Программа курса «Вероятностные методы в комбинаторике»

Программа курса «Вероятностные методы в комбинаторике»
Базовый метод, линейность математического ожидания. Простейшая нижняя
оценка числа Рамсея. Свойство В: простая нижняя и наилучшая известная
верхняя оценки.
2. Альтернирование («малые вариации»). Уточнение нижней оценки числа
Рамсея. Оценка Бека для свойства В.
3. Метод второго момента. Теорема Харди–Рамануджана о числе делителей.
4. Метод моментов, пуассоновская аппроксимация. Распределение числа
треугольников в случайном графе.
5. Локальная лемма Ловаса: несимметричный и симметричный случаи.
Наилучшая известная нижняя оценка числа Рамсея. Свойство В для
гиперграфов с небольшой степенью вершины. Линейная древесность.
6. Мартингалы, неравенство Азумы. Мартингалы на случайных графах.
Теорема Шамира–Спенсера. Две теоремы Боллобаша о хроматическом числе
случайного графа.
7. Числа Рамсея в комбинаторной геометрии (дистанционные графы).
8. Неравенство Талаграна. Применение в задаче о максимальном числе
пореберно
непересекающихся
клик.
Алгоритм
Кривелевича–Ву
приближенного отыскания числа независимости графа.
9. Задача об отклонении. Простая верхняя оценка. Верхняя оценка с помощью
энтропии. Нижние оценки (вероятностная и через Адамара).
10. Число независимости и кликовое число дистанционного графа специального
вида (линейно-алгебраический метод). Конструктивные нижние оценки
Франкла–Уилсона для чисел Рамсея. Хроматические числа пространств.
11. Случайный веб-граф. Теорема о диаметре (б/д) и теорема о распределении
степеней вершин (б/д в общем случае, но с доказательством в случае m=1).
1.