2 - Санкт-Петербургский промышленно

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Санкт-Петербургское государственное бюджетное
образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Промышленно-экономический колледж»
Заочное отделение
Специальность 080114.51: Экономика и
бухгалтерский учет (по отраслям)
(номер
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
по дисциплине
Математика
(название)
студента группы
32202
зачетная книжка № 13-2-072
ФИО студента
Смирнов Степан Тхинхович
Адрес
_________________________________
E-mail:
[email protected]
телефон:
89643387594
2014 год
название)
ВАРИАНТ 2
1. Вычислить пределы функций:
3х  5  х  1
( 3 х  5  х  1)( 3 х  5  х  1)
1. lim
 lim

2
x 3
x 3
х 9
( х  3)( x  3)( 3 х  5  х  1)
(2 x  6)
2
 lim
 lim
 1/12
x 3 ( х  3)( x  3)( 3 х  5 
х  1) x3 ( x  3)( 3 х  5  х  1)
5 x  2 x3  3
5 / х 2  2  3 / x3
1
2. lim
 lim

x  3  4 x 3  2 х 2
x  3 / x 3  4  2 / x
2
cos 3x  1
(1  9 x 2 / 2)  1
9

lim

2
2
x 0
x 0
2x
2x
4
3. lim
 x2
 2
4. lim 
 lim 1    e 6

x 
x 
 x 
 x
3x
3x
2. Построить график функции, определив вид точек разрыва:

 х  5 при х  3

3

f ( x)  2  при  3  х  0
х

2

при х  0

 x 1
Исследуем точки х=-3 и х=0 на наличие разрывов:
lim f ( x)  lim ( x  5)  2, lim f ( x)  lim (2  3 / x)  1 - в точке х=-3 разрыв первого
x 3 0
x 3 0
x 3 0
x 3 0
рода – скачок
lim f ( x)  lim (2  3 / x)  , lim f ( x)  lim (
x 0
x 0
Строим график:
x 0
x 0
2
)  2 - в точке х=0 разрыв 2-го рода.
x 1
3. Найти производные функций:
1) f ( x)  3x 4 
2 х
 8 2) f ( x) 
х x
4) f ( x)  (2 x  1) ln x 2  2

f '  12 x3 
2 x3/2 

5  2 cos 5 x
2  3 cos 2 x


3) f ( x)  3 x  4 ctg
x
3
3
x (2  х)
2
х3
1)
f '
(10sin 5 x)(2  3cos 2 x)  (6sin 2 x)(5  2cos 5 x)
(2  3cos 2 x) 2
2)
1





x
f '  3x ln 3ctg   3x  4   2 3

3
 sin ( x / 3) 
3)




4) f '  2 ln x  2 
2
(2 x  1)
2x
 x2  2
2 x  5 y  4 z  7

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера  3x  y  2 z  10
 x  4 y  3z  2

По формулам Крамера решение системы x  1 / , y   2 / , z  3 / 
Найдем определитель системы
2
5
 3 1
1 4
4
2  6  48  10  4  16  45  39
3
Остальные определители получаем при замене и-го столбца на столбец
свободных коэффициентов.
Найдем
7
5
4
1  10
2
1
4
2  21  160  20  8  56  150  39
3
2 7 4
 2  3 10
1 2
2
5
2  60  24  14  40  8  63  117
3
7
3  3 1 10  4  84  50  7  80  30  195
1 4 2
Тогда получим
x  1 /   1, y   2 /   3, z  3 /   5
5. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй
производным и построить график функции f(x)= x3 – 3x2 – 24х +6.
1. Область определения - x  (, ) , точек разрыва нет.
2. Область значений - y  (, ) .
3. функция общего вида, пересекает оси координат в точках (0, 6), (-3.78, 0),
(0.24, 0) и (6.53, 0).
4. интервалы монотонности:
y  3 x 2  6 x  24  0
Корни х=-2, х=4.
Поскольку производная меньше нуля на интервала (-2, 4), функция убывает
на этом интервале и возрастает на остальной области определения.
Х=-2 – максимум, х=4 – минимум.
5. интервалы выпуклости, вогнутости.
y  6 x  6  0
Корень х=1 – точка перегиба.
Ищем знак второй производной на интервалах:
6. Асимптоты.
Вертикальных нет – нет точек разрыва.
Поскольку
lim y ( x)   , и lim y ( x ) / x   горизонтальных и наклонной асимптоты
x
нет.
7. строим график:
x
6. Найти интегралы:
6
3
12


1)   3x 4  2
 2 dx    3x 4  6 x 5/2  2 dx  x5  x 7/2  2 x  C
5
7
x x


2)
соsx  dx
  5  2sin x 

4

d sin x
 5  2sin x 

4

1 d (5  2sin x)
1

C
4
3

2  5  2sin x 
6  5  2sin x 

(1  2ctgx)
12
(1  2ctgx) 4
3
3
dx   (1  2ctgx) d (ctgx)   (1  2ctgx) d (1  2ctgx) 
3) 
sin 2 x
2
8


2
4
3
2
4
4

2

4
0