УДК 531.8 + 624.131 Алюшин Юрий Алексеевич проф., д.т.н.

УДК 531.8 + 624.131
Алюшин Юрий Алексеевич
проф., д.т.н.
кафедра «Теоретическая и прикладная механика»
Московский государственный горный университет
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ В ГОРНОМ ДЕЛЕ
POWER MODEL OF MECHANICS IN MINING
Объектами переработки в горном деле могут быть самые
разнообразные монолиты и сыпучие горные породы. Несмотря на
сложную структуру грунтов, состоящих из пустот и отдельных частиц,
если при действии внешних сил структурные связи между минеральными
частицами не нарушаются, вполне применимы основные положения
механики сплошных сред, в частности теории упругости и пластичности
[1-2]. Такое предположение не приводит к большим погрешностям при
использовании в расчетах механических свойств грунта: пределы
прочности при сжатии и растяжении, модуль продольной упругости,
коэффициент Пуассона. К примеру, решение задачи Буссинеска [2] о
распределении напряжений при действии на массив сосредоточенной силы
используют для оценки устойчивости сооружений и разрушения грунтов.
Не отрицая ряда особенностей и закономерностей, обусловленных
природой рыхлых горных пород как минерально – дисперсных
образований, возможности нарушения структурных связей грунта, после
чего деформации обусловлены главным образом перемещением его частиц,
реологические свойства грунтов (релаксация, ползучесть), приводящие к
прогрессирующему течению, развитию оползней, просадке насыпей и
разрушению, хорошо согласуются с принятой в механике сплошных сред
методикой комплексного изучения напряженного состояния среды
(массива грунта) для анализа его прочности и устойчивости с учетом
реально существующих фаз уплотнения, сдвига, потери устойчивости и
разрушения.
В механике грунтов особую роль играет сжимаемость или
уплотнение под действием внешних сжимающих нагрузок, высыхания,
коагуляции коллоидов и пр. с уменьшением пористости грунта, в том
числе за счет местных сдвигов, изменения толщины водно-коллоидных
оболочек и пр. Но при этом всегда можно считать выполнимым основное
предположение механики сплошных сред - ближайшие частицы остаются
ближайшими на протяжении всего процесса движения.
Энергетическая
модель
механики
основана
на
анализе
кинематических инвариантов уравнений движения
f i ( xi ,  p , t )  0 ,
(1)
3
где t – время, xi  ( х, у, z ) ,  p  ( ,  ,  ) - переменные Эйлера и Лагранжа,
соответственно, которые несут всю информацию о внешних воздействиях
и внутренних изменениях, происходящих в процессах движения
(деформации). Система (1) может быть записана в различных формах,
однако, необходимость учета истории деформирования, а также
возможность использования принципа суперпозиции движений [3-5],
особенно для сложных процессов, делает предпочтительной форму
Лагранжа
xi  xi ( p , t ) .
(2)
В дальнейшем в качестве переменных Лагранжа приняты начальные
(при t = 0) координаты точек в системе координат наблюдателя   х |t 0 ,
  y |t 0 ,   z |t 0 .
В самом общем случае без каких-либо ограничений на свойства
сплошной среды система (2) имеет 13 локальных кинематических
инвариантов. Три из них связаны с векторными характеристиками


движения: модули векторов перемещения u ( p , t ) , скорости v ( p , t ) и

ускорения w( p , t )

1 | u | u 2 , v ( p , t ) ,
 2 | v | v 2 , ,
 3 | w | w2 .
Инвариантом также является путь s, равный интегралу от модуля
скорости по времени
t
 4  s   | v | dt .
0
Несимметричный тензор второго ранга, образуемый производными
от переменных Эйлера по переменным Лагранжа
xi , p  xi /  p ,
(3)
для которого в дальнейшем использован термин «тензор деформации
Лагранжа» [3-5], имеет три инварианта
5  x  y  z ,
(4)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(5)
6  x  x  x  у  у  у  z  z  z ,
 7 | xi , p | V / V0  R .
(6)
Кубический инвариант 7 совпадает с якобианом преобразования (2)
и равен отношению объемов бесконечно малой частицы в текущем V и
исходном V0 состояниях.
В отличие от симметричного тензора деформаций Коши [6]
инварианты (4-6) всегда положительны, в исходном состоянии частицы
принимают значения  5   6  3 ,  7  R  1 .
В соответствии с основным постулатом механики, поведение
системы зависит от положения частиц и их скоростей. Тензор (3) можно
рассматривать как обобщенные координаты, их скорости также образуют
несимметричный тензор («обобщенные скорости»)
xi ,tp  xi ,t /  p ,
(7)
4
который имеет три инварианта: линейный, квадратичный и кубический
8  xt  yt  zt  (5 )t ,
(8)
9  xt2  xt2  xt2  уt2  уt2  уt2  zt2  zt2  zt2 ,
10 | xi ,tp | .
Дополнительно 3 инварианта могут быть получены интегрированием
по времени модулей инвариантов 8 ,  9 , 10 . В отличие от инвариантов (4-6),
которые в процессе деформации могут расти или уменьшаться,
результаты интегрирования по времени
t
11   ( xt  yt  zt ) 2 dt ,
0
12   xt2  xt2  xt2  уt2  уt2  уt2  zt2  zt2  zt2 dt ,
t
0
t
13   | xi ,tp |dt ,
0
только возрастают на протяжении всего процесса деформирования и
позволяют учесть историю этого процесса, уплотнение материала и пр.
Перечисленные
13
локальных
инвариантов  i
являются
независимыми, они или составленные из них выражения должны
определять состояние и поведение частиц, а также механической системы
в целом. Чтобы сравнивать состояния и предсказывать реакцию системы
на внешние воздействия, приведенные выше 13 инвариантов надо
привести к одному обобщенному скаляру, который Аристотелем [7] был
назван энергией («обобщенная скалярная мера различных видов движения»)
Е  Е (i ) .
Оператор  подчеркивает локальный (по отношению к пространству)
характер скаляра.
Как показывает опыт, для большого класса механических систем из
абсолютно твердых и деформируемых тел обобщенный скаляр можно
представить в виде суммы составляющих, каждая из которых зависит
только от одного инварианта Е   Еi ( i ) ,
i
причем каждое слагаемое можно представить как произведение
соответствующего инварианта на объем V0 и скалярный множитель ki,
характеризующий свойства среды и обеспечивающий равенство
размерностей слагаемых,
Е   Еi ( i )   ki iV0 .
(9)
i
i
Скалярные коэффициенты ki должны характеризовать либо
физические свойства материала, например плотность материала при
вычислении кинетической энергии частицы, либо свойства среды, в
которой происходит движение, например ускорение свободного падения
при движении в гравитационном поле Земли. Гипотеза (9) может быть
расширена, например, за счет учета взаимных влияний инвариантов, т. е.
5
добавлением слагаемых, определяемых значениями двух и более
инвариантов.
Дальнейший анализ ограничим формулировкой обобщенного закона
движения механической системы в виде закона сохранения энергии на
бесконечно малом интервале времени
(10)
dЕ  V0 (d  ki i )  dEe  0 .
i
где Ее - энергия внешних воздействий. Оператор «d» - соответствует
бесконечно малым приращениям функции во времени в отличие от
оператора «  », используемого для бесконечно малых приращений
функций в пространстве переменных Лагранжа.
Уравнение (10) предполагает определение бесконечно малых
приращений энергии, которые могут быть вычислены на приращениях,
выбранных для описания движения кинематических координат qj,
используемых в правых частях уравнений перечисленных выше
инвариантов

dEi (kii (q j ))  V0 ki i dq j  Qij dq j .
(11)
q j
Множитель Qij по существу является энергетическим определением
обобщенной локальной силы
Qij 
Ei

 ki i V0 ,
q j
q j
(11а)
характеризующей скорость изменения соответствующего вида энергии Ei
бесконечно малой частицы при изменении кинематического параметра qj.
В общем случае сила Qij может быть скаляром, если в качестве
кинематического параметра выбран скаляр, например путь s или квадрат
скорости v2, вектором, если параметры qj являются проекциями вектора,
или тензором 2 ранга. Размерность силы Qij также зависит от выбора
кинематической координаты qj, например [Н] или [Нм] для линейных или
угловых перемещений, [Па] для тензора напряжений Лагранжа и пр.
Закон сохранения энергии (10) предполагает учет всех как
внутренних, так и внешних энергетических факторов. Для учета
энергетических потоков со стороны окружающих частиц воспользуемся
общепринятой методикой, использующей скалярное произведение
 


векторов силы Р и скорости v : dЕе   (P  v )dt . Суммирование в правой
части должно быть проведено по всем ограничивающим рассматриваемую
бесконечно малую частицу поверхностям. С учетом возможных изменений
сил и скоростей на противоположных гранях, предполагая все функции
дифференцируемыми и заданными в переменных Лагранжа, получим с
точностью до бесконечно малых 1-го порядка (по пространственным
переменным и времени),
6

dЕе
  pi xi ,tp  xi ,t pi /  p
V0 dt
(12)
где  pi  (Ppi /  p )V0 - напряжения Лагранжа, образуют несимметричный
тензор второго ранга. Индекс p  ( ,  ,  ) указывает направление нормали к
рассматриваемой площадке в исходном состоянии, а индекс i - направление
проекции силы, может принимать значения i  ( x, y, z ) . Напряжения  pi
подобны напряжениям Пиола - Кирхгофа [6], но отличаются от них
ограничением области изменения аргументов и неоднозначным выбором
начала отсчета шкалы средних напряжений, которое может быть смещено
относительно общепринятой [3-5].
С учетом внешних взаимодействий закон сохранения (10) можно
записать в форме энергетического баланса
dЕ  V0 (k11,t  k2 2,t  k33,t  ...  k1313,t   )dt  0 .
(10а)
Пренебрегая процессами диссипации (т. е. без учета инвариантов,
связанных с интегрированием по времени), а также используя
общепринятые соотношения для потенциальной и кинетической энергии
(ось z направлена вертикально вверх)
dЕ1   0 gztV0 dt ,
dЕ2  0 ( xt xtt  yt ytt  zt ztt )V0 dt ,
получим
dЕ1  dЕ2  dЕ5  dЕ6  dЕ7  V0 dt ,
или, с учетом дифференциальных уравнений движения,
 pi xi , tp = k5 ( xt  yt  zt ) +
+ 2k6 ( x xt  x xt  x xt  y yt  y yt  y yt  z zt  z  zt  z zt ) +
+ k7 ( ~x xt  ~x xt  ~x xt  ~y yt  ~y yt  ~y yt  ~z zt  ~z  zt  ~z zt ) .
(14)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых множителях – компонентах
тензора скорости деформации (7), получаем соотношения между
компонентами напряжений, элементами тензора (3) и константами ki,
характеризующими физические свойства материала,
 рi  k5 pi  2k6 xi , р  k7 ~
xi , р .
(16)
В соотношениях (16) и далее ~xi , p - алгебраические дополнения
элементов xi , p матрицы (3), единичный тензор  pi принимает значения
 pi  1 при соответствии индексов «р» и «i», т. е.  pi  1 для  х ,  у , z и
 pi  0 для всех остальных напряжений, не расположенных на главной
диагонали. В исходном состоянии, когда переменные Эйлера и Лагранжа
совпадают (матрица якобиана преобразуется в единичную), компоненты
тензора определяют только физические свойства
 x   у   z  k5  2k6  k7 ,
 x   x   у   у   я   я  0 .
Энергетический баланс должен выполняться в любой, в том числе
начальный, момент времени, для которого можно использовать
напряжения Коши  ij
dЕе / Vdt   ij x j ,ti .
(17)
7
Переходя в уравнении (17) от производных по переменным Эйлера
xi ,t / x j  xi ,tj к производным по переменным Лагранжа xi ,t /  p  xi ,tp с
помощью общих соотношений, вытекающих из уравнений движения (2)
f / xi  (f /  p ) ~
xi , p / R , и приравнивая коэффициенты при одинаковых
множителях xi ,tp в правых частях уравнений (12a) и (17), получим систему
линейных уравнений
 pi   ji ~
x j, p ,
(18а)
которые формально совпадают с известными статическими условиями на
контуре и по существу определяют связи между напряжениями Лагранжа и
Коши, справедливые для любого момента времени
 ji   pi x j , p / R .
(18b)
Равенства (18b)
можно трактовать как следствие условия
инвариантности энергии по отношению к выбору начала отсчета времени в
системе наблюдателя. С учетом (16) для напряжений  ji окончательно
получаем
1
1
 ji   i x j ,   i x j ,   i x j ,   k5 x j ,  2k6 ( xi , x j ,  xi , x j ,  xi , x j , )  k7 ( x j , ~xi ,  x j , ~xi ,  x j , ~xi , ) ,
R
R
(18с)
Сопоставление выражений (16) и (18с) показывает, что для анализа
процессов деформации грунтов напряжения Лагранжа предпочтительнее:
они энергетически обоснованы и связаны простыми математическими
уравнениями
с
имеющими
четкий
геометрический
смысл
характеристиками деформированного состояния. Основной инвариантной
характеристикой напряженного состояния можно считать среднее
напряжение Коши 
3R  k 5 5  2k 6 6  3k 7 7 ,
(19)
которое можно использовать для определения среднего напряжения в
исходном состоянии
 0 |t 0  k5  2k6  k7 .
(20)
Если коэффициенты k5 - k7, характеризующие физические свойства
деформируемого материала, известны, тогда по уравнениям движения в
форме (2) можно определить любые кинематические, а затем и
энергетические или силовые функции, в том числе напряжения Лагранжа
(14) и Коши (18). Они могут быть использованы для корректировки
(выбора) начала отсчета шкалы средних напряжений. Есть достаточно
оснований считать, что в исходном состоянии средние напряжения не
следует принимать равными 0. В частности, закон упругого изменения
объема в механике деформируемого твердого тела   3К можно считать
совпадающим с законом изотермического расширения газа pV  const , если
модуль объемной упругости К рассматривать как действующее в текущем
состоянии давление.
Из закона сохранения энергии в форме (10) следует, что деформация
возможна при изменении не менее двух видов энергии (или работы
8
внешних сил). Это позволяет установить связь между коэффициентами ki и
привести систему отсчета различных видов энергии к одной шкале.
В
качестве
примера
рассмотрим
зависимость
между
коэффициентами k1 и k2 на примере свободного падения абсолютно
твердого тела (частицы) в гравитационном поле Земли, в котором
участвуют два вида энергии: потенциальная dE1 и кинетическая dE2 .
Сопротивлением воздуха пренебрегаем, иначе надо добавить изменение
энергии dE4 , предполагая какую-либо связь между диссипативными
силами и инвариантом s или скоростью |v|. Уравнения движения и закон
сохранения энергии примут вид (ось z направлена вертикально вверх)
y,
x  ,
z    u z ( , t ) ,
dE1  dE2  0 .
Повороты отсутствуют, движение поступательное, энергию можно
проинтегрировать по всему объему тела. Для приращений энергии E1 и E2
следует записать
2
dE2  k2 d (vz )  k2 d ( zt2 )  2k2 ztt zt dt  2k2 ztt dz  0 ,
dE1  k1dz  0 ,
и, если использовать общепринятое обозначение для ускорения
свободного падения ztt   g , соотношение между коэффициентами должно
быть k1  2k2 g . В классической механике принято k1  mg , тогда k2  m / 2 и
для кинетической энергии получаем общепринятое выражение
E2  mv2 / 2 .
Свойства, определяемые коэффициентами k5 , k6, k7 , должны
полностью определять энергетические изменения частиц в области
обратимой деформации. Свойства k8 , k9, k10 и инварианты 8 , 9 , 10 не
вошли в уравнение энергетического баланса (14), учитывающего внешние
воздействия, так как их производные по времени содержат множители
типа xi ,ttp , которые не входят в выражение (12) для энергии внешних
воздействий. Этого достаточно для утверждения, что они связаны с
механизмами обратимой и необратимой деформации, учитывать их
различие в глинах и сыпучих средах.
В процессе необратимой деформации условие энергетического
баланса вместо (14) принимает вид
   pi xi ,tp  k55  k66,t  k7 7,t  k1111,t  k1212,t  k1313,t ,
(27)
следовательно, диссипативные процессы связаны с параметрами 11, 12 , 13
и свойствами k11 , k12, k13. Именно они определяют упрочнение, изменение
механических свойств грунтов, специфику горных пород, энергетические
особенности нарушения структурных связей между минеральными
частицами и пр.
Так как излагаемая энергетическая модель должна учитывать
возможные варианты движения от любых внешних воздействий,
рассмотрим изменение энергетического состояния частицы из изотропного
материала при равномерном нагреве. В соответствии с общепринятыми
представлениями и понятиями, при нагреве на температуру Т линейные
9
размеры частицы изменяются на величину Т Т , где Т - коэффициент
линейного расширения материала, при этом затрачивается энергия
Т
Е   сmdT
Т0
или, приближенно, Е  ссрmT , Е / V0  сср 0T , где сср – средняя
теплоемкость материала в рассматриваемом диапазоне температур от Т0 до
Т. С учетом уравнений движения хi  i (1  T T ) , деформаций Лагранжа
x  (1  T T ) и приращений инвариантов I1  3T T , I 2  6T T  3(T T )2 ,
I 3  3T T  3(T T ) 2  (T T )3 , условие перехода подведенного тепла в
энергию частицы принимает вид
c 0 /  Т  3k 5  6k 6  3k 7  3(k 6  k 7 ) Т T  k 7 ( Т T ) 2  3(k 5  2k 6  k 7 ) . (33)
Сравнивая правые части уравнений (20) и (33), можно утверждать,
что средние напряжения в исходном состоянии следует считать равными
(34)
 0 t 0 c0 /(3Т )  k5  2k6  k7 ,
где все физические характеристики в правой части должны соответствовать
исходному состоянию материала, т. е. при нормальном давлении и
температуре 200С. По существу использование соотношения (34)
соответствует переходу к новой энергетической шкале средних напряжений,
по аналогии с термодинамической шкалой температуры Кельвина.
В отличие от твердых однородных тел, например металлов, нагрев
грунтов сопровождается изменением, пористости, влажности и
водопроницаемости. Поэтому в зависимости от диапазона температур
уравнение (34) должно быть дополнено слагаемыми, учитывающими
энергетические характеристики этих изменений.
Для определения каждого из коэффициентов правой части уравнения
(20) достаточно дополнительно двух уравнений, например по результатам
испытания на чистый сдвиг и гидростатическое сжатие. В качестве
основного принимаем общее уравнение (19) для среднего напряжения
3R  k 5 5  2k 6 6  3k 7 7 ,
которое можно привести к обычной шкале средних напряжений за счет
сдвига шкалы на величину исходных напряжений (20), т. е. в обычной
шкале зависимость среднего напряжения Коши от инвариантов тензора
деформации принимает вид
 5





 1  2k6  6  1  k7  7  1
 3R 
 3R 
R

~     0  (k55  2k6 6  3k7 7 ) / 3R  (k5  2k6  k7 )  k5 
.
В условиях однородного гидростатического сжатия с уравнениями
движения хi  i (1   )  i e , 5  3e, 6  3e 2 , 7  e3 и R   7  e3 получаем
~  (1  e)[ k5 (1  e)  2k6e] / e 2 . С другой стороны, из закона упругого изменения
объема
~  3K ( R 1 / 3  1)  3K (e  1) / e2 .
(36)
Приравнивая правые части последних двух уравнений, получим
10
k5 (1  e)  2k6e  3К
(37)
или, принимая во внимание е  1 ,
k5  k6  1,5К .
(37а)
При чистом плоском сдвиге уравнения движения имеют вид
х     ,
у     ,
z  ,
где  - угол сдвига. Два инварианта сохраняют исходные значения,
меняется только квадратичный инвариант 5  I1  3 , 6  I 2  3  2 2 ,
7  I 3  1 . Работа внешних сил Ee  d  G  d  0,5G 2 должна


соответствовать изменению энергии материала E6  k6 6  2k6 2 . Из
энергетического баланса для обратимого процесса получаем
k6 
1
G.
4
(38)
Важно, чтобы величина G была определена с помощью описанного
эксперимента, а не вычислена через модуль Юнга и коэффициент
Пуассона. Отрицательный знак коэффициента k5 объясняет увеличение
энергии частицы при уменьшении ее объема за счет гидростатического
сжатия.
Энергетическая
модель
механики
позволяет
обосновать
существование новых физических свойств грунтов, возможность перехода
к новой шкале средних напряжений, по аналогии с термодинамической
шкалой температур, а также целесообразность исследования их влияния на
изменение структурных связей между минеральными частицами,
формирование дисперсных образований и пр.
Литература
1. Малышев М.В., Болдырев Г.Г. Механика грунтов. 2000-2010гг.
http://www.geoteck.ru
2. Шаламанов В.А., Санников А.Ф., Крупина Н.В. и др. Механика
грунтов. Электронный учебник. КузГТУ, 2004. – 112 с.: ил. IQlib.ru
3. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. Учеб. пособие
для вузов: – М.: Машиностроение, 1999. – 192 с.
4. Алюшин Ю.А. Энергетическая модель обратимых и необратимых
деформаций
в
пространстве
переменных
Лагранжа.
Сборник
«Прогрессивные технологии пластической деформации». – М.: НИТУ
МИСиС, 2009. – С. 44-67.
5. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве
переменных Лагранжа.// Проблемы машиностроения и надежности машин.
– 2001. – №3. – С. 13-19.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1 – М.: Наука, 1970. –
492 с.: ил.
7. Богомолов А.Н. Механика в истории человечества. – М.: Наука,
1978. – 150 с.: ил.
11
Аннотация
На основе представления приращения удельной энергии
механической системы через изменения кинематических инвариантов
уравнений движения в форме Лагранжа высказана гипотеза о
существовании новых физических свойств грунтов, которые определяют
механизм самоорганизации обратимых и необратимых деформаций,
изменение механических свойств с учетом предшествующей истории
деформирования и изменений внешних условий. Предложена
энергетическая интерпретация понятия «обобщенная сила».
On the basis of representation of an increment of specific energy of
mechanical system through changes kinematic characteristics the equations of
movement in the form of Lagranzh the hypothesis about existence of new
physical properties грунтов which define the mechanism of self-organizing
reversible and irreversible deformations, change of mechanical properties in
view of previous history of deformation and changes of external conditions is
stated. Power interpretation of concept « the generalized force » is offered.
Ключевые слова
энергетическая модель механики, инварианты уравнений движения,
механические и физические свойства грунтов
energetic model of mechanics, инварианты the equations of movement,
mechanical and physical properties terrestrial bowels
12