Программа курса «Дискретный анализ: 2 семестр»

Программа курса «Дискретный анализ: 2 семестр»
1. Числа Рамсея R(s,t): точные значения для s = 1, 2 и разных пар «малых»
s,t; верхняя оценка Эрдеша – Секереша (рекурсия), ее следствие для
недиагональных и диагональных чисел Рамсея, уточнение Конлона
(б/д); нижняя оценка диагональных чисел с помощью простого
вероятностного метода. Локальная лемма Ловаса: симметричный
случай, вывод из него наилучшей нижней оценки диагонального числа
Рамсея (теорема Спенсера), орграфы зависимостей с примерами,
несимметричный случай ЛЛЛ, вывод из него симметричного случая и
доказательство его самого; вывод из несимметричного случая нижней
оценки для R(3,t): нужно доказывать, что параметры удовлетворяют
системе неравенств, но не нужно объяснять, почему еще лучших
параметров не бывает; самые точные известные оценки для R(3,t)
(б/д). Конструктивная нижняя оценка Франкла – Уилсона. Замечание о
распределении простых в натуральном ряде и его роли в аккуратном
доказательстве оценки. Числа Рамсея R_k(l_1, …, l_r) и их верхняя
оценка (рекурсия). Следствие из этой рекурсии для R_3(s,t). Нижняя
вероятностная оценка для R_3(s,s). Двудольные числа Рамсея b(s,t):
нижние оценки простым вероятностным методом и с помощью ЛЛЛ;
их отличие от аналогичных нижних оценок для R(s,t); верхняя оценка
Конлона:
лемма
с
конкретными
l,m,r,s;
ее
аналог
с
последовательностями; доказательство теоремы без слишком
детальной возни с бесконечно малыми, но с пониманием, где эта
возня нужна.
2. Системы общих представителей (с.о.п.). «Тривиальные» нижние и
верхние оценки. Верхняя оценка с помощью жадного алгоритма.
Теорема о конструктивной нижней оценке. Вероятностная нижняя
оценка. Следствие из нее. Нижняя оценка с помощью обобщенных
с.о.п. Соотношения между полученными результатами.
3. С.о.п. в геометрии (теорема о треугольниках на плоскости).
Размерность
Вапника–Червоненкиса.
Подсчет
размерности
пространства (R^n,H): теорема Радона (б/д). Лемма о числе областей в
пространстве заданной мощности и размерности. Лемма о
размерности измельчения (с не очень подробными выкладками).
Эпсилон-сети. Теорема Вапника – Червоненкиса об эпсилон-сетях (две
леммы и – с не слишком подробными выкладками – завершение
доказательства) и теорема о треугольниках как частный случай.
Приложения в статистике: равномерная сходимость в ЗБЧ (УЗБЧ) и
теорема Гливенко – Кантелли как частный случай.
4. Матрицы
Адамара.
Нормализация.
Необходимое
условие
существования. Гипотеза Адамара. Неудачная попытка построить
матрицу Адамара «строча за строчкой». Достаточное условие
существования. Теорема о плотности порядков матрицы Адамара в
натуральном ряде (б/д). Интерпретация в терминах дистанционного
графа, возникающего в теореме Франкла – Уилсона (клики и
независимые множества). Приложения к задаче о раскраске
гиперграфа: определение уклонения, верхняя оценка вида \sqrt{2n
ln(2s)} с д-вом и оценка вида 6\sqrt{n} (б/д), нижняя оценка с помощью
матриц Адамара.