Направление ПМИ

ПРОГРАММА ПО КУРСУ
"ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА"
НАПРАВЛЕНИЕ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель курса - освоение студентами фундаментальных знаний в области приближенного
решения краевых задач и математического моделирования, изучение современных методов
дискретизации дифференциальных уравнений и областей их практического применения.
Задачами данного курса являются:
 формирование базовых знаний в области дискретизации дифференциальных уравнений
и математического моделирования как дисциплин, обеспечивающей технологические
основы современных инновационных сфер деятельности;
 обучение студентов двум классам современных методов дискретизации и ознакомление
с их приложениями;
 формирование подходов к выполнению исследований студентами по математическому
моделированию в рамках выпускных работ на степень магистра.
Развернутые темы и вопросы по разделам
№
Разделы и темы
п/п
1 Приближение функций
2
Численное
интегрирование
3
Интегрирование
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
4
Содержание
Принцип максимального объема, теорема о выборе
интерполяционных узлов. Интерполяция многочленами на
отрезке, форма Лагранжа. Обусловленность матрицы
Вандермонда. Разделенные разности, форма Ньютона,
погрешность интерполяции. Барицентрическая форма
интерполяционного многочлена. Вариационное свойство
естественных сплайнов, погрешность сплайн-интерполяции,
квазилокальность (на примере кубических сплайнов). Основные
свойства B-сплайнов. Пример Фабера. Кривые последовательного
деления. Ортогональные, биортогональные всплескпреобразования, адаптация всплеск-преобразований (лифтинг).
Интерполяционные квадратурные формулы; формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона. Ортогональные
многочлены, трехчленные соотношения, механическая квадратура
Гаусса-Якоби. Экстраполяция Ричардсона. Адаптивные формулы,
правило Рунге. Интегрирование функций с особенностями.
Интегрирование быстроосциллирующих функций.
Одношаговые явные методы: Эйлера, Рунге-Кутты; неявные
методы: Эйлера, Кранка-Николсон. Полиномиальный метод
Ланцоша. Схема Нумерова. Многошаговые, многозначные
методы: Адамса, Гира. Краевые задачи. Жесткие системы. Метод
прогонки. Теорема Филиппова. Устойчивость явных и неявных
схем.
Конечные разности. Компактные (Паде-) приближения. Метод
априорных оценок, неравенство Пуанкаре. Спектральный признак
уравнений с частными
устойчивости. Принцип замороженных коэффициентов.
Интегрирование
Исследование устойчивости простейших схем для уравнения
теплопроводности в нормах C, L2 . Коллокация. Конечные
элементы. Проекционная теорема, оценка точности для кусочнолинейного базиса.
Нелинейные уравнения и Итерационные методы поиска корней нелинейных уравнений.
Метод Ньютона. Метод секущих. Отделение корней.
задачи минимизации
Комплексные корни. Метод Андерсона. Поиск экстремума,
одномерная и многомерная минимизация. Релаксация, дробление
шага. Метод скорейшего спуска. Квазиньютоновские методы,
формула BFGS.
производными
5
6
7
Прямые методы решения Треугольное разложение матриц. Итерации подпространств,
понятие о QR- и LR- алгоритмах. Сходимость к верхнелинейных систем и задач
треугольному виду для матриц с простым спектром. Сдвиги,
на собственные значения ускорение сходимости. Теорема о численной неустойчивости
жордановой структуры. Сингулярное разложение.
Итерационные методы
приближенного решения Подпространства Крылова. Метод Ланцоша, метод Арнольди.
Приближения собственных подпространств, сходимость чисел
линейных
систем
и Ритца. Частичные спектральные задачи. Нелинейная сходимость
частичных спектральных метода сопряженных градиентов, метода минимальных невязок.
задач
Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена в 5-ом
семестре:
1. Принцип максимального объема, теорема о выборе интерполяционных узлов.
2. Интерполяция многочленами на отрезке, формулы Лагранжа, Ньютона, Рутисхаузера
(барицентрическая).
3. Обусловленность матрицы Вандермонда. Разделенные разности.Теорема о погрешности
полиномиальной интерполяции.
4. Вариационное свойство естественных сплайнов, погрешность сплайн-интерполяции.
5. Квазилокальность сплайнов (на примере естественных кубических сплайнов).
6. Интерполяционные квадратурные формулы; формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона. Погрешность интерполяционных формул.
7. Ортогональные многочлены, трехчленные соотношения, квадратура Гаусса-Якоби. Связь
алгебраической точности и погрешности квадратурной формулы.
8. Экстраполяция Ричардсона. Адаптивные формулы, правило Рунге.
9. Одношаговые явные методы (Эйлера, Рунге-Кутты), неявные методы (Эйлера, КранкаНиколсон). Теорема Филиппова.
10. Жесткие системы. Метод интегрирования В.И.Лебедева. Неравенство Маркова.
11. Метод априорных оценок, неравенство Пуанкаре. Спектральный признак устойчивости.
12. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Главные и естественные краевые
условия. Проекционная теорема.
13. Итерационные методы поиска корней: метод простой итерации, метод Ньютона, метод
секущих, формула Бройдена.
14. Итерационные методы минимизации функционалов: градиентные методы, условие
релаксации, правило дробления шага (Армихо). Метод скорейшего спуска, метод
сопряженных градиентов.
15. Подпространства Крылова, метод сопряженных градиентов для систем с положительно
определенной симметричной матрицей. Связь с методом Ланцоша.
16. Метод минимальных невязок, геометрическая и алгебраическая версии. Связь с методом
Арнольди.
17. Спектральная теория сходимости Крыловских методов. Обоснование сверхлинейной
сходимости.
Основная литература.
Федоренко Р.П. « Введение в вычислительную физику». М.: Изд. МФТИ, 1994.
Тыртышников Е.Е. «Методы численного анализа». М.: Изд. центр «Академия», 2007.
Чижонков Е.В. « Лекции по курсу «Численные методы». М.: Мехмат МГУ, 2006.
Деммель Дж. «Вычислительная линейная алгебра». М.: Мир, 2001.
Saad Y. «Iterative methods for sparse linear systems». SIAM, Philadelphia, 2003.
Saad Y. «Numerical methods for large eigenvalue problems». Revised Edition, SIAM, Philadelphia,
2011.
Strang G. «Introduction to linear algebra». Fourth edition. SIAM, Philadelphia, 2009.
Дополнительная литература.
Strang G., Fix G. “An Analysis of the Finite Element Method”. Second Edition. SIAM, Philadelphia,
2008.
Пособия и методические указания.
Чижонков Е.В. « Лекции по курсу «Численные методы». М.: Мехмат МГУ, 2006.
Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и . т.д.
http://www-users.cs.umn.edu/~saad/
http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/
http://www-math.mit.edu/~gs/