =АС-В2 =0, то экстремум может быть и может не быть.
В этом случае требуются дополнительные специальные
исследования: например, с помощью формулы Тейлора третьего
или более высокого порядка или каким-либо иным способом.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z=x2-xy+y2+3x-2y+1.
Решение. Находим критические точки.Для этого найдем
частные производные
z/x=2x-y+3,
z/y=-x+2y-2.
Решая систему уравнений
z/x=0,
z/y=0,
т.е.
2х-у+3=0
-х+2у-2=0,
получим
х=-4/3;
у=1/3.
Следовательно, критической точкой будет точка А(-4/3,1/3).
Находим производные второго порядка в этой критической
точке и вычисляем
=АС-В2.
Имеем
А=2z/x2=2,
C=2z/y2=2,
B=2z/xy=-1.
Тогда
=АС-В2=22-(-1)2=4-1=3>0.
Так как >0 и А>0, то критическая точка будет точкой
минимума и zmin=-4/3.
13
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
23
Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших
значений функции задача сводится к разысканию максимумов и
минимумов нескольких переменных, которые не являются
независимыми, а связаны друг с другом некоторыми
добавочными условиями. Например, они должны удовлетворять
заданным уравнениям. Такие задачи называются задачами на
условный экстремум.
Рассмотрим задачу об условном экстремуме функции двух
переменных, если эти переменные связаны одним условием.
Пусть требуется найти максимумы или минимумы функции
z=f(х,у) при условии, что х и у связаны уравнением
g(х,у)=0.
При наличии одного условия из двух переменных х и у
независимым будет только одно, так как второе определяется из
данного уравнения. Если бы мы разрешили уравнение условия
относительно у, то подставляя вместо у в уравнение z=f(х,у) его
выражение через х, получили бы функцию одного переменного
и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум или
минимум функции одного независимого переменного.
Но можно решить поставленную задачу, не разрешая
уравнения условия относительно х или у. Учитывая, что при тех
значениях х, при которых функция z может иметь максимум или
минимум, производная от z по х должна обращаться в нуль,
получим:
dz/dx=f/x+f/y dy/dx=0.
(1)
Дифференцируя уравнение условия
g(х,у)=0
по х, получим
g/x+g/y dy/dx=0.
(2)
24
Умножим члены равенства (2) на пока неопределенный
коэффициент  и сложим их с соответствующими членами
уравнения (1), получим
f/x+f/y dy/dx)+( g/x+g/y dy/dx)=0
или
(f/x+ g/x)+(f/y +g/y) dy/dx=0.
(3)
Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума
независимо от параметра  . Подберем  так, чтобы для
значений х и у, соответствующих экстремуму функции z, вторая
скобка последнего уравнения обратилась в нуль, т.е. чтобы
f/y +g/y =0.
Но тогда из (3) следует, что и
f/x+ g/x=0.
Таким образом, получается, что в точках экстремума
функции удовлетворяются три уравнения с тремя неизвестными
х, у,  :
f/x+ g/x=0;
f/y +g/y=0;
g(х,у)=0.
(4)
Заметим, что левые части этих уравнений есть частные
производные по переменным х,у, функции
F(х,у,)=f(х,у,)+g(х,у).
(5)
Таким образом, для того чтобы найти значения х и у, при
которых может иметь место условный экстремум, нужно
составить вспомогательную функцию (5), приравнять нулю ее
частные производные по х, у и  и из полученных трех
уравнений (4) найти искомые х, у и вспомогательный множитель
.
25
Рассмотренный метод распространяется на исследование
условного экстремума функции любого числа переменных.
Пример Определить наибольшее значение квадратного
корня из произведений двух положительных чисел х и у при
условии, что:
х+у=а.
Решение. 1-й способ. Рассмотрим функцию
z= xy .
Из уравнения
х+у=а
выражаем у через х и подставляем в z, получим
z= x(à x) .
Функция z становится функцией одной переменной. Найдем
критические точки для этой функции:
à x x
à 2x
dz/dx=
.
2 x(à x) 2 x(a x)
Из уравнения
dz/dx=0
получим
а-2х=0,
тогда х=а/2.
Отметим, что при переходе через точку х=а/2 производная
меняет знак с (-) на (+), тогда при х=а/2 функция z принимает
максимальное значение. При этом
у =а-а/2=а/2.
Поскольку имеется только одна критическая точка, то
максимальное значение будет наибольшим. Следовательно,
наибольшее значение данной функции будет при
х=у=а/2
и zmax=a/2.
2-й способ. Построим вспомогательную функцию
F(х,у,)= xy +(х+у-а).
Находим частные производные:
26
Fx=
Fy=
1
у+;
2 yx
1
х+;
2 yx
F=х+у-а.
Приравняем частные производные к нулю:
1
у+=0;
2 yx
1
х+=0;
2 yx
х+у-а=0
или
у+2 xy =0;
х+2 xy =0;
х+у-а=0.
Из первых двух уравнений находим, что х=у. Тогда из
третьего уравнения получим
х+х-а=0,
откуда х=а/2.
Следовательно, и у=а/2.
По смыслу задачи эти значения дают максимум функции,
таким образом, при х=у=а/2 функция принимает наибольшее
значение и zmax=а/2.
14 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ
Определение Функция z=f(x,y) имеет наибольшее значение в
точке Мо(хо,уо)
некоторой замкнутой области, если
f(хо,уо)>f(х,у) для всех отличных от нее точек М(х,у) этой
области.
27
Определение Функция z=f(x,y) имеет наименьшее значение в
точке Мо(хо,уо)
некоторой замкнутой области, если
f(хо,уо)<f(х,у) для всех отличных от нее точек М(х,у) этой
области.
Теорема. Дифференцируемая в ограниченной и замкнутой
области функция z=f(х,у) принимает в ней наибольшее и
наименьшее значения в критических точках или в граничных
точках этой области.
На практике для нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции в ограниченной и замкнутой области
необходимо найти критические точки внутри области и учесть
поведение функции на границе области. Для решения задач
можно рекомендовать следующий план:
1 Найти критические точки и оставить только те, которые
принадлежат области.
2 Рассмотреть границу области (если граница состоит из
нескольких участков, то следует отдельно рассмотреть каждый
ее участок ). На границе области функция будет функцией
только одной переменной и для нее надо найти критические
точки.
3 Указать точки, которые расположены на стыке участков
границы, описываемых разными уравнениями.
4 Вычислить значение функции в найденных точках и среди
этих значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=ху(6-х-у)
в области: х 1; у1; х+у 8.
Решение. Данная область представляет собой треугольник
АВС, ограниченный линиями
х=1; у=1;
х+у= 8.
28
y
B
7
1
A 

0
1
7
C
x
Решаем задачу по указанному плану.
Найдем критические точки. Для этого найдем частные
производные:
zx=6у-2ху-у2;
zy=6х-х2 -2ху
и рассмотрим систему
zx=0;
zy=0,
т.е.
 6у-2ху-у2=0;
 у(6-2х-у)=0;
2
 6х-х -2ху=0
или  х(6-х-2у)=0.
Решением будет х=0 и у=0. Однако точка О(0;0) не
принадлежит нашей области. Поэтому ее не рассматриваем.
Система преобразуется к виду
 6-2х-у=0;
 6-х-2у=0 .
Решением системы будет х=2; у=2.
Точка А1(2;2) принадлежит области.
Рассмотрим границу области. Она состоит из участков АВ,
ВС, АС. Исследуем поведение функции на каждом участке
границы.
29
Рассмотрим участок АВ. Здесь х=1 и данная функция
принимает вид
z=5у-у2.
Находим критические точки:
dz/dy=5-2y,
тогда
5-2у=0
и у=2,5.
Точка А2(1;2,5) принадлежит участку АВ.
Рассмотрим участок ВС. Здесь
х+у=8,
т.е.
у=8-х
и функция z принимает вид
z=2х2-16х.
Имеем
zx=4х-16
и из уравнения
zx=0 т.е. 4х-16=0
находим х=4.
При этом у=8-4=4. Точка А3(4;4) принадлежит участку ВС.
Рассмотрим участок АС. Здесь у=1 и функция принимает вид
z=5х-х2.
Имеем
zx=5-2x,
из уравнения
zx=0 т.е. 5-2х=0
получим х=2,5. Точка А4(2,5;1) принадлежит участку АС.
К точкам А1(2;2); А2(1;2,5); А3(4;4); А4(2,5;1) присоединяем
лежащие на стыке участков границы точки А(1;1); В(1;7); С(7;1)
и вычисляем значения функции в этих точках. Получим:
в точке А1 z=22(6-2-2)=8;
в т. А2 z=12,5(6-1-2,5)=6,25;
в т. А3 z=44(6-4-4)=-32;
в т. А4 z=2,51(6-1-2,5)=6,25;
30
в т. А z=11(6-1-1)=4;
в т. В z=17(6-1-7)=-14; в т.С z=71(6-7-1)=-14.
Видно, что наибольшее значение функция принимает в
т.А1(2;2) и zнаиб=8, а наименьшее - в т. А3(4;4) и zнаим=-32.
15
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента получено n значений
функции у . Результаты записаны в таблицу:
Х
х1 х2
х3
...
хn
Y
y1 y2
y3
...
yn .
Требуется
на
основании
эксперимента
установить
функциональную зависимость величины у от величины х, т.е.
подобрать функцию у=у(х).
Данную задачу рекомендуется решать в два этапа. На первом
этапе устанавливается вид функции. Это делается либо из
теоретических соображений, либо на основании характера
расположения
на
координатной
плоскости
точек,
соответствующих экспериментальным данным. На втором этапе
определяются параметры функции , чтобы искомая функция в
каком-то
смысле
наилучшим
образом
описывала
рассматриваемый процесс. Такие задачи, как правило, решаются
методом наименьших квадратов.
Рассмотрим идею этого метода на примере линейной
функции вида у=ах+b, т.е. как по экспериментальным данным
подбирают параметры а и в.
Рассмотрим сумму квадратов разностей значений уi ,
полученных при эксперименте, и функции у=ах+b в
соответствующих точках :
n
S(а,b)=  ( yi  (axi  b)) 2 .
i 1
Подбираем параметры а и b так, чтобы эта сумма имела
наименьшее
значение,
поскольку представляет
собой
погрешность при такой замене. Таким образом, задача сводится
к нахождению значений параметров а и в, при которых функция
31
S(а,b) имеет минимум, Следовательно, частные производные
при искомых параметрах обращаются в нуль. Получим
S/а=0;
S/b=0
или в развернутом виде
 S/а=2(уi-ахi-b)(-хi)=0;
S/b=2(уi-ахi-b)(-1)=0
Или
 ахi 2 +bх I = yixi ;
 аxi+bn=yi .
Получена система двух линейных уравнений с двумя
неизвестными а и b. Очевидно, что система имеет определенное
решение и что при полученных значениях а и b функция S(а,b)
имеет минимум. Доказательство этого утверждения провести
самостоятельно ( это легко устанавливается на основании
достаточного условия существования минимума для функции
двух переменных).
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
16
ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ
ЗАДАЧА 1 Найти область определения функций.
1
z=
x
.
xy
2
1
z= 1 x 2
y 2 1; .
4
z= (4 x2 y2 ) x2 ;
z=аrccos(y/x).
6
z=arcsin(x/y).
z=Ln(x-y).
8
z=Ln(1+x+2y).
3
z=
5
7
x  y 4
2
2
.
9
z=Ln((1+x)/y).
10
z=arccos(x+y).
11
z=Ln(1-x)(1+y).
12
z=arcsin((1+x)/y).
32
x y
.
x y
13
z=
15
z=
17
z=
19
z=arccos(Ln(x)).
21
yx
.
x y
14
z=
x y
.
x
16
z=
x2 y2 4
.
yx
18
z=Ln(x2+y2-1).
20
z= Ln((1+x)/y).
22
z=Lnx+Lncosy.
z=Ln(yx/(1+x)).
23
z=Lny+Lnsinx.
25
z=Ln(y2-e-x ).
x y
.
yx
z= y2 2x 4 .
24
26
z=sin
x y
.
x y
Задача 2 Найти частные производные следующих функций.
1
z=
3
z=
x
x y
;.
2
1
x
2
y
2
;.
z= 1 x 2
y 2 1; .
4
z= (4 x2 y2 ) x2 ; .
4
5
z=аrccos(y/x).
6
z=arcsin(x/y).
7
z=Ln(x-y).
8
z=Ln(1+x+2y).
9
z=Ln((1+x)/y).
10
z=atccos(x+y).
33
11
z=Ln(1-x)(1+y).
13
z=
15
z=
17
z=
x y
.
x y
12
z=arcsin((1+x)/y).
yx
.
x y
14
z=
x y
.
x
16
z=
x2 y2 4
.
yx
18
z=Ln(x2+y2-1).
19
z=arccos(Ln(x)).
20
z= Ln((1+x)/y).
21
z=Ln(yx/(1+x)).
22
z=Lnx+Lncosy.
24
z= y2 2x 4 .
26
z=sin
23
z=Lny+Lnsinx.
z=Ln(y2-e-x ).
25
x y
.
yx
x y
.
x y
27 f(x,y,z)=Lnsin(x-2y+z/4).
Задача 3 Вычислить приближенно
1
3,122,97 .
2
3,952 315
, 2 .
3
2,962,80 .
4
4,022 315
, ;.
5
1,123+0,982 .
6
7
Ln(1,04) sin31 .
8
sin 29 tg46.
cos59 tg44 .
34
9
Ln1,1 cos62.
10
cos5sin28 .
11
tg46sin 98.
12
2,053,97 .
13
sin92 tg40.
14
cos55sin25 .
15
3,121,95
17
cos55tg40 .
18
tg40 tg50.
19
3,12,25 .
20
4,212,15 .
21
sin25 cos 95.
22
sin33 tg43 .
16
.
4,121,98 .
2,152,99 .
23 cos64 tg48.
24
25 tg47 sin97.
26 2,042,13 .
3,022,12
27
.
Задача 4 Исследовать на экстремум следующие функции.
1
z=x3+8y3-6xy+5 .
2
z=1+15x-2x2-xy-2y2 .
3
z=x2+xy+y2-2x-3y.
4
z=x2 +xy+y2-4 Lnx-10 Lny.
5
z=xy(4-x)(4-y) .
6
z=x2+xy+y2+x-y+1 .
7
z=6(x-y)-3x2-3y2 .
8
z=x2+xy+y2-6x-9y .
9
z=2xy-2x2-4y2 .
10
z=xy-3x2-2y2.
11
z=xy(6-x-y).
12
z=2xy-5x2-3y2+2 .
13
z=(x-2)2+2y2-10.
14
z=(x-5)2+y2+1.
35
15
z=x3+y3-9xy.
16
z=x3+3xy2-51x-24y+1.
17
z= x3+y3-3xy.
18
z=x2+3(y+2)2.
19
z=2(x+y)-x2-y2 .
20
z=(x-1)2+2y2.
21
z= 1+6x-x2-xy-y2 .
22
z=2x3+2y3-6xy+5.
23
z=4(x-y)-x2-y2 .
24
z=yx-2y2-x+14y.
Задача 5 Найти наибольшее и наименьщее значения функции
z=f(x,y) в области D, ограниченной заданными линиями.
1
z=x2+3y2-x+18y-4
D:
0 x1, 0y1.
2
z=x3+y3-3xy
D:
0x2, -1y2.
3
z=x2-y2
4
z =x2-xy+y2
D:
5
z=3x+y-xy
D:
y=x, y=4, x=0.
6
z=xy-x-2y
D:
x=3, y=x, y=9.
7
z=x2+2xy-4x+8y
D:
x=0, x=1, y=0, y=2.
8
z=5x2-3xy+y2
D:
x=0,x=1, y=0, y=1.
9
z=x2+2xy-y2-4x
D:
x-y+1=0, x=3, y=0.
10 z=x2+y2-2x-2y+8
D:
x=0, y=0, x+y-1=0.
11 z=2x3-xy2+y2
D:
x=0, x=1, y=0, y=6.
D:
x2+y21.
x+y1.
36
12 z=x2+2xy+4x-y2
D:
x+y+2=0, x=0, y=0.
13 z=x2+2xy-y2-2x+2y
D:
y=x+2, y=0, x=2.
z=x2+2xy-y2-4x
D:
15 z=2x2y-x3y-x2y2
D:
14
x=3, y=0, y=x+1.
x=0, y=0, x+y=6.
16 z=5x2-3xy+y2+4
D:
x=-1,x=1, y=-1, y=1.
17 z=4(x-y)-x2-y2
D:
x+2y=4, x-2y=4, x=0.
18 z=x3+y3-3xy
D:
x=0, x=2, y=-1, y=2.
19 z=x2y(4-x-y)
D:
x=0, y=0, y=6-x.
20 z=x2+xy-2
D:
y=4x2-4, y=0.
21 z=x2+xy-10
D:
y=0, y=x2--4.
22 z=x2/2-xy
D:
y=8, y=2x2.
23 z=3x2+3y2-2x-2y+2
D:
x=0, y=0, x+y-1=0.
24 z=2x2+2xy-y2/2-4x
D:
y=2x, y=2, x=0.
25 z=xy-2x-y
D:
x=0, x=3, y=0, y=4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное
исчисления для втузов. -М.: Наука, 1970-1985, т.1.
37
2 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. Высшая
математика в упражнениях и задачах. -М.: Высшая школа, 1980.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................. 2
Лекция 1
38
1 Вводные замечания ...................................................... 3
2 Предел функции двух переменных ............................ 8
3 Непрерывность функции ............................................ 10
Лекция 2
4 Частные производные функции ................................ 12
5 Дифференцируемость функции и ее полный
дифференциал ......................................................................... 13
6 Применение полного дифференциала в
приближенных вычислениях ................................................ 15
7 Производная сложной функции ............................... 16
Лекция 3
8 Полная производная ................................................ 17
9 Производная функции, заданной неявно .............. 17
10 Частные производные высших порядков ............. 18
11 Формула Тейлора для функции двух
переменных ........................................................................... 20
Лекция 4
12 Максимум и минимум функции двух .................... 20
13 Условный экстремум ............................................... 23
Лекция 5
14 Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области .......................................... 26
15 Метод наименьших квадратов ............................... 30
Индивидуальные домашние задания .................................31
Список литературы ...............................................................36
Учебное издание
39
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
с индивидуальными домашними заданиями
по теме “Функции нескольких переменных”
по курсу “Высшая математика”
для студентов специальности “Прикладная экология” дневной
формы обучения
Составитель
Беда Иван Никитович
Ответствующий за выпуск В.А.Ячменев
План 1997 г. , поз.
Подп. в печ.
Формат 60х84/16 Уч.-изд. л
Тираж
экз.
Заказ N
Бесплатно
_______________________________________________
CумГУ. 244007, Сумы, ул. Римского-Корсакова, 2
_______________________________________________
"Ризоцентр" СумГУ. 244007, Сумы, ул. РимскогоКорсакова, 2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
40
К печати и в свет
разрешаю на основании
"Единых правил",
п. 2. 6. 14
Проректор
Н.И.Волков
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
с индивидуальными домашними заданиями
по теме “Функции нескольких переменных”
по курсу “Высшая математика”
для студентов специальности “Прикладная экология” дневной
формы обучения
Все цитаты,цифровой,
фактический материал
и библиографические
сведения проверены,
написание единиц
соответствует
стандартам
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета.
Протокол N
от
1997
Составитель
И.Н.Беда
Ответственный за выпуск
В.А.Ячменев
Декан факультета
С.П.Рощупкин
Сумы
СумГУ 1997
41
Составитель
Беда Иван Никитович
Кафедра
математического анализа и методов оптимизации
Рецензент
Владимир Александрович Ячменев
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
42
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
с индивидуальными домашними заданиями
по теме “Функции нескольких переменных”
по курсу “Высшая математика”
для студентов специальности “Прикладная экология” дневной
формы обучения
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета
Протокол N
Сумы СумГУ 1997
от
1997