Численное исследование гиперупругих тел в физически

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРУПРУГИХ ТЕЛ
В ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛЕВОГО
ТЕНЗОРА КОШИ – ГРИНА
Л. У. Султанов
Казанский государственный университет, Казань, Россия
В настоящей статье рассматривается методика исследования конечных деформаций
с использованием левого тензора Коши–Грина. Дается кинематика движения среды,
напряженное состояние описывается истинным напряжением Коши–Эйлера. Большое
внимание уделено алгоритму получения линеаризованных физических соотношений в
напряжениях Коши–Эйлера. Численная реализация основана на методе конечных
элементов в рамках инкрементального подхода. Отметим, что настоящая статья является
развитием работ [1–2], и значительная часть теоретических аспектов исследования
нелинейных проблем механики изложена в монографии [3].
1. Кинематика среды. В качестве тензоров, описывающих деформацию и скорость
деформации, используются левый тензор Коши–Грина (мера деформации Фингера)
B  F   F 
T
,
(1)
 h    F    F 1  ,
(2)
тензор пространственного градиента скорости
тензор деформации скорости (симметричная часть (2))
T
T
1
1
T
 d    h    h     F    F 1    F 1    F   .
2
2
2. Определяющие соотношения для изотропного слабосжимаемого материала.
Напряженное состояние описывается с помощью тензора истинных напряжений
    ij eij , определенного в актуальном состоянии. Будем считать, что существует
функция W , которая определяет значение потенциальной энергии деформации,
запасаемой элементарным объемом тела при его деформации. Очевидно, что аргументами
этой функции могут быть компоненты любого тензора, который описывает кинематику
деформирования. Это могут быть градиенты деформаций, меры деформаций, тензоры
деформаций.
В качестве аргументов функции потенциальной энергии деформации примем
компоненты тензора меры деформации Фингера, то есть
W  W  Bij  ,
тогда тензор напряжений Коши–Эйлера будет выражаться в виде
2
2
T  W 
 W 

(3)
   B
.
J
 B  J
 B 
Здесь J – относительное изменение объема.
Для изотропного материала, свойства которого не зависят от направления, функция
удельной потенциальной энергии деформации должна зависеть лишь от инвариантов
соответствующих тензоров. Примем
W  W  I1B , I 2 B , I 3B  .
   F    F 
Для изотропного материала, который характеризуется либо малой сжимаемостью, а
это довольно большая группа так называемых эластомеров (резиноподобных материалов),
либо ее значительной величиной (например, пористые материалы), в определяющих
соотношениях выделяют в отдельную группу деформации, вызывающие изменение
объема. Для этого вводится в рассмотрение мера деформации (1), которая не
сопровождается изменением объема, в форме
2
Bˆ  J 3  B  .
 
Удельную потенциальную энергию деформации можно представить в виде двух
слагаемых, из которых первое зависит только от изменения объема, а второе – от
инвариантов введенных модифицированных мер деформаций. Например,
W  W0  J   W   I1Bˆ , I 2 Bˆ  .
3. Линеаризованные физические соотношения. Многие современные методики
расчета, основанные на шаговых процедурах (метод последовательных нагружений, метод
численного интегрирования по времени и др.), требуют построения линеаризованных
соотношений для приращений напряжений, которые вычисляются как материальные
производные от напряжений по времени.
Для соотношения (3), которое представляет собой квадратичную зависимость между
тензором напряжений Коши–Эйлера и мерой деформации Фингера, для скоростей
справедливо [2, 3]
    B     B  ,
(4)
В результате из (4) и (3) получаем физическое соотношение для производной
Трусделла в виде линейного уравнения
       h            h 
T
Tr
где
 Λ Σ    Λ Σ     Λ
0

,
       h            h 
T
Tr
 I1d         d  ,
  2W  
   B,
 BB 
     4 J  B   
(5)
  2W0 
Λ 0  4 J  B   
   B ,
 BB 
 
 I1d   – производная Трусделла тензора напряжений  Σ  .
4. Инкрементальный метод. Для решения нелинейной задачи используется
инкрементальный метод. Считается, что известно k -ое состояние, по которому нужно
найти  k  1 -ое состояние. В качестве базового уравнения используется уравнение
виртуальных мощностей, записанное для  k  1 шага
 
k 1
k 1
    k 1d  d    k 1 k 1 f   d  
k 1

tn   dS ,
k 1
(6)
Sk1
где k 1 – текущий объем; Sk1 – часть его поверхности, на которой заданы усилия,
k 1
f ,
t n – векторы массовых и поверхностных сил, k 1 – текущая плотность.
Переходя в уравнении (6) к приращениям, например, для напряжений запишем
 k 1     k      k  
k 1
и, имея в виду соотношение (5), получим, пренебрегая слагаемыми второго порядка,
разрешающее уравнение в приращениях
  d    
k
k
      d    k h    k      d  
k

  k     k h     d    k      k d    k      d  d  
T
(7)
  k   k f  k J   k f    d     k tn  k tn   k h   k tn  k J    dS .
k
Sk
Решив уравнение (7), получим вектор перемещений для текущего шага  k u   k xi ei ,
определяющий следующую конфигурацию
k 1
r  k r   ku .
Мера деформаций на каждом шаге вычисляется по формуле
k 1
T
 k 1 xi  x j
k 1
k 1
k 1
 B   F    F    k x  k x .
m
m
Напряженное состояние находится по соотношению (3). Далее процесс повторяется для
следующего шага.
5. Конечно-элементная дискретизация. В качестве базового в настоящей работе
используется произвольный восьмиузловой конечный элемент. Введем аппроксимацию
геометрии и скорости
k
xi  j    k xit N t  j  , ki  j    kit N t  j .
8
8
t 1
t 1
1
1  1t1 1  2t2 1  3t3  – функция формы, 1  1,2 ,3   1 ,
8
i t  1 – координаты соответствующих узлов в локальной системе координат, k xit –
координаты узлов (k – номер шага нагружения, i – номер проекции, t – номер узла в
элементе), k it – скорости узлов. В результате конечно-элементной дискретизации в
рамках полилинейной трехмерной изопараметрической аппроксимации на базе
восьмиузлового элемента из уравнения (7) получено уравнение для приращений
перемещений в узловых точках  k u
k
K ku   kP  kH .
6. Численный пример. В качестве примера рассмотрено следующее выражение
потенциала упругих деформаций

K
2
W   I1Bˆ  3   J  1 ,
2
2
K

2
где W0   J  1 , W  I1Bˆ    I1Bˆ  3 ,  – модуль сдвига, K – модуль объемного
2
2
расширения. Решена тестовая задача о плоской деформации квадратной полосы,
приводится сравнение с результатами [4]. Далее рассмотрено упругое деформирование
плиты под действием равномерного давления.
Таким образом, в работе с использованием левого тензора Коши–Грина построена
методика численного исследования гиперупругих слабо сжимаемых материалов, для
которых физические соотношения задаются с помощью упругого потенциала. Получены
линеаризованные определяющие соотношения и разрешающее уравнение. Численная
реализация основана на методе конечных элементов на базе восьмиузлового
полилинейного элемента. Решенные задачи демонстрируют работоспособность
полученной методики исследования нелинейно упругих задач.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 08-01-00546.
Здесь
N t  j  
ЛИТЕРАТУРА
1. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование
конечных деформаций гиперупругих тел. I. Кинематика и вариационные уравнения //
Ученые записки Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. – 2008. – Т. 150. – Кн. 1. – C. 29–37.
2. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование
конечных деформаций гиперупругих тел. II. Физические соотношения // Ученые записки
Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. – 2008.
– Т. 150. – Кн. 3. – C. 122–132.
3. Голованов А.И., Султанов Л.У. Математические модели вычислительной
нелинейной механики деформируемых сред. – Казань: Казанск. гос. ун-т, 2009. – 465 с.
4. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. –
1997. – 283 p.