   

7 класс
Задание 4
1) Доказать, что a 5  a делится на 5 при любом a.




Решение. Разложим на множители a 5  a  a a 4  1  a  1aa  1 a 2  1 . Пусть b - остаток
от деления a на 5. Число b принимает одно из пяти значений: 0, 1, 2, 3, 4. Если b  0 ,то a
делится на 5. Если b  1 , то a  1 делится на 5. Если b  4 , то a  1 делится на 5. Если
b  2 или b  3 , то a 2 имеет при делении на b в остатке 4, а потом a 2  1 делится на 5.
Итак, при любом b один из сомножителей в данном разложении делится на 5.
xa  x 
10 x
 x  a  10 
, где a - действительное число. Определить
xa
xa
число решений уравнения в зависимости от значений параметра a.
2) Дано уравнение
Решение. При a  0 уравнение имеет бесконечно много решений: x - любое действительное
число неравное нулю. При x  a уравнение не имеет решений. При a  0 и x  a
уравнение имеет единственное решение: x  10  a.
3) Имеется металлический лом двух сплавов с содержание никеля 5 % и 40 %. Сколько
нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить 840 г сплава с содержанием никеля 30
%.
Решение. Пусть одного сплава взяли x г, тогда второго будет (840 – x) г. Чистого никеля в
x 5
840  x
840  30
 40 г, и в новом сплаве
первом сплаве
г, во втором
г. Отсюда имеем
100
100
100
5 x 40840  x  840  30


, x  8840  x   840  6,  7 x  2  840, x  240.
уравнение
100
100
100
Ответ: одного сплава нужно взять 240 г, другого – 600 г.
4) Найти значения a и b, при которых для любых значений x верно равенство:
3x
6x  1
ax  b

 2
.
x  2 2 x  1 2 x  3x  2
Решение. Приведем к общему знаменателю левую часть равенства и приравняем числители.
Получим: 6 x 2  3x  6 x 2  12 x  x  2  ax  b, 16 x  ax,  2  b. Имеем a  16, b  2.
Ответ: a  16, b  2.
5) Доказать, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.
Решение. Если предположить, что AD и BE в точке O делятся пополам, то ΔAOE = ΔDOB
(по первому признаку). В этом случае AO = BO (гипотенузы были бы равны). Но BO =OE
(по предположению). Значит, AO = OE, что невозможно (гипотенуза не равна катету), что и
требовалось доказать.
1
B
D
O
A
E
C
2