Вводный курс математики - Основные образовательные
реклама
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г.Ишиме УТВЕРЖДАЮ Директор филиала ______________ /Шилов С.П./ 20.11.2014 ВВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения 1 ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от 20.11.2014 Содержание: УМК по дисциплине Вводный курс математики Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения Автор(-ы): Кашлач И.Ф. Должность Заведующий кафедрой физикоматематических дисциплин и профессиональнотехнологического образования Председатель УМС филиала ТюмГУ в г.Ишиме Начальник ОИБО ФИО Мамонтова Т.С. Дата согласования Результат согласования Примечание 16.10.2014 Рекомендовано к электронному изданию Протокол заседания кафедры от 16.10.2015 №2 Протокол заседания УМС от 11.11.2015 №3 Поливаев А.Г. 11.11.2014 Согласовано Гудилова Л.Б. 20.11.2014 Согласовано 2 РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г. Ишиме Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования Кашлач Ирина Федоровна ВВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения Тюменский государственный университет 2014 3 Кашлач И.Ф. УМК по дисциплине Вводный курс математики Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения. Тюмень, 2014. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Вводный курс математики [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой © Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014. © Кашлач И.Ф., 2014. 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова" УТВЕРЖДАЮ Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ им. П.П. Ершова» _______________ С.П. Шилов «___» ______________ 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ФТД.1 ВВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ 050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика Ишим 2011 5 ПРИНЯТО На заседании кафедры математики, информатики и МП Протокол № 2 от «20» октября 2011 г. Зав. кафедрой _______________ Т.С. Мамонтова роспись И.О.Ф. зав. кафедрой ОДОБРЕНО На заседании УМК факультета Протокол № 2 от «22» октября 2011 г. Председатель УМК _______________ ____Е.В. Ермакова__ роспись И.О.Ф. председателя СОГЛАСОВАНО «23» октября 2011 г. Начальник ОИБО _______________ ___Л.Б. Гудилова___ роспись И.О.Ф. начальника ОИБО ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г. РАЗРАБОТАНА доцент И.Ф. Кашлач______________________________ (наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей группы и ее члены) РЕЦЕНЗЕНТЫ Столбов В.Н., канд. ф.-м. наук, доцент____________________________ (Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность) Мамонтова Т.С., канд. пед. наук, доцент__________________________ (Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность) Периодичность ПЕРЕСМОТРА - 1 раз в год 6 Содержание I. Программа дисциплины …………………………………………………………………… 1. Выписка из ГОС ВПО ……………………………………………………………… 2. Введение………………………………………………................................................. 2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины……….................... 2.2. Требования к уровню освоения дисциплины …………………………….. 2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………... 2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………... II. Содержание дисциплины ……………………………………………………………......... 1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий…………………………………… 2. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………….. III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов…………………… 1. Организация аудиторной работы студентов …………………………………..... 1.1. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним……. 2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………... 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..………. 3.1. Основная литература……………………………………………………….. 3.2. Дополнительная литература……………………………………………….. 3.3. Электронные ресурсы ……………………………………………………… 4. Методические рекомендации для преподавателя ……………………………… 5. Методические рекомендации для студента ……………………………………… IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ……………………………… 1. Варианты контрольных работ …………………………………………………….. 2. Вопросы к зачету……………………………………………………………….…… V. Терминологический минимум ……………………………………………………………. 1. Основные термины и понятия курса …………………………………………….. 4 4 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 40 41 41 41 41 42 42 42 42 45 45 45 7 I. Программа дисциплины 1. Выписка из Учебного плана В соответствии с Учебным планом специальности 050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика дисциплина «Вводный курс математики» относится к факультативным дисциплинам. 2. Введение Дисциплина «Вводный курс математики» призвана решить задачу подготовки студентов физико-математического факультета по специальности «Математика» к преподаванию математики в средней общеобразовательной школе с учетом уровневой и профильной дифференциаций математического образования. 2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины Целью освоения дисциплины «Вводный курс математики» является повторение и систематизация основных теоретических вопросов школьного курса математики; продолжение формирования навыков тождественных преобразований, решения уравнений и неравенств; формирование минимума логических и теоретико-множественных знаний и умений, формирование общего культурного уровня в области элементарной математики, формирование первичных методических установок по обучению школьников решению задач. Изучение курса должно выработать у студентов интерес к вопросам элементарной математики. Задачи преподавания и изучения дисциплины: - Повторить основные вопросы школьного курса математики, необходимые для изучения математических дисциплин в вузе; - Систематизировать основные методы решения уравнений, неравенств, тождественных преобразований т.д. - Раскрыть основные понятия школьного курса математики с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей. - Создать содержательную основу для: а) работы в школе по различным учебникам математики; б) работы в классах различной профильной направленности и индивидуальной работы с учащимися; в) проведения со школьниками кружков, спецкурсов, факультативных занятий по математике. 2.2. Требования к уровню освоения дисциплины. После изучения дисциплины «Вводный курс математики» знает: - основные понятия курса элементарной математики; - основные методы элементарной математики; - современные направления развития элементарной математики и их приложения; - литературу по элементарной математике (учебники и сборники задач, книги и т.д.); умеет: - использовать теоретический материал для решения прикладных задач; - решать типовые задачи в указанной предметной области; владеет: - владеет культурой математического мышления; - логической и алгоритмической культурой; - способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами; - реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем; - пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания; - владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики; 8 2.3. Требования к организации дисциплины Дисциплина «Вводный курс математики» предусматривает проведение практических, систему индивидуальных заданий, самостоятельных работ. Основное содержание занятий – рассмотрение существенных вопросов и методов решения задач школьной математики. Самостоятельная работа студентов заключается в подготовке к занятиям; контрольным работам и т.д. Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде домашних самостоятельных работ, аудиторных входных и итоговых контрольных работ, зачета. 2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы Таблица 1 Вид учебной деятельности Общая трудоемкость дисциплины Аудиторные занятия Лекции Практические занятия Лабораторные работы Самостоятельная работа Курсовые, ВК работы Вид итогового контроля Всего часов 144 Распределение по часам Семестр I 144 72 72 72 72 зачет зачет 9 II. Содержание дисциплины 1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий Таблица 2 № Наименование разделов темы Вс его Ко л иче ст во часо в 144 А уд и то р на я р або та СР С ПЗ 72 72 Преобразование выражений 1. Преобразование рациональных выражений 4 4 2. Преобразование иррациональных выражений 4 4 Решение рациональных уравнений и неравенств 3. Рациональные уравнения 4 4 4 Рациональные неравенства 4 4 5 Контрольная работа 2 2 Решение уравнений и неравенств со знаком модуля. 6 Уравнения со знаком модуля 4 4 7 Неравенства со знаком модуля 4 4 Иррациональные уравнения и неравенства 8 Иррациональные уравнения 4 4 9 Иррациональные неравенства 4 4 10 Контрольная работа 2 2 Показательные уравнения и неравенства 11 Показательные уравнения 6 6 12 Показательные неравенства 4 4 Логарифмические уравнения и неравенства 13 Логарифмические уравнения 4 4 14 Логарифмические неравенства 6 6 15 Контрольная работа 2 2 Элементы тригонометрии 16 Преобразование тригонометрических выражений 6 6 17 Тригонометрические уравнения 6 6 18 Контрольная работа 2 2 1. Преобразования выражений. Преобразования рациональных выражений. Преобразования иррациональных выражений 2. Решение рациональных уравнений и неравенств. Методы решения рациональных уравнений и дробно-рациональных уравнений. Методы решения рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств. 3. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля. Методы решения уравнений со знаком модуля. Методы решения неравенств со знаком модуля. 10 4. Иррациональные уравнения и неравенства. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных неравенств. 5. Показательные уравнения и неравенства. Методы решения показательных уравнений. Методы решения показательных неравенств. 6. Логарифмические уравнения и неравенства. Методы решения логарифмических уравнений. Методы решения логарифмических неравенств. 7. Элементы тригонометрии. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства. Методы решения тригонометрических неравенств. 2. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются необходимые учебные и методические пособия; технические средства обучения (компьютеры, мультимедиапроектор, электронная доска, соответствующее программное обеспечение). III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов 1. Организация аудиторной работы студентов 1.1. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним Тема №1. Тождественные преобразования рациональных выражений Решить на занятиях: I. Вычислить: 1 1 0,6 0,125 4 15 24; 1. 4 1 0,4 15 3 5 1 0,4 8 5 0,8 5 : 2 8 2 2. 90; 7 2 2 1 8 8,9 2,6 : 34 3 5 8 1 17 1 : 0,6 0,005 1,7 4,75 7 1 5 40 2 : 0,25; 3. 5 1 23 5 1 1 33 : 4 6 3 30 7 1 3 1 6 4 : 0,03 0,3 1 1 2 20 2 4. :2 ; 1 2 3 1 20 1,88 2 3 2,65 4 5 25 80 20 II. Упростить выражения: а 2 b 2 a 3 b3 1 1 1 2 1. 2. 2 a ba c b c b a c a c b ab a b 4mn m n 2mn 2 3. m n : m n m n n m m n2 1 1 2 1 1 2 2 1 4. 2 m n 2 2 n m n 3 m n m n m 2 2 a 3 a 2 5. 1 1 a 1 a2 1 a2 a 4 3 6. 6a 2 5a 1 : 3a 2 a 1 a 1 11 1 1 2 4c 2 1 1 2c 7. a b 2c : 2 2 b ab a 2b2 a b ab a 6 х 2 3хz 10 x 5 z z 6a 1 a 2 36 6a 1 8. 9. 2 2 2 3x 2 5 x x a 6a a 6a a 1 4q 2 p 2 p 2 1 4 xy : 2 11. 2 10. p q 2 pq p q q p pq y x2 x3 8 x2 y 2 x y 12. 6 x : 2 2 x 2 x y 2 x 2 y 1 1 : 2 2 2 2 x 2 xy y y x 2 a 1 1 2 a3 a 2 2a 13. : a a3 1 a 2 a 1 1 a a3 1 1 1 2 4 8 16 14. 2 4 8 1 а 1 а 1 а 1 а 1 а 1 а16 1 1 1 1 1 15. . а(а 1) (а 1)( а 2) (а 2)( а 3) (а 3)( а 4) (а 4)( а 5) а а2 а 1 а2 а 1 2а 3 16. 2 а 1 а3 а 2 а 1 а3 а 2 а 1 а 4 1 1 1 1 17. (а b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 m m n 1 n 2 18. 2 2 2 n nm m nm m n n m a 2 5a 6 a 2 2a 4 19. a 3 a3 8 1 x5 x7 20. 2 x 9 x 9 x 9 x 9 2 7 x x 3 9 x Домашнее задание: I. Вычислить: 3,52 2,52 4 0,82 0,8 1,7 1,72 25,33 13,73 1. 2. 3. 13,7 25,3 0,8 0,6 0,6 1,63 3,43 11,6 3 3 13,7 14,9 4. 13,7 14,9 28,6 II. Упростить выражения: x2 y 2 x y x y x2 y 2 x7 x x 28 x 1. 2 2. 1 : xy x 49 x 7 x 7 x 7 x y x y 2 xy 6 x 2 3xz 10 x 5 z z a2 9 a 2 27 a3 a2 3. 4. 2 : 3 3x 2 5 x x 3 a a 3a 3 a 3a 4q 2 p 2 p 2 1 : 2 6. p q 2 pq p q q p p q 1 4 xy 1 1 3xy x 2 y 2 x y : : 7. 2 8. 2 2 2 2 2 3 3 2 2 y x y x x 2 xy y 2 x 2 y x y y x x y 6a 1 a 2 36 6a 1 5. 2 2 2 a 6a a 6a a 1 12 1 1 9. a b c 1 1 a bc b2 c2 a 2 a b c : , вычислить при a 0,02, b 11,05, c 1,07 1 2bc abc 1 1 2c a b 2c 5 a b ab 10. , вычислить при a 7,4, b 2 1 1 2 4c 37 2 2 2 2 a b ab a b Тема №2. Тождественные преобразования иррациональных выражений Решить на занятии: I. Вычислить: 1. 3. 4 2 5 2,5 5 3 3 4 1,5 5 3 3 2. 1; 4 4 53 3 ; 4. 2 2 3 2 3 1. 2 3 2 3 ; 8. x 2 y ; 52 6 ; 34 2 4 34 2 3 2 2 4 17 12 2 9 4 3 3 7 ; 7 2 7 3 2 7 5 2. x x 8y y 6 x y 2y x 6. 3 5 3 5 ; 8 4 5 4 94 5 ; 3. 5. 4 3 4 5. 3 2 2 3 2 2 ; 2 2 7. 2 8 6 2 8 6 ; II. Упростить выражение: 2 2 1,5 1 2 0,75 ; 2 4. 6. 24 3 43 24 3 43 ; x 1 1 ; : 2 x x x x x x 1 1 x 1 ; 7. : 1 x 1 x x 1 x x 1 1 1 m3 n 3 8. ; 2 2 m mn m mn m mn n x 1 1 ; : 2 10. 1 x x x x 2 12. x x2 1 x x2 1 18. 2 3 3 9. 1 a : 1 ; 1 a 1 a2 a a b b 2 b ab : a b 11. ; a b a b 2 1 2 x2 ; 13. a a b b 2 b ab ; a b a b a b ab 1 5 1 5 1 4 a 2 0.002 ; 2 1 5 a 1 5 a a 1 a b ; a b b 2 1 a3 8 a 1 3 a 2 a : ab ; ab 4 ab b 21. a 2 b 2 ab ; 22. 2 : 4 ab a 3 a ab a 4 a 1b 2 a 5a 6 а 1 19. 2 2 а 2 а 1 а 1 ; 20. а 1 а 1 1 1 а а 2 b 2 a b 1 a 1 13 a b a b b : : 1 ; 23. 2 b b a a a 4 x 1 x 1 x x 4 24. x x 1; 4 x: x x 1 x 25. 27. 3 x y 2x2 : x y y a b3 x xy y 3 xy 3 y 1 a3 a a 3 a 2 1 ; 26. ; 3 3 x y 1 a a2 3 b b 2 1 b2 a b 2a a b b 3 ab b ; 28. 1 b2 1 1 a b a a b b b2 b 2 b b 2 1 1 a 1 a 1 a 1 : 29. 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Домашнее задание: I. Вычислить: 3 160 1. 2 4 6 212 ; 2. 5 2 2 7 3 5 23 2 71 2 31 2 ; 3. 3 2,5 4. 2 3 21 12 3 ; 5. 3 2 2 2 ; II. Упростить выражения: 6. 57 ; 88 30 7 3 7 1 5 1 5 1 4 a 2 0.002 ; 2. 1. 2 1 5 a 1 5 a a 1 1 1 a b a 1 1 2 2 ; 4. a a b 3. а а b a b b 1 ab 4 ab b a 2 b 2 ab : ab a ab Тема № 3: «Рациональные уравнения». Справочные сведения: . Линейные уравнения: в ах в о х а . Квадратные уравнения: ах 2 вх с о 54 14 5 а 1 2 2 а 2 а 1 а 1 а 1 а 1 a b b 2 b : a b ; 5. a b a b D в 2 4ас х1, 2 в D 2а D 0 2корня D 0 х1 х2 D 0 корня нет Неполные квадратные уравнения, т.е. если в=0 или с=0, удобнее решить методом разложения на множители. Если а=1, то уравнение называется приведенным квадратным уравнением х 2 рх q 0. Если х1 и х2 - корни уравнения то х1 + х2 =р, х1 х2 =q (1) (теорема Виетта). 14 Обратная теорема Виетта: Если число х1 и х2 - такие, что выполняется равенство (1), то х1 и х2 - корни уравнения. Пример 1: 4 х 2 12 х 9 2 20 х 2 60 х 39 0 2 х 2 3 2 х 3 5 4 х 2 х 3 52 х 3 6 0 2 2 2 2 2 5 12 х 5 9 6 0 2 2 х 32 Пусть 2 у 5у 6 0 у1 у2 5 у 0 2 у1 у2 6 у1 1; у2 6 2 х 32 1 2х 3 1 2 х 3 1 х1 1 х2 2 Ответ : 1;2. Пример 2: Пусть х1 и х2 - корни уравнения 2х2-7х+1=0. Составьте квадратное уравнение, х1 х2 и корнями которого является числа: 2 х12 х2 2 х 2 7 х 1 0 2 х 2 3,5 х 0,5 0 х1 х2 3,5 х1 х2 0,5 Найдем сумму корней второго уравнения и их производную: х1 х2 х13 х23 х1 х2 х12 х1 х2 х22 х22 х12 х22 х12 х1х2 2 х1 х2 х12 2 х1х2 х22 3х1х2 х1 х2 х1 х2 2 3х1х2 3,53,52 3 0,5 150,5 0,52 х1х2 2 х1х2 2 ( в ) х1 х 2 х1 х 2 1 1 2 2 (с ) 2 2 х1 х 2 0,5 х 2 х1 х1 х 2 х 2 150,5 х 2 0 2 2 х 301х 4 0 III. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 1. Биквадратные уравнения: ах 4 вх 2 с 0 2 (а 0) . Решаются заменой х2=t. 2. Симметрические уравнения: ах 4 вх3 сх 2 вх а 0 (а 0) . Заметим, что х=0 не является корнем уравнения, поскольку а 0 . Все уравнение разделим на х2, 1 1 1 а 2 вх с в а 2 0 , равносильность не нарушается, х х х 1 1 а( х 2 ) в( х ) с 0 х х 2 х2 2 Пусть 1 х t х 2 1 2 х t х 1 1 t 2 х2 2 t 2 2 2 х х а t 2 2 вt с 0 3. Возвратные уравнения четвертой степени: 15 2 е d ах вх сх dх е 0, где и а 0, в 0, с 0 . а в делится на х2 ,т.к. х=0 не является корнем уравнения. 4 3 Решается: 2 V. Специальные методы решения уравнения. Уравнения четвертой степени вида: х а х в х с х d m, где числа а, в, с, d связаны равенством а а с d k . Это уравнение решается группировкой сомножителей: х ах вх сх d m, перемножаем попарно выражения стоящие в скобках и вводим переменную у=х2+kх. Решение сводится к решению квадратного уравнения относительно у. Пример 3: Пример 4: х 4 2 х3 х 2 2 х 1 0 : х2 1 1 4 х 4 зх 2 1 0 Пусть х 2 t х2 2х 1 2 2 0 х х 2 1 2 1 4t 3t 1 0 х 2 2 х 1 0 х х 1 t1 1; t2 1 1 4 t х х2 2 t 2 2 х х 2 2 t 2 2t 1 0 х 1 действит ых корней нет 1 х 4 1 х1 2 1 1 Ответ : ; . 2 2 2 t 2 2t 3 0 1 х2 2 t1 3, t2 1 1 3 х х 1 х 1 х х D 0, корней х х1, 2 3 5 2 х2 х 1 0 нет. Пример 5: 4 4 возвр. 2 :х 1 2 1 1 1 1 2 х2 2х 7 4 4 2 0 х 4 2 2х 4 7 0 х х х х 1 1 2 1 2 t х t 2 х2 4 4 2 х 4 2 2 х 2 7 0 х х х х 2 х 4 2 х3 7 х 2 4 х 4 0 х2 4 1 t2 4 2 х х1 х2 2 2 3 х 2 х 1 х Пример 6: х 3 t 2 4 2t 7 0 х1 х2 3 х 2 3х 2 0 хх2 0 t 2 2t 3 0 t1 3, t2 1 2 D 9 8 17 D 1 4 2 9 3 17 2 1 9 х3 2, 2 х1, 2 х3, 4 х4 1 16 х 1хх 1х 2 24 у х2 х ( у 2) у 24 у 6, то Если у 2 2 у 24 0 х2 х 6 Если у 4, то Ответ : 3;2. х х 1х 2хх 1 24 у1 6; х2 х 6 0 х2 х 4 0 2 х 2 х 2 х 24 у2 4 х1 3; D 0, корней х2 2 нет. V. Уравнения степени больше 2. Решается способом разложения на множители или замены переменной. 1. Способ группировки. 2. Метод основанный на подборе корней. Иногда, если левая часть уравнения Р(х)=0 является многочленом, удается подобрать один корень. Далее, используя метод деления «уголком» многочлена Р(х) на двучлены (х-х1) можно понизить степень Р(х). Пример 7: х3 5х 2 7 х 2 0 Р ( 2) 0, Целыми х3 5х 2 7 х 2 корнями х2 быть : 1;1;2;2. могут х 2 3х 1 х3 2 х 2 3х 2 7 х 3х 2 6 х х2 х2 0 х 2х 2 3х 1 0 Ответ : 2; 3 2 5 х 2 3х 1 0 2 1. 3 2х2 х 2 2. х 33 ( х 1)3 56 хх 4х 5х 9 96 0 3. 4. 5. 6. 8х 2 4 х 9 8 х 4 х 3 64 х 8 0 х 1,125 х 0,25 1 х 3х 1 2 х х5 3х 2 40 х х х5 7х 8 7. х 8. 1 1 1 2 х( х 2) ( х 1) 12 6 3 5 2 . VI. Дробно-рациональные уравнения. Р( х) 0 Р( х); Q( х) многочлены. Q( х) Р( х) 0 . Q( х) 0 . Решите уравнения. х1, 2 3 Решение уравнения равносильно системе: 9. х 13. х 2х 1х 4х 7 19 2х 3 81 50 14 10. 35. х 4 2х4 7 х 2 х 1 7 х 1 11. х 2 х 1 9 х 1 21 х2 4х 6 12. 2 х 4 х 10 2 6х 2 2 х2 1 х 2 2,9 37. х х 1 17 14. 15. 16. 1 1 7 х 2 х 2 2 9 х х 26. х 2х 1х 1х 2 40 27. 12 х 4 16 х 3 91х 2 16 х 12 0 3х3 4 х 2 4 х 3 0 2 х 4 3х3 4 х 2 3х 2 0 28. 29. 30. 18. х 3 7 х 2 14 х 8 0 х3 5 х 2 7 х 2 0 19. 10 х 3 3х 2 2 х 1 0 31. 17. 20. 21. х 2 хх 3х 5х 8 56 0 х 1( х2 2) ( х 2)( х2 1) 2 х3 х3 х6 х6 х 1 х 1 х2 х2 хп mп х р m р mп хп m р х р х 2 х 6 х 10 6 х 1 х 3 х5 7( х 2)( х 3)( х 4) 2 (2 х 7)( х 2)( х 6) 2 2х 2х2 4х 3 0 х 1х 2х 3х 4 120 32. 8 х 4х 5 2 х 3х 2 3х 2х 8 х 18 23. х 2 х 1 х 2х 1 8 4 24. 3 х 5 х 8 0 6 3 25. х 1 71 х 33. 22. 2 х2 6х 5х 2 2 4 х х 4 34. 2 Тема № 4: «Рациональные неравенства». Методы решения рациональных неравенств: Р( х) Р( х) P( x) Q( х)() 0 0 P ( x)Q ( x) 0 , Q( х) Q( x) Q( x) где Р(х), и Q(х) – многочлены. Метод интервалов: 1. Разложить многочлены на множители; 2. отметить на числовой прямой корни; 3. определить знаки на промежутке; 4. записать ответ. Пример 1: х2 2х х2 0 2х 1 х 2 2 х х 2 ( 2 х 1) 2 х( х 2 х 1) 0 0 2х 1 2х 1 2 х( х 2 х 1)( 2 х 1) 0 2 x x 2 x 1 2 x 1 0 2 x x 2 x 1 2 x 1 0 x2 x 1 0 х 0;0,5 Решить на занятиях: I. Решить неравенства: 1. х 1х 2 (2 х 1)( х 1) 2. 100 х 2 300 х 99х 2 3х 1 0 1 2х 0 3. х х2 х 4. х 1 х 1 при любом x х 2 2х 1 2х 1 3х 6 3х 6 6. 3 х 12 х 7. ( х 1)(3 х)( х 2) 2 0 5. 8. х 2 ( х 2)( х 1)3 ( х 2 1) 0 18 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. х2 4х 4 0 2х2 х 1 х 2 36 0 х 2 9 х 18 3 2 2 х 1 х ( х 2)( х 4)( х 7) 1 ( х 2)( х 4)( х 7) 15 2х2 2х 1 2 0 х х 1 ( х 3)(3х 2)5 (7 х)3 (3х 8)2 0 (2 х 2 3х 5)( х 2) 2 0 х2 7 х 6 16. 0 х2 4х 4 1 1 2 24. x2 x x2 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. х2 2х 1 0 х2 х 6 2 2 3 х 2 3х 1 2 х 3 3х 2 2 х 3 1 4х2 7 х 9 1 5х 6 2 2 х 2 х 1 х 4 х 3х 2 х 2 5 4x 4 3x 2 x 4 x 2x 2 2 x 1 0 4 3x x 2 3 2 2 x 1 x 25. x 2 2 x 2 x 2 9 2x 2 0 x2 2x Домашнее задание: 1. 3 4x 4; 3x 2 x 4 2. 4 2 1; 1 x 1 x x 1x 2x 3 1 ; 5. x 1x 2x 3 7. x 2 3x 1 x 2 3x 3 5; 3. 9. x 2x 3 0; x 2 3x Тема № 5 «Уравнения с модулем». 2 3 x 2 x 3 16 0,5 x 49 1 ; 2 10 x x 2 2 2x 4 1 ; x 1x 7 x 2 7 9 6. 1 0; x 2x 3 x 3 8. x 2 x 1 x 2 x 7 5; 4. 2 x x 3 0. 10. x 1x 3x 4 2 3 2 Определение: Абсолютной величиной, или модулем ( /а/ ) числа а называется само число а, если а – неотрицательное число (+ или 0), число, противоположное если а 0 а , числу а, если а – отрицательное число. а если а 0 а , . Решение уравнений вида f ( x) g ( x) ..... y( x) 0 . 1. Приравнять выражения под знаком модуля к нулю, и найти корни; 2. Отметить эти точки на числовой прямой; 3. На каждом из полученных промежутков выражения, под знаком модуля имеют один знак, на каждом промежутке определить знак каждого модуля и по определению раскрыть модули; 4. Решить совокупность систем. 2х 5 х 2 Пример 1: 2х 5 0 х 0, х 2,5 19 + + + Х -2,5 1. 2. х 2,5 (2 х 5) х 2 х 2,5 2 х х 2 5 х 2,5 х 7 х 2,5 х 7 х 7 Ответ: х=-7; -1. 0 3. 2,5 х 0 2 х 5 х 2 2,5 х 0 3 х 3 2,5 х 0 х 1 х 1 х 0 2 х 5 х 2 х 0 х 3 нет решений . Решение уравнений вида f ( х) g ( х ) . Если под знаком модуля стоит линейное выражение то можно воспользоваться первым способом – раскрыть модуль. Если f(х) – более сложное выражение, то применяем свойство модуля: а а х а, при а 0 и не имеет решений при а о.Поэтому для решения такого уравнения, надо решить два уравнения f(х)=g(х) и f(х)=-g(х), а затем из полученных корней выбрать те, для которых g(х) 0 ,т.е. f ( x) g ( x) g ( x) 0 g ( x ) 0 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 0 Пример: 5 х 4 0 3 х 12 х 6 5 х 4 3 х 2 12 х 6 5 х 4 3 х 2 12 х 6 (5 х 4) 2 1)3 х 2 12 х 6 5 х 4 3 х 2 17 х 10 0 2 х1 5; х2 не подходит 3 2)3 х 2 12 х 6 5 х 4 3х 2 7 х 2 0 D 49 4 3 2 25 1 х1 2; х2 не подходит 3 Ответ : 2;5. 20 . Решение уравнений вида: f ( х) g ( x) . 1) Возвести в квадрат правую и левую части уравнения. Например: х 32 х 12 х 32 х 12 0 х 3 х 1 х 3 х 1х 3 х 1 0 х 3 х 12 х 2 0 4(2 х 2) 0 х 1 2) На основе геометрического смысла модуля х а это расстояние от искомой точки х до точки а. Например: х 3 х 1 х 3 расстояние от точки х до точки 3 х 1 расстояние от точки х до точки -1, т.к. модули равны, то следовательно искомая точка х находится на одинаковом расстоянии от 3 и -1. х -1 1 3 Таким образом точка х – середина отрезка -1;3, х 3) В данном случае решаем уравнения f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) . f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 1 3 1. 2 и f ( x) g ( x) и берем все корни Например: х 3 х 1 х 3 3 х 1 х 3 х 1 ( х 3 3х 1) х3 х 1 х3 3х 1 1. 2 х 2 0 х 1 Ответ: 1;0. х3 х 1 х3 3х 1 2. 2 х 3 4 х 0 2 х( х 2 2) 0 х0 V. Решение уравнений вида f ( x ) g ( x) . В этом случае сначала раскрываем внутренний модуль. 21 Например: 5х х 2 1 х 0 1. 5х х 2 1 х 0 х 0 4 х 2 0 4 х 2 1 4 х 2 1 и х 0 х 0 х 0 1 1 3 1 4 х 2 0 х и х ; 2 2 4 4 4 х 2 1 3 1 х 4 х 4 х 0 х 0 х 0 х 0 1 2. 6 х 2 0 х 3 5х х 2 1 6 х 2 1 6 х 2 1 1 х 2 Ответ: , х 0 х 0 1 6 х 2 0 х 2 6 х 2 1 1 х 6 3 1 ; . 4 4 Решить на занятии: 1. 3 х 2 2 х 1 5 х 1 12. х 2 х 6 2 х 2 х 1 2. х 2 2 х 3 5 5х 1 13. х 2 х 1 3 14. х 2 4 х х 7 3. 3х 4 2 х 3 16 4. х 4 х 4 х 7 5. х 2 х х 2 х 2 2 15. x 2 x 1 3 x 2 4 4 x 1 x 1 2 16. 7. 3х 2 12 х 6 5 х 4 17. x 2 1 x 2 4 3 8. х х 3 х 1 18. 3 x 6 x 7 5 x 9 9. х х 6 х х 6 19. 3x 8 5 3x 3 10. х 2 2 х 3 3 х 1 20. x 1 x 1 5 11. х х 1 х х 3 6 21. x 2 4 x 3 x 2 5 2 2 2 2 2 2x x2 2 6. х х 2 1 2 х 3 х 2 2 22. x2 4x 3 x 23. x 2 x 3 x 1 24. x 2 10 x 30 x 2 3x 5 25. x 2 9 x 2 4 5 26. x 2 3x 2 x 2 2 2 1 1 x2 x 1 27. x 1 x 2 3x 6 5 28. 2 x 2 2 x 5 x 1 Домашнее задание: 2 1. x 2 x x 2 x 6 0; 2. x 2 5 x 3. x2 14 0; x2 4 x 1; x 1 2 4. x 2 x 3 x 1; 5. x 2 2 x 3 3 x 45; 6. 2 x 2 x 2 x 2 3 x 2 ; 7. x 2 x 8 x; 8. x 3 2 x 2 6 x 3 ; 9. x 2 4 x 4 5 x 2 3x 3 ; 10. x 2 x 1 3 x 2 3; 11. x 2 x 3 2 x 8 9; 22 13. 12. x 2 x 2 x x x ; 2 2 14. x2 4x 3 x2 x 5 1; x2 4x 3 x 2 2x x2 1; Тема № 6: «Неравенства с модулем». I. Решение неравенств вида f ( x) g ( x) ..... y( x) 0 . Решаются методом интервалов аналогично уравнениям. II. Неравенства вида: f ( x) g ( x); f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Например: 2 2 х 3х х 4 х 2х 4 0 х 3х х 4 2 2 х 3 х х 4 х 4х 4 0 2 х1, 2 1 5 х R, х 2 -2 -1- 5 -1+ 5 Ответ: х 1 5 ;2 2;1 5 . III. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 2 Например: х3 5 х 2 8 х 2 х3 7 х 2 2 х 2 2 ( х 3 5 х 2 8 х 2 х 3 7 х 2 2 х 2)( х 3 5 х 2 8 х 2 х 3 7 х 2 2 х 2) 0 (2 х 2 6 х 4)( 2 х 3 12 х 2 10 х) 0 4 х( х 2 3 х 2)( х 2 6 х 5) 0 4 х( х 1)( х 2)( х 1)( х 5) 0 + 2 1 + 0 1 + 5 Ответ: х (;2) (1;0) (1;5) 23 Решить на занятии: 24 14. 2 x x 2 x 3 1 x 1 x 2 5 15. 4x 2 1 x2 3 3x 1 3 x3 16. 1. x 2 3x x 5 2. 5 2x 1 3 x 4 3. 4. x2 4x 3 x2 x 5 1 5. x2 5x 2 2 x 2 5 x 24 17. x 2 x 10 3 x 2 7 x 2 6. x 1 2 x 2 3 x 3 4 18. 4x2 9x 6 x2 x 3 7. 2 3 x 2 2x 1 19. 3x 1 2 x 2 x 5 2 20. 2 x 2 x 11 x 2 5 x 6 . 8. 2x2 9x 7 1 x2 1 21. x2 4x x2 4 9. 16 1 x x 4 5 22. 9 x2 x5 3 10. x 2 2 x 3 3x 3 11. x3 x x3 2 x 23. x 3 3 x 1 x 3 x 2 1 12. 2x2 x 1 x 1 24. x 2 3 x 2 x 2 3 x 2 13. x x 1 5 25. 2 x 2 3 x 15 2 x 2 x Домашнее задание: 1. x 2 8 x 15 x 3 2. 4 x x 2 x6 2 3. x x x 4. x 2x 1 x 1 9. 5. x3 3x 1 x3 x 2 1 6. x2 1 x2 x 1 7. x 2 3x 15 2 x 2 x 8. 24 x 2 39 x 8 18 x 2 25 x 32 3 2 x 2 x 11 x 2 5 x 6 10. 24 x 2 39 x 8 18 x 2 25 x 32 11. x 3 x x 2 1 x4 4x 1 4x 1 Тема № 9: «Показательные уравнения». Справочные сведения 1. Показательная функция y a x , где a > 0, a ≠ 1, определена на R, множество ее значений – множество всех положительных чисел. 2. Для любых a > 0, b > 0 и при любых значениях x и y верны равенства (основные свойства степени): ax a xa y a x y a x y (a x ) y a xy (ab) x a xb x a x a y a x y y a m a n n a m , где a > 0, n N , m Z . 3. Простейшее показательное уравнение 25 a x b , где a > 0, a ≠ 1, не имеет корней при b ≤ 0 и имеет единственный корень x = loga b при b > 0. В частности уравнение a x a , a > 0, a ≠ 1, имеет единственный корень x= 4. Если а = 1 и b ≠ 1 уравнение a f ( x 0 b не имеет решений. 5. Если а = 1 и b = 1 решением уравнения a f ( x 0 b является любое число из области определения функции f(x). 6. Уравнение a f ( x 0 a q ( x ) , a > 0, a ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = q(x). 7. Уравнение a f ( x 0 a q ( x ) , a > 0, b > 0, a ≠ 1, равносильно каждому из уравнений a f ( x 0 a q ( x ) loga b , f(x) = q(x) loga b . МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ I. Приведение к одному основанию. Пример 1. Решить уравнение 0,2 x 0,5 0,04 x 25 5 Заметим, что числа 0,2, 0,04, 5 , 25 представляют собой степени числа 5. (51 ) x 0,5 (52 ) x , 5 x 0.5 0,5 52 x 2 , 5 x 1 52 x 2 , x 1 2x 2 , x 1 50,5 52 Ответ: x 1 II. Уравнения, решаемые заменой неизвестного Пример 2. Решить уравнение 4 x 10 2 x 1 24 Используя свойства степени, получим: 10 (2 x ) 2 2 x 24 2 Введем новую переменную t 2 x , t 0 t 2 5t 24 0 решая это уравнение, находим корни t1 3 и t2 8 t1 не удовлетворяет условию t >0, поэтому единственное решение определяется из соотношения 2 x t2 8 23 Ответ: x = 3 III. Разложение на множители Пример 3. Решить уравнение 5 x 1 5 x 1 24 Используя свойства степени, получим: 1 1 24 5 5 x 5 x 24 , 5 x (5 ) 5 x ( ) 24 , 5 x 5 , x 1 5 5 5 Ответ: x 1 IV. Показательно-степенные уравнения Общий вид показательно-степенного уравнения - f ( x) g ( x ) f ( x) h ( x ) . Данное равенство возможно в нескольких случаях: 1. при равенстве показателей степени g(x) = h(x); 2. при основании равном 1, 0, или -1. Уравнение f ( x) g ( x ) 1 можно представить в виде f ( x) g ( x ) f ( x)0 , но в данном случае значение f ( x) 0 уже не допускается. Нужно решить уравнения g ( x) 0. f ( x) 1, f ( x) 1. Все полученные значения обязательно должны быть проверенны! 26 Пример 4. Решить уравнение ( x 2) x x ( x 2)12 1. Приравняем показатели x 2 x 12 x1 3, x2 4 2. x 2 1 x 3 x 4 212 212 - подходит; x20 x 2 x 3 16 112 - подходит; x 2 1 x 1 x 2 02 012 - подходит; 3. Проверка x 1 (1)0 (1)12 - подходит x 3 (5)12 (5)12 - подходит; Ответ: -3; 1; 2; 3; 4. Решить на занятиях: II. Решить уравнения: 2 X 1. 21. 64 2 3 X 576 2 X 2 X 3. 8 4 X 1 2 X 1 5 X 0,2 (10 X 1 )5 4. 52 X 5. 16 9 2. 6. 2 X 62 X X 2 2 X 4X 3 1 X 2 2 x 23. X 3 4 3 6 X 6 X 1 22. X 3 1 X 2 7. ( 2 1) 8. ( 14 6 5 ) X 24. X (5 2 7) X ( 2 1) X 2 2 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 2 2 4 X 2 5 7 X 1 3 X 4 35 4 32 X 2 3X 2 X 6 x 32. x x2 x 1 5 x 10 5 2 6 5 2 6 x 10 3x 42 x 2 3x 45 x x 3x 2 x 8 1 34. x 2 x 1 x 2 1 1 x 35. x x 7 48 7 48 14 2 3 x 2 2 x 1 3 2 2 33. 36. 6 2 3 2 3 2 X 32 X 12 0 26 15 3 57 4 3 x x 1 x 31. 12 X 6 X 2 4 X 2 3 X 2 X 1 4 0 2 19. 20. 2 4 3 x x2 2 X 1 3X 3X 1 2 X 2 3 4X 5 6X 2 9X 0 5 X 1 14 5 X 3 5 X 2 66 7 49 X 13 7 X 2 2 14 X 3 49 X 22 X 4 X 1 6 X 2 9 X 1 52 X 7 X 7 52 X 1 5 7 X 1 0 2 33 x 4 7 2 3 3 x 4 28. X 3 2 30. 27. (3 5 ) X x 2 22 x x 27 2 9 64 3 8 29. 26. X 2 x 2 5 2 x 1 5 2 4 x 10 2 x 1 24 3x 3 3 x 1 8 0 3 16 x 36 x 2 81x 8 x 18 x 2 27 x 25. 22 X 1 ( 2 1) x 2 4 2 x 42 x 4 2 1 4 3 x 1 9 27 3 27 2 3 x 2 2 x 1 4 2 3 5 Тема № 8: «Показательные неравенства». Справочные сведения I. При решении показательных неравенств надо помнить, что показательная функция y f (x) возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Рассмотрим простейшее показательное неравенство a f ( x ) b где a o При а=1 это неравенство равносильно числовому неравенству 1 < b. 1. При а = 1 и b ≥ 1неравенство не будет иметь решений. 27 2. При а = 1 и b < 1 решением является любое число из области определения функции f (x) . 3. При а ≠ 1 и b < 0 решением является любое число из области определения функции f (x) . 4. При а ≠ 1 и b < 0 решение задается условием f ( x) log a b при a > 1 , f ( x) log a b при 0 < a < 1. Если левая и правая части неравенства приведены к одному основанию, удобно пользоваться следующими схемами решения показательных неравенств: Следующие неравенства равносильны: a f ( x ) a q ( x ) f ( x) q( x) при a > 1 a f ( x ) a q ( x ) f ( x) q( x) при 0 < a < 1. II. Логарифмирование неравенств. Пусть дано неравенство f ( x) g ( x) . 1. Сначала нужно убедиться, что обе части неравенства положительны. 2. Выяснить величину основания, по которому собираемся логарифмировать. Если основание a > 1,то при логарифмировании получим неравенство того же знака, если 0 < a < 1, то противоположного. a 1 log a f ( x) log a g ( x) 1. 0 f ( x) g ( x) 0 a 1 2. 0 f ( x) g ( x) log a f ( x) log a g ( x) Примеры: 1. 31 x 7. Логарифмируя по основанию 3, получим неравенство 1 x log 3 7 x 1 log 3 7 . Ответ: x 1 log 3 7 . 2. ( 6 3 ) 2 x 1 3 . Покажем, что основание 6 3 1. Преобразуем это неравенство 6 3 1 6 3 2 3 1 2 2 3 (очевидное неравенство). Теперь, прологарифмируем по основанию, не забыв поменять знак неравенства на 1 противоположный: 2 x 1 log 6 3 3 отсюда x (log 6 3 3 1). Ответ: 2 1 x (log 6 3 3 1). 2 III. Неравенства, решаемые с помощью замены переменной Простейший вариант такой задачи – неравенства, сводящиеся к квадратному неравенству. Пример:1. 52 x 1.5 x 4 . Сделаем замену t 5 x 0 и получим неравенство 5t 2 t 4 0. Решим это неравенство и запишем ответ в виде неравенств (а не промежутков): 4 t ; t 1. Так как t 0 , получим только t 1. Теперь вернемся к переменной х: 5 x 5 1 50 x 0 . Ответ x > 0. Решить на занятиях: III. Решить неравенства: 2 x 1 3 7 x 3 7 x 1 4 2. 4 3 1 x 1 4 3 1 5 9 x 18 15 x 9 25 x 0 1. 3. 8 8 1 1 x 1 4. x x 6 x 3 5 3 1 5 2 2 5 28 9 x 3x 2 9 3x 5. 2x2 9. 1 x 4 4 6x2 3 729 2 6 x 7 x 8 1 x x 3 2 0,252 x 0,5 10. x 3x 6. 7. 8. 11. 12. 13. 21. 22. 23. 2 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 1 x 2x 2 16 5 2 3 0 15 16 x 1 24 x 1 3 42 x 4 2 4x 6x 3 9x 4 x 2 x 1 3 32 x 5 3х 2 2 4 х 2 52 х 10 х 35. 9 3 28 3 x 2 5 x 49 15. 1 3 x2 7 x 2 5 x 1 7 49 x2 2x 1 16. 2 3 17. 9 x 4 3x 1 19. 20. 37. 38. 39. 40. 0,5 1 2 х 0,0625 х 2 3х 3х 1 0 0,5х 2 6 22 x 1 2 21 22 x 3 4 2 4x 4 2 x 4 2x 1 2 x 1 5 4 x 2 25 x 7 10 x 0.8 x 1.25 x 1 0.25 2 3x 9 4 x 12 x 18 32 x 1 2 x 1 6 18 x x 3 7 49 x 3 2 3 2 3 3 x х 1 2 14. 18. 1 1 3 2 2 4 25 х 2 25 х 4 120 2 x2 2 x2 5 x 6 х x 2 x 2 3 x 3 49 16 21x 21 9 x 0 x 2 1 1 2 2 1 x 21 x 2 x 1 0 2x 1 4 x 2 x 1 8 8x 21 x x 2 5 х 52 х 0 9х 3х 2 3х 9 х 41. 42. 43. х 44. х 2х 45. 46. 1 3ч 2 2 1 2 х 3 2х 3 4х 2х 4 2 х 1 2 х х 1 1 2 6 х 1 1 х 8х 15 4 х 2 х 1 х 6 2 2 1 х2 х 1 x 2 5 x 48 49 7 98 Тема № 9: «Логарифмические уравнения». Справочные сведения 1. Логарифмическая функция y log a x , где a 0, a 1 , определена 2. Показательная и логарифмическая функция являются взаимообратными. Это значит, что при x 0 , множество ее значений R . log a a x x при a 0, a 1 36. a loga x x при a 0, a 1 , x 0 3 Основные свойства логарифмов выражают следующие формулы, справедливые при a 0, a 1 , b 0, b 1 , x 0 , y 0 : . log a x y log a x log a y log a x log a x x log a log a x log a y y R, R, a 0. 29 log a x log b x log b a log a a 1 log a 1 0 1 log b a следующие При решении логарифмических уравнений часто используется формула log a b 4. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования: а) замену функции log a f ( x) log a q( x) на функцию log a f ( x) q( x) ; f ( x) б) замену функции log a f ( x) log a q( x) на функцию log a . q( x) Эти преобразования, основанные на свойствах логарифмов, являются допустимыми. Обратные замены могут привести к потере корней исходного уравнения из-за возможного сужения ОДЗ уравнения. Чтобы избежать потери корней, следует заменять f ( x) функции log a f ( x) q( x) и log a на функции log a f ( x) log a q( x) и q( x) log a f ( x) log a q( x) соответственно. Такие преобразования являются допустимыми. В формуле log a x 2k 2k log a x , x N , применяемой при решении логарифмических уравнений, отбрасывание знака модуля в правой части равенства – грубая ошибка. 5. а) простейшее логарифмическое уравнение log a x b где a 0, a 1 имеет единственный корень x a b при любом b R . б) потенцирование, т.е.переход от уравнения (1) log a f ( x) log a q( x) , где a 0, a 1 , к уравнению f ( x) q( x) (2) является допустимым преобразованием, а уравнение (2) следствием уравнения (1). Обратный переход (логарифмирование), т.е. переход от уравнения (2) к уравнению (1), может привести к потере корней. Уравнения (1) и (2) равносильны, если хотя бы одна из функций f (x) или q(x) принимают только положительные значения. Методы решения логарифмических уравнений. 1. Простейшее логарифмическое уравнение log a f ( x) log a q( x) , где a 0, a 1 , равносильно любой из систем f ( x) q ( x) f ( x) q ( x) или . Из этих двух неравенств можно выбрать то, которое f ( x) 0 q ( x ) 0 проще проверить. Можно включить систему и оба неравенства (условия ОДЗ): f ( x) q( x) f ( x) 0 , но проверить достаточно одно. q ( x ) 0 Частным случаем этого уравнения является уравнение log a f ( x) b a 0, a 1 . По определению логарифма b log a a b , поэтому уравнение log a f ( x) b равносильно уравнению f ( x) ab . Никакого дополнительного неравенства не надо, так как a b 0. Уравнение вида log h ( x ) f ( x) log h ( x ) q( x) 30 f ( x) q( x) f ( x) 0 h( x) 0, h( x) 1 f ( x) q( x) q( x) 0 h( x) 0, h( x) 1 или Пример 1. log 0,5 (5 log 3 x) 2 ; 5 log 3 x (0,5) 2 4 ; log 3 x 1 ; x 3 . Ответ: 3. Пример 2. log 2 log 1 log 9 x 0 ; 2 1 1 ; x 9 2 3 . Ответ: 3. 2 2 2. Применение формул. При применении формул нужно помнить, что преобразование с помощью этих формул не являются равносильными – расширяется ОДЗ. Так как при этом возможно появление посторонних корней, то нужно либо добавить неравенства f ( x) 0, q( x) 0 к уравнению и решать полученную систему, либо выписать их как условие ОДЗ в начале решения и в конце сделать проверку. Пример 3. log 9 x 1 log 9 1 x log 9 2 x 3 log 1 log 9 x 20 1 ; log 9 x 2 x 3 0 ОДЗ: x 1 0 1 x 0 x 1 2 x 3 1 x x 1 1 x 0 Уравнение равносильно системе: x2 x 1 0 1 5 , x . 2 1 x 1 1 5 2 3. Введение нового неизвестного Ответ: x Пример 4. lg 2 x3 lg 3 x 21 1 ОДЗ: x 0 3 lg x 2 lg 1 . Пусть t lg x 8t 3 9t 2 1 0 . Один корень t 1. Разделим многочлен ( 8t 3 9t 2 1 ) на 8t 3 9t 2 1 t 1 8t 2 t 1 . 2 3 8t 2 t 1 0 ; t1, 2 1 33 2 ( t 1 ). Получим: 1 33 1 33 lg x ; lg x 1 x 0,1 16 16 1 33 2 Ответ: 0,1 ; 10 x 10 4. Разложение на множители. Пример 5 log 2 x log 2 x 3 1 log 2 x 2 3x ОДЗ: x 3 log 2 x log 2 x 3 1 log 2 x 2 3x 0 log 2 x log 2 x 3 1 log 2 x x 3 0 log 2 x log 2 x 3 1 log 2 x 3 log 2 x 0 (log 2 x 1)(log 2 x 3 1) 0 log 2 x 1 0 и log 2 x 3 1 0 x 5 , x 2 ОДЗ . Ответ:5. 5. Замена оснований 31 log c b 1 log a b и log a b , где a, b, c, 0, a 1, c 1 , нужно log c a log b a помнить, что применение этих формул (замена правой части на левую) может привести к потере корня: в правой части возможно b 1 , а в левой нет. Поэтому в конце решения значение х, соответствующие b 1 , нужно подставить в уравнение и проверить, не является ли оно корнем. Пример 6. log 2 x log 5 x log 5 10 ОДЗ: x 0 log 5 x log 5 10 log 5 2 log 5 x log 5 10 log 5 x log 5 2 ; x 2 . Ответ: 2. log 5 2 1 log 5 2 Применение формул Решить на занятии: I. Решить уравнения: 1. log 5 26 5 x 2 1 2 x 2 1 2. log 3 9 0,5 log 9 x 2 x 3. log 2 2 x 3 16 2 x log 2 3 4. log 2 x 2 3x log 2 2 x 4 5. log x 8 x 3 0 log x 2 7x 5 x 7log 2 24. log 1 x log 1 x 2 23. x log22 2 25. 26. 2 2 2 x7 2 log 2 x 9 log 2 x 3 2 log 2 x 1 log 5 x 7 2 log 25 x8 3 log 5 3 21 x 2 x 52 x 1 x log 5 13 10 7. 28. log 2 x log x 2 2 lg lg x lg 3 lg x 3 8. 3 2 log 2 x 7 log 2 2 x 1 1 x5 2 2 3 29. 31 log 9 x 1 log 3 9. 1,5 log 0, 25 x 2 3 log 0, 25 4 x log 0, 25 x 6 2 x3 log3 2 log3 x 5 x 2 24 30. x3 1 2 1 1 2 2 log 6 x 1 10. 1 log 6 31. lg 4 x lg 4 x lg x 2 lg x x7 2 2 2 2 2 2 11. lg x lg x lg 7 1 6. log x 2 log 2 log x 3 11x 2 46 x 48 0 12. 27. log x 5 x log x 5 32. 2 lg 2 x 1 2 lg x 2 2 2 14. log o , 4 x log 0, 4 x log 0, 4 50 log 0, 4 20 13. 33. log 7 3 2 x log x 3 2 x log 7 3 2 x log 7 x 2 log 1 x 3 x log 3 x 1 x log 3 x 7 5 x 3 log 5 x 3 3x 7 2 16. log 0,5 x x 214 log 26 x x3 40 log 4 x x 0 35. 17. log 3 x 2 x log 5 8 2 log 3 x 4 x 4 log 5 x 2 4 x 4 36. x lg x 1 100 log 3 log 45 x 1 37. 15 5 x 5 38. lg x 2 lg 5 18. log x 2 x 1 log 2 x 3 x 2 4 x 4 x x 19. log x 2 log 2 x 2 log 4 x 2 20. log 3 x 3 log 2x 3 21. 2 log 1 3 x 1 7 x 12 x 2 log 1 4 x 1 6 x 9 x 2 741. 22. 3x 5 log x 2 log 2 x log 2 2 3 log 2 x 2 2x 3 2 39. 40. 1 log x 4 x log 5 3 log x 5 34. 15. 2 log 5 x log x (5x) 2 42. 43. log x 1 x 2 5 x 10 2 1 2 1 1 lg x lg x 12 3 4 1 lg x lg 0.5 lg x 2 lg x lg a 0, a 0, a 1 log 2 log 3 log 4 x 0 44. 100 lg[ 20 10000 32 45. log 5 lg x 2 19 0 51. lg x 1.5 lg x 2 log3 x 1 47. 3 81x 1 46. 48. 49. 50. 52. 53. log x 5 x log x 5 log a 1 log b 1 log c 1 log p x 0 54. 1 2 1 5 lg x 1 lg x 55. 1 lg 2 x 1 lg x 9 1 2 0,1lg 4 x 0.9 lg 2 x 90.5 log2 x 31 log2 x 1 1 lg 10 lg 271 3 2 x 2 3 lg 8 lg x 5 lg 2 lg x 7 Тема № 10: «Логарифмические неравенства». Справочные сведения Логарифмические неравенства вида log f ( x ) g ( x) log f ( x ) h( x) Основное логарифмическое неравенство имеет вид log f ( x ) g ( x) log f ( x ) h( x) . 1 способ. Для решения нужно рассмотреть два случая: f ( x) 1 1) , 0 g ( x) h( x) 0 f ( x) 1 ) . Если основание а постоянно, то сразу записываем соответствующие 2) 0 h( x) g ( x двойное неравенство: при a 1 0 g ( x) f ( x) , при 0 a 1 0 f ( x) g ( x). Если правая часть постоянна ( log f ( x ) b( b) ), то представим это число в виде b log f ( x ) f ( x0b и получим неравенство log f ( x) g ( x) log f ( x ) f ( x)b . При решении неравенств таким способом нет необходимости в нахождении ОДЗ, все условия ОДЗ включены в системы. 2 способ (обобщенный метод интервалов). Сначала находят ОДЗ: f ( x) 0, f ( x) 1, g ( x) 0, h( x) 0. затем решается неравенство ( f ( x) 1)( g ( x) h( x)) 0 (как правило, методом интервалов) и берется его решения, входящие в ОДЗ. Этот способ дает существенно более короткое решение, если основание и функция под логарифмом являются рациональными функциями. Пример 1. Решить неравенство: log 3 (1 2 x) log 3 (5x 2) 0 log 3 (1 2 x) log 3 (5x 2) 1 2 x 5x 2 0 2 x 5 2 3 2 3 x , Ответ: x , 5 7 5 7 x 3 7 Пример 2. Решить неравенство: 5 x 2 0 1 2 x 5 x 2 log 2 x x 2 5 x 6 1 2 x 1 0 2 x 1 log 2 x x 2 5 x 6 log 2 x 2 x 1) ; 2) 2 . 2 0 x 5 x 6 2 x x 5 x 6 2 x 33 2 x 1 2 0 x 5 x 6 2 x 1) 2 x 1 2 x 5x 6 0 x2 5x 6 2 x x 0,5 x2 5x 6 0 x2 5x 6 0 x 0,5 x ;2 3; x 1;2 3;6. x 1;6 0 x 0,5 2) 2 x 0;0,5 . Ответ: 0;0,5 1;2 3;6. x 7 x 6 0 Решим этот пример вторым способом. Находим ОДЗ: 2 x 0,2 x 1, x 2 5x 6 0 x 0;0,5 0,5;2 3; . Составляем неравенство 2 x 1 x 2 5x 6 2 x 0 2 x 1x 1x 6 0 x ;0,5 1;6 Найдем общую часть с ОДЗ и получим ответ: x 0;0,5 1;2 3;6 Ответ: 0;0,5 1;2 3;6 . Если логарифмическое неравенство не имеет стандартной формы log f ( x ) g ( x) log f ( x ) h( x) , то часто приходится применять к нему неравносильные преобразования нарушающие ОДЗ. Поэтому в такой ситуации сразу находят ОДЗ и все преобразования рассматривать только для х, входящих в ОДЗ. После того, как неравенство приведено к стандартному виду, можно воспользоваться любым способом рассмотренным выше. I. Замена неизвестного Пример 3. Решить неравенство: 1 2 lg x 5 1 lg x 1 lg x 1 2y 5 y2 3y 3 0 y ;1 1; 1 y 1 y 1 y 1 y Т.е. lg x 1 или lg x 1. Отсюда 0 x 0,1, x 10. Ответ: 0;0,1 10; Сделаем замену y lg x Решить на занятии: I. Решить неравенства: 6. 4x 5 1 0 6 5x log log3 x 3 0,5 4x x 7. log x log 2 4 x 12 1 8. log 2 x 3 1. log 8 x 2 4 x 3 1 2. lg x 2 2 x 2 0 3. log 1 x 2 6 x 3 2 5 4. log 5. 8 2 7 1 3 2 2 0 log x x 2 x 3 1 34 Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» 9. log 2 x 3x 2 log 1 x 2x 6 2 2 10. 11. 12. 13. log 12 x x 2 5 4 x 2 24 x 37 log 0,5 x 81 log 0,5 x 1 16. log x 3 18. 1 2 2 3 x 9 6 x x 4 x 3 0 15. 17. 5 log 3 x 2 x log 3 3x 2 log 2 log 3 14. 27 x x 1 1 log 2 x 4 log 2 x log 0,5 x 1 4log 0,5 x 1 2 lg x 2 lg 1 x 1 20 log 0.1 x 2 1 log 0.1 2 x 5 21 log 2 x 4 2 22 log 1 2 x 7 4 x 1 log 3 x 1 log 3 4 log 4 2 x 2 3x 1 log 2 2 x 2 3 3 x log 1 2 x 1 2 29 log a x log a x 2 1, a 1 30 log a x a log 1 2 x a , a 1 28 2 log 1 2 31 2 log 8 x 2 log 8 x 3 2 3 2x 8 0 x2 3x 1 1 33 log 1 3 x2 34 x 2 6 x 8log 5 2 x 5 0 32 log 1.5 2 19. 2 26 log 1 log 2 5 x log x 1 6 8 2 log 12 x x 2 4 x x 3 x 2 x 3 log 2 x 0 25 log 0.3 x 2 5 x 7 0 24 35 log x 5 8 3 36 log 3 x 5 9 x 2 8 x 2 2 37 log 0.5 x 2 0 2x 1 23 log 2 x 2 5 x 6 1 Тема 13: «Преобразование тригонометрических выражений» Справочные сведения. 1. Основное тригонометрическое тождество и зависимость между тригонометрическими функциями: 1 1 sin 2 cos 2 1 tg ctg 1 1 tg 2 1 ctg 2 2 cos sin 2 2. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций: cos( ) cos sin( ) sin tg ( ) tg ctg ( ) ctg sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tg ( ) tg ctg ( ) ctg 3. Формулы сложения: sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tg tg tg tg tg tg 1 tg tg 1 tg tg 4. Формулы двойного и тройного аргумента: 2tg sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 tg 2 1 tg 2 sin 3 3 sin 4 sin 3 cos 3 4 cos3 3 cos 5. Формулы понижения степени: 1 cos 1 cos cos 2 sin 2 2 2 2 2 6. Формулы приведения: 35 стр. из 67 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» Наиболее употребляемыми являются следующие формулы: sin cos sin cos 2 2 sin sin sin sin cos sin cos sin 2 2 cos cos cos cos Любую из формул приведения можно получить, пользуясь следующими правилами: 3 или , то синус заменяется на а) если аргумент приводимой функции равен 2 2 косинус, косинус - на синус; если же аргумент приводимой функции равен , то функция не меняет своего значения; б) перед приводимой функцией ставится такой же знак, какой имеет приводимая функция, если считать, что 0 . 2 7. Формулы суммы и разности: sin sin 2 sin cos ; cos cos 2 cos cos ; 2 2 2 2 sin sin 2 sin cos ; cos cos 2 sin sin ; 2 2 2 2 sin sin tg tg tg tg cos cos cos cos 8. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность): sin sin( ) sin cos ; 2 cos cos cos cos ; 2 cos cos sin sin 2 9. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента: 2tg sin 1 tg cos 2 ; 2 1 tg 2 2 . 2 1 tg 2 2 10. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов. Функция Аргумент t 30° 45° 60° 120° 135° 0° 90° 2 3 3 6 4 3 4 2 sin t 0 1 2 2 2 cos t 1 3 2 1 3 2 2 1 tg t 0 3 2 1 2 1 3 - 0 3 2 1 2 - 3 150° 5 6 180° 270° 3 2 1 2 0 -1 3 2 1 3 -1 0 0 - 2 2 - 2 2 -1 - 36 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» ctg t - 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 - 0 I. Преобразовать в произведение сумму: 1. cos 2 cos 3 cos 4 cos 5 ; 2.sin 4 sin 6 sin 8 sin 10 ; 3. cos 2 cos 2 sin 2 II. Доказать тождество: 1. cos 2 cos 2 cos 2 1 2 cos cos cos ; 1 2.sin 4 cos 4 4 cos 2 3; 8 1 3. cos 4 cos 4 4 cos 2 3; 8 1 4.(1 cos 2 tg 2 ) 1 cos 1 2 tg 2 2tg 2 ; 5 5 5. cos 1 2 ctg 2 ctg 1; 4 2 6. cos cos 2 cos 6 cos 7 4 cos 7.tg ctg tg 3 ctg3 8.(sin ) 1 tg ctg 1 2 2 cos 5 cos 4 ; 2 8 cos 2 ; sin 6 2 ; 1 9.1 sin 2 2 cos 2 cos 2 cos 4 4 III. Доказать, что при всех допустимых значениях справедливо равенство: sin 2 sin 5 sin 1. tg 2 ; cos cos 2 cos 5 1 sin 2 3 2. tg 2 1 sin 2 4 2 3tg tg 3.tg 3 ; 1 3tg 2 sin 2 sin 3 sin 4 4. tg 3 ; cos 2 cos 3 cos 4 sin 4 cos 4 tg 2 5. tg 2 2 ; sin 4 cos 4 ctg 2 sin 2 sin 5 sin 3 6. 2 sin ; 1 cos 2 sin 2 2 3 4 cos 2 cos 4 7. tg 4 ; 3 4 cos 2 cos 4 8.tg 3 tg 2 tg tg tg 2 tg 3 ; 9.tg ctg tg 3 ctg 3 8 cos 2 2 sin 6 37 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» IV. Доказать тождество: sin x cos x tg 3 x tg 2 x tgx 1 1. 3 cos x cos 2 tg 2 tg 2 2. sin sin cos 2 1 sin 2 tg 3. cos 2 4 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. sin 4 2 sin cos cos 4 cos 2 tg 2 1 sin 2 4 2 sin sin 2 2 cos cos 3 cos 5 cos 2 cos 2 2 cos cos cos sin 2 sin 2 cos2 2 cos cos cos cos 2 2 sin 2 tg cos 1 1 sin 4 2 3 sin 2 3 4 4 cos 2 2 4 2 ctg 4 2 5 cos 2 4 4 cos 2 2 2 2 2 sin 2 4 1 1 2 5 2ctg 4 cos 4 4 4 1 1 tg 1 tg tg 2 1 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 4 sin 2 5 cos 6 sin 4 sin 3 2 tg 5 sin 6 cos4 2 cos 2 2 1 7 2 tg 4 tg 5 ctg 2 sin 4 sin tg 1cos ctg 1 1 cos ctg 1sin tg 1 2 15. 2 2 2 2 2 2 2 Тема №14: «Тригонометрические уравнения» Справочные сведения: 1. Таблицы значений обратных тригонометрических функций 1 0 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 0 arcsin - - 2 3 4 6 6 4 - 3 2 - 3 -1 - 2 38 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» arccos 0 arcctg 3 4 1 3 arctg 6 1 3 4 6 4 2. Основные тождества: arcsin x arcsin x, x 1;1 arctg x arctgx, x R 3 6 3 0 2 - 2 3 3 1 3 - 0 2 2 6 3 5 4 -1 - 3 6 - 3 4 - 5 4 3 6 arccos x arccos x, x 1;1 arcctg x arcctgx, x R arcsin x arccos x , x R arctgx arcctgx , x R 2 2 3. Формулы решения простейших уравнений: k sin x a, a 1 x 1 arcsin a k , k Z cos x a, a 1 x arccos a 2k , k Z tgx a x arctga k , k Z ctgx a x arcctga k , k Z 4. Частные случаи уравнений: sin x 0 x k , k Z cos x 0 x sin x 1 x 2 2 k , k Z 2k , k Z cos x 1 x 2k , k Z sin x 1 x 2 2k , k Z cos x 1 x k , k Z 5. Равенство одноименных функций К простейшим уравнениям относят случаи равенства одноименных функций. Для их решения применяют следующие схемы: f x g x 2n, n Z , sin f x sin g x f x g x 2n, n Z ; f x g x 2n, n Z , cos f x cos g x f x g x 2n, n Z ; f x g x 2n, n Z , tgf x tg g x f x k , k Z ; 2 f x g x 2n, n Z , ctgf x ctggx f x k , k Z ; 6. Преобразование выражений вида a sin x b cos x 39 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» a , cos 2 a b2 2 2 При a sin x b cos x a b sin x , где определяется из условий b sin . a2 b2 a b b arcsin actg . a, b 0 arccos 2 2 2 2 a a b a b Частные случаи: 4 x 2 cos x 4 sin x cos x 2 cos sin x cos x Множество значений выражения a sin x b cos x 4 x; 2 sin x . 4 2 sin a 2 b2 a sin x b cos x a 2 b2 . 7. Полезные тождества sin sin 2 1 sin 3 3 4 2 cos cos 1 cos 3 3 4 tg tg 2 3 ctg ctg 2 tg3 3 ctg3 8. Методы решения тригонометрических уравнений I. Метод подстановки 2 Пример 1. Решить уравнение 2 sin x cos x 1 0. Решение. Заменяя sin 2 x на 1 cos 2 x, получим 2 cos 2 x cos x 1 0. После замены y cos x 1 придем к уравнению 2 y 2 y 1 0, корнями которого являются числа y1 1, y2 . 2 1 Выполняя обратную замену, получим cos x 1 или cos x . Т.е. x1 2n, n Z или 2 2 2 x2 2k , k Z . Ответ: x1 2n, n Z , x2 2k , k Z . 3 3 II. Однородные уравнения. Однородным уравнением n-ой степени относительно sin x и cos x называется уравнение вида a0 cos n x a1 cos n 1 x sin x ... an 1 cos x sin n 1 x an sin n x 0. an 0, cos x 0, Если следовательно можно разделить уравнение на cos n x и привести его к алгебраическому уравнению относительно tgx. 1 4 sin x 6 cos x. Пример 2. Решить уравнение cos x Решение. Приведем уравнение к однородному. Для этого, отметив, что cos x 0, умножим cos x, обе части уравнения на получим 2 2 2 2 2 1 4 sin x cos x 6 cos x sin x cos x 4 sin x cos x 6 cos x sin x 4 sin x cos x 5 cos 2 x 0. Получили однородное уравнение второй степени. Разделив обе части уравнения на cos 2 x 0 , tgx 5 tgx 1. tg 2 x 4tgx 5 0. получим Найдем корни: или Отсюда x1 arctg 5 n, x2 n, n Z . 4 40 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» Ответ: x1 arctg 5 n, x2 4 n, n Z III. Метод введения вспомогательного угла Уравнение вида a sin x b cos x c , где a, b, c произвольные действительные числа, можно решать методом введения вспомогательного угла. Уравнение преобразуется к виду (см. п. 6): c . a 2 b2 sin x c или sin x a 2 b2 c n n, n Z . При c a 2 b2 решений нет. Если c a 2 b2 , то x 1 arcsin 2 a b2 Пример 3. Решить уравнение 3 sin x cos x 1 . Решение: Так как a 3 , b 1 и a 2 b2 2 , то cos 3 1 , sin . Возьмем . Тогда 2 6 2 1 n 3 sin x cos x 1 sin x x 1 n, n Z 6 2 6 6 x 1 n, n Z . Ответ: x 1 n, n Z . 6 6 IV. Метод понижения порядка Метод состоит в использовании формул понижения степени, позволяющих в ряде случаев sin 2 2 x упростить исходное уравнение. Используются также формулы: sin 4 x cos 4 x 1 ; 2 3 sin 2 2 x и т.д. sin 6 x cos6 x 1 4 5 Пример 4. Решить уравнение sin 4 x cos 4 x . 8 Решение. Используя приведенные выше формулы, преобразуем уравнение к виду: 1 cos 4 x sin 2 2 x 5 3 1 sin 2 2 x . Так как sin 2 2 x , то исходное уравнение равносильно 2 2 8 4 n 1 x , n Z . Ответ: уравнению cos 4 x 0,5 4 x arccos 2n., n Z 6 2 2 n x , n Z. 6 2 V. Метод замены переменных Уравнения вида f sin x cos x, sin x cos x 0, где f - рациональная функция от указанных в скобках аргументов, могут быть сведены к уравнению относительно неизвестного t sin x cos x, так как имеет место тождество (sin x cos x)2 1 2 sin x cos x. Следовательно, n 6 6 n t2 1 можно выразить через t и произведение, т.е. sin x cos x , где знак «+» берется при 2 замене t sin x cos x, а знак «-» при t sin x cos x . Далее получаем уравнение f x 0. Пример 5. Решить уравнение sin x cos x 1 sin x cos x . t2 1 Решение. Пусть t sin x cos x , тогда sin x cos x . Данное уравнение приводится к виду 2 t2 1 2 t 1 t 2 2t 1 0 t 1 0 t 1 . Далее из уравнения sin x cos x 1 , используя 2 1 n метод вспомогательного аргумента, получим sin x и x 1 n, n Z . 4 4 4 2 41 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» Ответ: x 1 n 4 4 n, n Z . VI. Метод разложения на множители Метод заключается в переносе всех слагаемых в одну часть уравнения и разложении ее на множители. После этого уравнение разбивается на несколько других, имеющих более простой вид. Пример 6. . Решить уравнение: cos 3x sin 4x sin 2x. Решение. cos 3x sin 4 x sin 2 x. cos 3x (sin 4 x sin 2 x) 0 n x ,n Z, cos 3x 0 6 3 cos 3x 2 sin 2 x sin 3x 0 cos 3x 1 sin 2 x 0 1 sin 2 x 0 x 1n k , k Z . 6 n x 1 k , k Z , Множество решений целиком содержится в множестве 6 n n x , n Z . Ответ: x , n Z . 6 3 6 3 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ (метод подстановки) 1.6 cos 2 x 5 sin x 5 0 2.4 sin 2 2 x 2 5 3 cos 2 x 15 4 0 3.8 sin 2 x 6 sin x 2 0 4.3 sin 2 x 3 cos 2 x 12 sin x 7 0 5 cos12 x 2 sin 2 3 x 1 0 6.8 sin 4 x 13 cos 2 x 7,270 x 360 7. 2 cos 2 x 1 2 x x 2 0 2 3 sin x cos 2 x 8. 0 6 x 2 x 2 sin 2 2 x sin 2 x 9. 0 cos 3 x 1 cos 6 x cos 3 x 10. 0 2 sin 3 x 3 4 4 11.2 sin 2 sin x 5 sin sin x 2 0 3 3 12.2 sin 2 x cos 2 x sin x 0 13.2 cos 2 x 5 sin x 4 0 14.15 sin 2 x 8 sin x 2 0 15. 6 sin 2 x 6 sin x cos 2 x 1 0 12 x 2 8x 2 42 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» Ответы: 5 n 1. 2n, n Z ; 2. n, n Z ; 3. 1 arcsin n, n Z ; 2 12 4 2 n n , n Z ; 6. 330°; 7. ;0;2; 4. 1 arcsin n, n Z ; 5. 3 4 3 n 8. 2n, n Z 0; 1 n, n Z ; 9. k , k Z ; n, n Z ; 2 6 4 1 n 2n n 10. 11. 1 arcsin n; ; , n Z; 8 6 3; 9 3 1n 1 arcsin 7 n; n Z ; 8 14. 1 arcsin n 5 12. 1 arcsin n n, n Z ; 15. 2 1n arcsin 5 n; 8 1 17 n n, n Z ; 13. 1 n, n Z ; 8 6 2n, n Z 0; 1 arcsin k 6 k , k Z 0; РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ (однородные уравнения) 1.5 sin 3 x 7 cos 3 x 0 2.2 sin 2 x 5 sin x cos x 3 cos 2 x 0 3.10 sin 2 x 5 sin x cos x cos 2 x 3 4.1 7 cos 2 x 3 sin 2 x 3 5. 3 sin 2 ( x) 1 3 cos x cos x cos 2 x 0 2 2 6.4 sin x sin x cos x 0 7.sin 4 2 x sin 3 2 x cos 2 x 8 sin 2 x cos3 2 x 8 cos 4 2 x 0 1 8. 3 1 sin 2 x 3 1 cos 2 x 1 2 9.3 sin 2 x 2 3 sin x cos x 5 cos 2 x 2 10.sin 3 x sin x cos x 0 11.sin 5 3 x sin 3 3 x cos 2 3 x 8 sin 2 3x cos3 3 x 8 cos5 3x 0 12.sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 2 x 0 13.22 sin 2 7 x 3 sin 14 x 10 cos 2 7 x 10 0 14.3 sin 2 x sin 2 x 5 cos 2 x 2 0 15. 3 sin 2 x cos x 4 sin x cos 2 x 3 cos3 x 0 43 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» 2. Организация самостоятельной работы студентов 2.1. Содержание занятий 2.2. Формы и сроки выполнения заданий 2.3. Виды контроля Для удобства поместим все три подраздела раздела «Организация самостоятельной работы студентов» в одну таблицу. Таблица Содержание СРС Форма, вид Сроки выполнения контроля заданий V семестр Проверка остаточных знаний по Входная Начало изучения школьному курсу математики контрольная курса работа Подготовка к практическим Выполнение По мере проведения занятиям письменных занятий заданий Отработка материала пропущенных Вызывные 2-3 раза в месяц (в занятий консультации соответствии с графиком) Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Преобразования рациональных работа № 1 выражений» зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Преобразования иррациональных работа № 1 выражений» зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Решение рациональных и дробноработа № 1 рациональных уравнений» зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Решение рациональных и дробноработа № 1 рациональных неравенств» зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Решение уравнений содержащих работа № 2 переменную под знаком модуля» зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Неравенства со знаком модуля» работа № 2 зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме Контрольная После изучения темы «Иррациональные уравнения» работа № 2 зачет По расписанию Проверка знаний и умений по теме «Иррациональные неравенства» Проверка знаний и умений по теме «Показательные уравнения» Проверка знаний и умений по теме «Показательные неравенства» Контрольная работа № 2 зачет После изучения темы Контрольная работа № 3 зачет Контрольная работа № 3 зачет После изучения темы По расписанию По расписанию После изучения темы По расписанию 44 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» Проверка знаний и умений по теме «Логарифмические уравнения» Проверка знаний и умений по теме «Логарифмические неравенства» Проверка знаний и умений по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» Проверка знаний и умений по теме «Тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений» Проверка знаний и умений по теме «Тригонометрические неравенства» Контрольная работа № 3 зачет Контрольная работа № 3 зачет Контрольная работа № 4 зачет Контрольная работа № 4 зачет После изучения темы Контрольная работа № 4 зачет После изучения темы По расписанию После изучения темы По расписанию После изучения темы По расписанию После изучения темы По расписанию По расписанию 3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 3.1. Основная литература: Основная: 1. Бачурин, В.А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа [Текст] / В. А. Бачурин. - М. : Физматлит, 2005. - 712 с. – 2 экз. 2. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст] : учеб.пособие для студентов пед.вузов / Т. Е. Демидова ; А.П. Тонких. - М. : Академия, 2002. - 288 с. 2 экз. 5 экз. 3.2. Дополнительная литература: Дополнительная: 1. Далингер, В.А. Задачи с параметрами [Текст] : учеб.пособие / В. А. Далингер. - Омск : Амфора, 2012. - 961 с. : ил. – 2 экз. 2. Подгорная И.И. Уроки математики. Учебное пособие для поступающих в вузы. – М.: Московский лицей, 2006 (имеется только в кабинете). 2 экз. 1 экз. 3.3. Электронные ресурсы: 1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru 2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View” ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/ 3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/ 4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн": http://www.biblioclub.ru 4. Методические рекомендации для преподавателя С целью повышения эффективности преподавания дисциплины «Вводный курс математики» преподаватель должен знакомить студентов с материалом, изучаемым в курсе математики средней общеобразовательной школы. В частности, рассмотреть демонстрационный вариант КИМов ЕГЭ по математике 2011 года. Интересующимся студентам можно предложить темы для индивидуальных творческих работ. Кроме того, преподаватель и студенты должны работать (интересоваться) с соответствующими электронными ресурсами [email protected]; [email protected], http://www.ege.edu.ru. С целью эффективного преподавания и изучения дисциплины «Вводный курс математики» преподаватель и студенты должны уверенно работать с основным программным обеспечением: статистические и теоретико-вероятностные функции Microsoft Excel, MathCAD и др. 45 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» 5. Методические рекомендации для студентов Студенту следует помнить, что дисциплина «Вводный курс математики» предусматривает обязательное посещение студентом практических занятий. Она реализуется через систему аудиторных и домашних работ, контрольных работ. Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий), выполнение вариантов контрольных работ. Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде контрольных работ, зачета . IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля 1. Варианты контрольных работ Входная контрольная работа, 3 курс Варианты ЕГЭ. Часть В (обязательная). КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 Вариант 1 1. Вычислить: а) 4 0,82 0,8 1,7 1,72 ; б) 1,63 3,43 b2 c 2 Доказать тождество: 2 2 bc a a b b 4. Упростить: a b a b 3. 2 3 21 12 3 ; 2 2 2 2 a 2 b2 1 1 1 1 a c a b 2 2 2 2 2 2 : 2 2 2 2 c ac ab ab b c a 2 b ab : a b ab 2 5. х 2 2 х 2 х 2 4 х 3 0 6. хх 3х 5х 8 56 0 7. х 2 ( х 2)( х 1)3 ( х 2 1) 0 8. 3х 2 2 х 3 1 4х2 7 х 9 Вариант 2 25,33 13,73 1. Вычислить: а) 13,7 25,3 ; б) 3 2 2 11,6 2 1 1 1 2. Доказать тождество: 2 3 2 m n m n m 2mn n 2; 1 m n mn 1 2 2 : 2 2 n m n mn m a a b b 2 b ab : a b 4. Упростить: ; a b a b 2 х 1 х 2 2,9 5. х х 1 6. х 2х 1х 1х 2 40 7. ( õ 1) 3 (3 õ)( õ 2) 2 x 2 3 0 1 5х 6 2 8. 2 х 2 х 1 х 4 х 3х 2 х 2 46 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Вариант 1 2х 1 х 1 2 8. 1. х 2 2 х 3 3 х 1 x2 4x 3 x 2. 2 2x x2 1 3. x3 3x 1 x3 x 2 1 4. x x 1 5 5. x 2 3x 15 2 x 2 x 2 х 6. х 8 7. 4 2 3 2 х 9. х 2 х 1 х 2 х 1 х 1 10. x2 x 12 x 11. 7 x 7 2x х 2 13х 40 12. 0 19 х х 2 78 13. х 2 1 х 2 х 2 0 4 2 х х 2 х 2 6 х 16 Вариант 2 1. 2. х 2 16 х 33 8 х 2 х 30 3х 2 12 х 6 5 х 4 7. x 2 3x 2 x 8. 3х 2 х 2 2 9. х 4 х 4 х 3 2 х 4 1 10. 11. 2 x 10 3x 5 1 x2 x 1 3. 24 x 2 39 x 8 18 x 2 25 x 32 4. x 1 x 2 5 12. 5. 2 x 2 x 11 x 2 5 x 6 х 2 х 15 2 х 2 х 15 6. 1. 2. 3. 4 3 x 19 х х 2 78 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Вариант I 2 x2 6. 2 log 3 x 2 log 3 x 4 0 3 2 7. 8. 2 x 2 0 13. х 2 49 40 3х х 2 0 3 2 x x 3 16 36 2 81x 2 2 2 2 2 X 1 3X 3X 1 2 X 2 x 27 x 3 х 2 13х 40 7 49 5. 15 16 x 1 24 x 1 3 2x 4 4 log 1 x 2 5 x 6 1 2 x 2 5 x 1 7 49 4. lg 8 lg x 5 lg 2 lg x 7 9. log 0.5 x 2 0 2x 1 Вариант II x 1 1. 2. 3. x2 2x x 1 ( 5 2) x 1 5 2 2 14 x 3 49 x 22 x 52 X 7 X 7 52 X 1 5 7 X 1 0 4. 5. 6. 1 3 x2 1 7 x 3 49 16 21x 21 9 x 0 log 2 x 2 log 2 3x 4 4 47 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» 7. 8. 1 lg 2 x 1 lg x 9 1 2 log 2 x x 2 2 9. x 2 2 x 3 log 2 x 0 Контрольная работа № 4 Вариант 1 2 3 1. Упростить: sin sin cos cos2 2 2 cos 98 2. Вычислить: ctg 278 cos188 1 sin cos 2 sin 2 tg 3. Доказать тождество: sin 2 2 cos cos 2 4 12 4. Вычислить: cos arcsin arcsin 5 13 Решите уравнения: 5. sin 30 x sin 210 x 2 sin 495 6. 4 sin x 3cos x 2 Решите неравенства: 7. 2 cos x 2 0 4 8. ctg x 1 4 Решите уравнение: 9. 3sin 2 x 2 3 sin x cos x 5 cos 2 x 2 2 Вариант 2 3 sin x cos x tg x 2 2 1. Упростить: 3 cos x cos x tg x 2 2 sin 530 2. Вычислить: tg57 1 sin 640 1 cos cos 2 cos 3 ctg 3. Доказать тождество: sin 2 2 sin cos 2 1 1 4. Вычислить: tg arctg arctg 2 4 Решите уравнения: 5. 2 cos 2 270 x 3 sin x 0 2 1 6. sin x cos x 1 4 Решите неравенства: 48 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» 7. tg x 3 3 8. 2 cos x 1 0 Решите уравнение: 1 3 1 sin 2 x 9. 2 3 1 cos 2 x 1 2. Вопросы к зачету На зачет выносятся основные типы заданий, рассмотренных на занятиях (см. планы практических занятий). V. Терминологический минимум 1. Основные термины и понятия курса Функциональной зависимостью (функцией) называется закон, по которому каждому значению величины x X , называемой аргументом, ставится в соответствие единственное число у = f(x) из множества Y. Множество X называется областью определения функции (обозначается D f или D f ). Множеством значений E(f) числовой функции f называется множество всех a R , для которых существует хотя бы одно x D(f) такое, что f x a можно сказать иначе: E(f) состоит из тех значений а, при которых f(x) = а имеет хотя бы одно решение. Уравнением с одним неизвестным х называется равенство вида f x g x , где f x и 49 стр. из 47 стр. Рабочая программа дисциплины «Вводный курс математики» g x - произвольные функции. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «больше» ( >) или знаком «меньше» ( < ), образуют неравенство (числовое или буквенное). Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным. Решить неравенство – значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным. 50 стр. из 47 стр.
