Утверждена на заседании Ученого совета математико

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«12» мая 2011 г.
Программа вступительного экзамена
по специальности 01.01.02
«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное
управление»
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического
факультета СПбГУ, протокол № 5 от 12.05.2011г.
Программа утверждена на заседании
кафедры дифференциальных
уравнений
протокол № 9
от «12» мая 2011 г.
Заведующий кафедрой,
Плисс В.А.
Санкт-Петербург
2011
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
1. Теорема Пеано.
2. Теорема о сходимости ломаных Эйлера в случае единственности.
3. Понятие интеграла уравнения первого порядка в симметричной форме.
4. Уравнение в полных дифференциалах.
5. Интегрирующий множитель.
6. Линейное уравнение 1-го порядка.
7. Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно
старших производных. Приведение к нормальной системе. Задача Коши.
8. Векторная запись нормальной системы. Геометрическое и механическое
истолкование.
9. Условие Липшица. Лемма о связи локального и глобального условий
Липшица.
10. Лемма о связи условия Липшица с дифференцируемостью.
11. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче Коши.
12. Метод последовательных приближений Пикара. Сходимость.
13. Теорема существования Пикара.
14. Лемма Гронуолла.
15. Теорема единственности.
16. Необходимое и достаточное условие продолжимости решения.
17. Максимальный промежуток задания.
18. Поведение решений при приближении к границе максимального
промежутка задания. Случай ограниченных правых частей.
19. Поведение решений при приближении к границе максимального
промежутка задания. Общий случай.
20. Продолжимость решений систем, сравнимых с линейными.
21. Интеграл системы дифференциальных уравнений. Постоянство
его вдоль решения.
22. Независимые интегралы. Понижение порядка системы с помощью
промежуточных интегралов.
23. Полный интеграл системы, его свойства.
24. Существование полного интеграла.
25. Линейные однородные уравнения. Определение, основное свойство.
26. Линейно независимые решения линейного однородного уравнения.
Вронскиан.
27. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.
28. Линейные неоднородные уравнения.
29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
30. Линейные однородные системы. Основное свойство.
31. Линейно независимые решения линейной однородной системы.
32. Фундаментальная система решений линейной однородной системы.
Общее решение.
33. Общее выражение для фундаментальной матрицы. Формула Лиувилля.
34. Линейные неоднородные системы.
35. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера.
36. Аналитические функции от матриц. Радиус сходимости.
37. Аналитичность функции от подобных матриц.
38. Определение и свойства функции exp A.
39. Структура матрицы exp{At}.
40. Лемма о сравнении решений двух систем.
41. Теорема об интегральной непрерывности.
42. Решение, удовлетворяющее условию Липшица по начальным данным.
43. Непрерывность фундаментальной матрицы решений линейной системы
по параметрам.
44. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам.
45. Теорема Коши об аналитичности решений по аргументу.
46. Теорема Коши для линейных систем.
47. Автономные системы.
48. Теоремы об устойчивости линейных систем.
49. Оценка матрицы exp{At}.
50. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
I. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Введение
Линейные системы. Существование, единственность, продолжимость
решения задачи Коши. Связь между интегральными матрицами.
Сопряженная система, ее интегральная матрица. Матрицант, его
свойства, аналитичность по параметру. Структура вещественной
интегральной матрицы в случае вещественной автономной системы.
Системы с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии,
мультипликаторы, теория Флоке, вычисление мультипликаторов методом
разложения в ряд по параметру, мультипликаторы сопряженной системы.
Характеристические
показатели Ляпунова
Определение и свойства показателя. Показатель суммы, произведения,
линейной комбинации конечного числа функций. Строгий показатель,
признак его существования. Показатель интеграла Ляпунова. Показатель
функциональных матриц.
Показатели решений линейных систем
с ограниченными коэффициентами
Теорема о конечности показателей нетривиальных решений. Признак
линейной независимости решений. Спектр системы. Лемма о вычислении
показателя по целочисленным последовательностям. Нормальные
фундаментальные системы, признак нормальности. Неравенство Ляпунова
для суммы характеристических показателей.
Приводимые системы
Преобразование Ляпунова, его свойства. Теорема Еругина о
приводимости систем с периодическими коэффициентами. Приводимость
к системе с нулевой матрицей. Понятие почти приводимости. Его
свойства. Почти приводимость линейной системы к вещественной
диагональной.
Правильные системы
Определение правильности линейной системы, признак.
Правильность систем, приводимых к системам с постоянными
коэффициентами. Признак правильности Перрона. Коэффициенты
неправильности Ляпунова, Перрона, Гробмана. Структура
интегральной матрицы правильной системы.
Системы с периодическими
коэффициентами
Гамильтоновы системы. Однородные омега-периодические системы.
Нормальные решения, условия существования омега-периодических и
анти-омега-периодических решений. Неоднородные омега-периодические
системы. Условия существования единственного омега-периодического
решения. Существование омега-периодического решения в случае наличия
таковых у однородной системы. Теорема Массера. Существование омега-
периодического решения у системы с малой нелинейностью.
Канонические системы. Их свойства, свойства решений. Возвратность
характеристического уравнения системы с периодическими коэффициентами.
Системы, инвариантные относительно обращения времени.
Устойчивость линейных систем
Теоремы об устойчивости линейных неоднородных систем.
Связь между устойчивостью и ограниченностью решений однородных
систем, признак асимптотической устойчивости в терминах показателей.
Асимптотическая устойчивость систем Лаппо-Данилевского. Влияние
линейного возмущения на свойство устойчивости. Теорема о сохранении
устойчивости, о сохранении асимптотической устойчивости, о совпаении
множеств храктеристических показателей исходной и возмущенной систем.
Метод малого параметра оценки характеристических показателей системы.
Принцип линейного включения.
Центральные показатели
Оценки характеричтиеских показателей линейной системы. Понятие о
верхнем и нижнем центральных показателях. Оценка Важевского. Оценки
Лозинского. Оценка Алексеева. Теорема Винограда о границах подвижности
крайних показателей. Теорема Миллионщикова о достижимости центральных
показателей.
Устойчивость характеристических показателей
Определение. Теорема о достаточном условии устойчивости.
Устойчивость показателей автономных и приводимых к автономным
систем. Условие совпадения показателей исходной и возмущенной
систем. Теорема Былова-Изобова-Миллионщикова. Коэффициентный
признак Изобова устойчивости показателей системы второго порядка.
Уравнение Хилла
Постоянная Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости
уравнеия Хилла. Теорема о неустойчивости. Понятие о
параметрическом резонансе.
II. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
Основные понятия и определения. Оператор Ляпунова.
Функции Ляпунова. Основные теоремы второго метода Ляпунова.
Функции Ляпунова линейных систем. Устойчивость по первому
приближению. Первый метод Ляпунова. Теорема о разложении решений.
Устойчивая и неустойчивая инвариантные поверхности.
Линеаризация автономной системы. Ее нормальная форма.
Нормальная форма на инвариантной поверхности. Формальная и
аналитическая эквивалентность.
Аналитические семейства периодических решений.
Системы с интегралом.
Бифуркация периодических решений из положения равновесия.
Квазинормальная форма. Формальная и аналитическая эквивалентность.
Принцип сведения.
Критический случай одного нулевого корня. Критический случай
пары чисто мнимых корней. Алгебраический и трансцендентный случаи.
Устойчивость периодических решений периодических и автономных
систем.
III. ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ
Пространства динамических систем.
Гиперболичность.
Условия грубости.
Системы Морса-Смейла.
Аксиома A.
IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
Предварительные сведения из теоии аналитических функций.
Аналитическое продолжение решений. Отсутствие подвижных особенностей
у решений линейных систем.
Изолированные особенности линейных систем
Структура фундаментальной матрицы в окрестности изолированной
особенности. Регулярные и иррегулярные особенности. Критерий
регулярности.
Регулярные особенности
Построение фундаментальной матрицы. Формальные решения.
Структура фундаментальной матрицы в случае особенности n-го
порядка. Срезающее преобразование. Регулярные особенности
линейных уравнений. Уравнения класса Фукса. Схемы Римана и
Гаусса.
Иррегулярные особенности
Сведения из теории асимптотических рядов. Построение
формальных решений. Асимптотические разложения решений.
Явление Стокса.
V. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Общая теория динамических систем
Некоторые сведения из теории автономных систем дифференциальных
уравнений. Определение общей динамической системы. Основная
классификация движений и траекторий. Предельные множества
траекторий. Устойчивость по Лагранжу. Классификация траекторий
по свойствам предельных множеств.
Теория Пуанкаре-Бендиксона
Векторное поле, индуцированное динамической системой на
гладком многообразии. Теория трансверсалей. "Прямоугольник"
траекторий и его свойства. Контур Бендиксона. Отсутсвие
замкнутых устойчивых по Пуассону траекторий на Rќ, R x S,
Sќ и др. жордановых многообразиях. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Принцип кольца. Сосуществование замкнутых траекторий и точек
покоя. Теорема о еже (на Sќ).
Поведение траекторий в окрестности изолированной точки
покоя (общая теория). Классификация точек покоя. Продолжение
траектории за состояние равновесия. Уточнение структуры
предельных множеств, содержащих незамкнутые траектории.
Теория циклов. Функция последования Пуанкаре. Связь
неподвижных точек функции последования с замкнутыми
траекториями. Характеристический показатель замкнутой
траектории. Критерий ее устойчивости. Критерий Бендиксона
об отсутствии замкнутых траекторий.
Свободные колебания
Уравнения Льенара. Поведение и устойчивость его
предельного цикла при воздействии параметра. Уравнение
Левинсона-Смита.
Траектории на торе
Число вращения. Зависимость природы числа вращения от
наличия замкнутой траектории. Поведение траекторий при
рациональном и иррациональном числах вращения. Теорема
Данжуа.
V. ЛОКАЛЬНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Исключительные направления, нормальные области, проблемы
различения Фроммера.
Квазилинейные системы.
Проблема центра и фокуса.
Поведение траекторий на бесконечности.
Разрешение сложных особенностей аналитических систем.
Окрестность изолированной особой точки в R^n, n ™ 3.
Метод "раздувания" особенности. Теоремы Гомори.
Однородные системы.
VI. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Периодические решения
Периодические решения периодических систем дифференциальных
уравнений. Решения с несоизмеримыми периодами. Теорема
Курцвейля-Еругина.
Метод Пуанкаре в теории пеиодических решений.
Нерезонансный случай.
Резонансный случай.
Метод осредненияв теории периодических колебаний.
Случай автономных систем. Зависимость периода от
параметров и положения.
Ограниченные решения
Квазилинейные системы.
Устойчивые ограниченные решения.
Седловые ограниченные решения.
Необходимые и достаточные уловия существования ограниченных
решений у систем с произвольной матрицей первого приближения.
Интегральные многообразия
Понятие интегрального множества и интегрального многообразия.
Теорема Ляпунова-Перрона.
Интегральные многообразия автономных и периодических систем.
Теорема Крылова-Боголюбова и ее обобщения.
Дифференциальные свойства интегральных многообразий.
Устойчивость интегральных многообразий.
Периодическое возмущение цикла автономной системы.
Теорема Левинсона.
Принцип сведения в теории устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем
дифференциальных уравнений. Издательство Санкт-Петербургского
университета, 1992.
2. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.
"Вышэйшая школа". Минск, 1979.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.
Качественная теория динамических систем второго порядка.
М., Наука, 1967.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.
М., Наука, 1967.
5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений. М., 1954.
7. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
Высшая школа, М., 1991 (с грифом Мин-ва).
8. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их
бифуркации. Монография. Издательство Ленинградского
университета, Л., 1991.
9. Бибиков Ю.Н. Дифференциальные уравнения на гладких многообразиях.
Издательство Санкт-Петербургского университета. СПб, 1995 (с грифом).
10. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
уравнений. М., 1979.
11. Былов Б.Ф. и др. Теория показателей Ляпунова.
М., 1966.
12. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968.
13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.
14. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.-Л., 1950.
15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.
М., 1967.
16. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., 1958.
17. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
М., ИЛ, 1961.
18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.
М.-Л., 1950.
19. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.
М., 1956.
20. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.
М., 1966.
21. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М., 1949.
22. З.Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М., 1975.
23. Ж.Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем.
Введение. М., 1986.
24. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений.
Л., 1988.
25. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом.
Издательство Ленинградского университета. Л., 1958.
26. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.,
Наука, 1964.
27. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем
дифференциальных уравнений. М., 1977.
28. А.Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. М.-Л., 1947.
29. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных
уравнений. Рига, 1971.
30. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970.
31. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи
математических наук, 1970. Т.25, N 1.
32. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.
33. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами. М., 1972.
ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ЧЛЕН-КОРРЕСПОНДЕНТ РАН,
профессор
В.А.Плисс