Делимость натуральных чисел

§ 8. Делимость натуральных чисел
n  N :
Пример 8.1. Доказать, что при
1.
32 n 1  2 n  2
делится на 7;
n3  5 n
делится на 6;
33  23  27  8  35, делится на 7.
1. Теорема 1. При n = 1 имеем:
Теорема 2. Дано, что
делится на 7.
2.
32 k 1  2 k  2 делится на
7. Нужно доказать что
32 k  3  2 k  3
3 2 ( k 1)1  2 k 1 2  3 2 k 1  9  2 k  2  2  9  2 k  2  9  2 k  2 
Доказательство.


 9  32 k 1  2 k  2  2 k  2 (2  9) .
Каждое из этих двух слагаемых делится на 7.Теорема 2 доказана.
13  5  1  6.
2. Теорема 1. При n = 1 имеем:
Теорема 2. Дано, что
делится на 6.
Доказательство.
Сумма
k 3  5k
k 3  5k
делится на 6. Нужно доказать что
делится на 6 по предположению. Так как произведение k (k+1) при любом
3 k (k  1) делится на 6.
n  N :
Пример 8.2. Доказать, что при
15n  6 делится на
7;
2.
1. Теорема 1. При n = 1 имеем:
Теорема 2. Дано, что 15
Доказательство.

k
n 3  n делится на 3;
151  6  21. 21 делится на 7.
 6 делится на
7. Нужно доказать что 15
15k 1  6  15k  15  6   15  6



делится на 7
2. Теорема 1. При n = 1 имеем:
Теорема 2. Дано, что
делится на 3.
Доказательство.
k  k

3
делится на 3
k3  k
k 1
. Теорема 2 доказана.
делится на 7
13  1  0 . 0 делится на 3.
делится на 3. Нужно доказать что
(k  1) 3  (k  1)
(k  1) 3  (k  1)  k 3  3 k 2  3 k  1  k  1 


 k 2  k 3.

делится на 3
 6 делится на
=
 15 k  6  15  15  6  6  15 k  6  15  15  1  6

 

(k  1)3  5 (k  1)
(k  1)3  5 (k  1)  k 3  5 k  3 k (k  1)  6 .
натуральном k делится на 2, то
1.
6 делится на 6.
Теорема 2 доказана.
7.
Пример 8.3. Доказать, что для каждого натурального n
7
Теорема 1. При n = 1 имеем 1
n 7  n кратно 7.
 1  0 - кратно 7.
7
Теорема 2. Дано, что при n = k число k  k делится на 7. Доказать, что при
7
n = k+1 число ( k  1)  ( k  1) делится на 7.
Доказательство. Используя при n = 7 строку в треугольнике Паскаля для седьмой степени от
суммы (k+1), получим
(k  1) 7  (k  1)  k 7  7 k 6  21k 5  35 k 4  35 k 3  21k 2  7 k  1  k  1 

k7

k
делится на 7
 7 k 6  21k 5  35 k 4  35 k 3  21k 2  7 k .

делится на 7
Теорема 2 доказана.
Пример 8.4. Доказать, что для каждого натурального n
4 n  15 n
Доказательство. Условие задачи равносильно условию: число
Теорема 1. При n = 1 имеем
Теорема 2. Дано, что при n
k+1 число 4
k 1
делится на 9 с остатком 1.
4 n  15 n  1 кратно 9.
41  15  1  1  18 - кратно 9. Теорема 1 доказана.
=k
число
4 k  15 k  1 делится на 9. Доказать, что при n =
 15 (k  1)  1 делится на 9.
Доказательство.


4 k 1  15 (k  1)  1  4 4 k  15 k  1  15 k  1  15 (k  1)  1 




4 4 k  15 k  1  60 k  4  15 k  15  1  4 4 k  15 k  1  (45 k  18) .

 
 
делится на 9
Литература. Содержание
делится на 9