  Приложение 1 I. Уравнения, неравенства и системы, содержащие модули.

Приложение 1
I. Уравнения, неравенства и системы, содержащие модули.
Задача № 1. При каких значениях a система неравенств
 x 2  y 2  2ay  a 2  1
имеет ровно два решения ?

 y  a  x
Решение:


 x 2   y  a 2  1
или 
 y  a  x
 x 2  y 2  2ay  a 2  1

 y  a  x
Решением первого неравенства является все точки внутри окружности (с
границей) радиусом 1 с центром в точке А 0; a  . Множество решений второго
неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y  x  a . Чтобы
система имела ровно два решения, окружность должна касаться графика в двух
точках (рис.18).
Y
y=|x|-a
A(0;a)
45,0°
O
X
K
B
C(0;-a)
Рис.6
Так как угловой коэффициент графика функции y  x  a равен 1, то угол наклона
˚
графика равен arctg1, т.е. 45 Так как радиус окружности, опущенный в точку
касания, перпендикулярен касательной, то
˚
90 , значит,
˚
˚
ABC = 90 .
OKC = 45
˚,
КОС =
ВАС = 45 . Тогда СВ = АВ = 1 (как радиус единичной окружности).
По теореме Пифагора из треугольника АВС:
AC 2  AB 2  BC 2
AC 2  2
AC  2
Очевидно, что a  0,5 AC 
Ответ: a 
2
2
2
.
2
II. Иррациональные уравнения, неравенства и системы.
Задача № 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди
решений неравенства х  4а  5 ах нет ни одной точки отрезка 7;96 .
Решение:
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из
них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка 7;96 . Пусть
ах  t 2
t  ах  
. При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется
t

0

автоматически.
Видно, что х можно выразить через t, если а  0 . Поэтому случай, когда а = 0,
рассмотрим отдельно.
1) Пусть а = 0, тогда х  4а  5 ах  х  0 , и заданный отрезок является
решением.
t2
2) Пусть а  0 , тогда х 
и неравенство х  4а  5 ах примет вид
а
t  0
 2
.
 t  5аt  4a 2

0

а

Теперь видно, что решение неравенства зависит от знака а, поэтому придется
рассматривать два случая:
а) Если а  0 , то
t 2  5аt  4a 2
 0  t 2  5аt  4a 2  0  t  0; а   4а; ,
а
или, в старых переменных,
0  ах  a  0  x  a,

 ах  4a  х  16a.
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка 7;96 тогда и только
тогда, когда выполнены условия
а  7,
 а  6;7 .

16а  96
0
a
7
96
Рис.7
16a
x
б) Если а  0 , то
t 2  5аt  4a 2
 0  t 2  5аt  4a 2  0  t  4а; а   t ø,
а
Т.к. t  0 .
Ответ: 6;7.