РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра «Математического моделирования»
МАЧУЛИС В.В.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое моделирование»,
профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Мачулис В.В. Динамические системы. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма обучения.
Тюмень, 2011 г., 14 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Динамические системы [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© В.В. Мачулис, 2011.
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины:
Целью преподавания дисциплины является изучение методов качественной теории
дифференциальных уравнений, или теории динамических систем. Под динамической системой понимается любой объект, или процесс, для которых определено понятие состояn
ния (задаваемое обычно числовым вектором в R ) и изменение которых определяется
этим начальным состоянием. Определение допускает моделирование динамическими системами явлений и процессов в механике, физике, химии, теории вычислительных процессов, процессах переработки информации, совершаемых согласно некоторым алгоритмам. Выросшая в основном из задач, пришедших из приложений, теория динамических
систем превратилась в настоящее время в самостоятельную дисциплину со своими задачами и методами. Основные задачи теории динамических систем:
1) каково асимптотическое поведение систем на бесконечном интервале времени;
2) какова зависимость асимптотического поведения от начальных данных;
3) какова зависимость асимптотического поведения от возмущений.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Динамические системы» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, системы компьютерной математики.
Освоение дисциплины «Динамические системы» необходимо при написании выпускной квалификационной работы, а также последующем изучении дисциплины «Дискретная динамика» и дисциплин магистратуры, связанных с моделированием различных
процессов в природе и обществе. Этот раздел науки является необходимым для обучения
в аспирантуре по специальности «математическое моделирование».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью к анализу и синтезу (ОК-14);
умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении задач механики (ПК-23).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия теории динамических систем, определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений;
4
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области качественного анализа дифференциальных уравнений;
3) владеть: математическим аппаратом теории динамических систем, методами
анализа и решения задач, в том числе с помощью инструментальных средств.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина «Динамические системы» читается в пятом семестре. Форма промежуточной аттестации – зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц
(108 часов).
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
(семестр 5)
1
2
3
4
5
6
7
Из них
в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
2
-
4
8
2
0-6
2-3
4
4
8
16
2
0-12
4-5
4
4
8
16
2
0-12
10
10
-
20
40
6
0-30
6-7
4
4
-
10
18
2
0-10
8-9
1012
4
6
4
6
-
8
10
16
22
2
3
0-10
0-10
14
14
-
28
56
7
0-30
4
4
-
8
16
2
0-14
Всего
Модуль 3
Приложения.
Итого
часов
по теме
13-
Самостоятельная работа*
2
Модуль 1
Основные понятия и
определения теории динамических систем.
Автономные динамические системы на прямой
и на плоскости.
Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем.
Всего
Модуль 2
Консервативные и диссипативные системы.
Периодические орбиты.
Бифуркации.
Семинарские
(практические) занятия*
Лабораторные занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции*
Тема
Недели семестра
№
5
8
Хаос.
9
Показатели Ляпунова.
Всего
Итого (часов, баллов):
из них часов в интерактивной форме
14
1516
1718
4
4
4
4
12
36
9
12
36
9
-
-
8
16
2
0-14
8
16
3
0-12
24
72
48
144
20
7
20
20
0-40
0-100
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
контрольная работа
электронные практикум
Итого количество
баллов
Итого
ответ на практическом занятии
1
Информационные
системы и
технологии
коллоквиум
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
2
3
4
6
7
Модуль 1
1. Основные понятия и определения
теории динамических систем.
2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости.
3. Устойчивость неподвижных точек
нелинейных систем.
Всего
0-1
0-2
0-1
0-2
0-6
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-7
0-8
Модуль 2
0-7
0-8
0-30
4. Консервативные и диссипативные
системы.
5. Периодические орбиты.
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
6. Бифуркации.
0-2
0-2
0-3
0-3
0-10
Всего
0-7
0-9
0-30
7. Приложения.
0-6
0-8
Модуль 3
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
8. Хаос.
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
9. Показатели Ляпунова.
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
6
Всего
0-9
0-9
0-11
0-11
0-40
Итого (часов, баллов):
0-22
0-25
0-25
0-28
0-100
из них часов в интерактивной форме
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
1.
2
3
4.
5.
6.
7.
8.
Модули и темы
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Модуль 1
1. Основные понятия и работа с лиопределения теории ди- тературой,
намических систем.
решение домашнего задания
2. Автономные динамиработа с лические системы на прятературой,
мой и на плоскости.
решение домашнего задания
3. Устойчивость непоработа с лидвижных точек нелиней- тературой,
ных систем.
решение домашнего задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4. Консервативные и работа с лидиссипативные системы. тературой,
решение домашнего задания
5. Периодические орби- работа с литы.
тературой,
решение домашнего задания
6. Бифуркации.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7. Приложения.
работа с литературой,
решение домашнего задания
8. Хаос.
работа с литературой,
решение до-
подготовка к
коллоквиуму
Неделя семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
4
0-6
2-3
8
0-12
4-5
8
0-12
20
0-30
подготовка к
коллоквиуму
6-7
10
0-10
подготовка к
коллоквиуму
8-9
8
0-10
10-12
10
28
0-10
0-30
подготовка к
коллоквиуму
и контрольной работе
13-14
8
0-14
подготовка к
коллоквиуму
и контроль-
15-16
8
0-14
7
машнего за- ной работе
дания
9.
9. Показатели Ляпунова.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
17-18
8
24
72
0-12
0-40
0-100
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Дискретная динамика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
Выпускная квалификационная работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Основные понятия и определения теории динамических систем: Геометрическое представление решений дифференциальных уравнений, равновесные точки, фазовые портреты.
Тема 2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости: Типы неподвижных точек, канонический фазовый портрет, матрица линейного преобразования
(матрица перехода), устойчивость равновесных решений.
Тема 3. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем: Гиперболические
и негиперболические неподвижные точки, теорема о линеаризации, некоторые классические модели.
Тема 4. Консервативные и диссипативные системы: Консервативные системы и
первые интегралы, диссипативные системы, предельные циклы, градиентные системы,
нелинейный осциллятор, нейронные сети.
Тема 5. Периодические орбиты: Теорема Пуанкаре-Бендиксона, модель химической реакции, система Ван дер Поля, теория индексов, критерий Дюлака.
Тема 6. Бифуркации: Седло-узел, транскритическая, вильчатая, Андронова-Хопфа,
гомоклиническая.
Тема 7. Приложения: Химический реактор, нелинейные электрические цепи, модель Вольтерра-Лотки.
8
Тема 8. Хаос: Существенная зависимость от начальных данных, хаотические аттракторы, система Лоренца, аттрактор Рёслера.
Тема 9. Показатели Ляпунова: Вычисление показателей Ляпунова, тест для хаотического аттрактора.
6. Планы практических занятий
1. Основные понятия и определения теории динамических систем (2 часа):
1) геометрическое представление решений дифференциальных уравнений;
2) равновесные точки;
3) фазовые портреты.
2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости (4 часа):
1) типы неподвижных точек;
2) канонический фазовый портрет;
3) матрица линейного преобразования (матрица перехода);
4) устойчивость равновесных решений.
3. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем (4 часа):
1) гиперболические и негиперболические неподвижные точки;
2) теорема о линеаризации;
3) некоторые классические модели.
4. Консервативные и диссипативные системы (4 часа):
1) консервативные системы и первые интегралы;
2) диссипативные системы;
3) предельные циклы;
4) градиентные системы;
5) нелинейный осциллятор;
6) нейронные сети.
5. Периодические орбиты(4 часа):
1) теорема Пуанкаре-Бендиксона;
2) модель химической реакции;
3) система Ван дер Поля;
4) теория индексов;
5) критерий Дюлака.
6. Бифуркации (6 часов):
1) бифуркация седло-узел;
9
2) транскритическая бифуркация;
3) вильчатая бибуркация;
4) бифуркация Андронова-Хопфа;
5) гомоклиническая бифуркация.
7. Приложения (4 часа):
1) химический реактор;
2) нелинейные электрические цепи;
3) модель Вольтерра-Лотки.
8. Хаос (4 часа):
1) существенная зависимость от начальных данных;
2) хаотические аттракторы;
3) система Лоренца;
4) аттрактор Рёслера.
9. Показатели Ляпунова (4 часа):
1) вычисление показателей Ляпунова;
2) тест для хаотического аттрактора.
Итоговая контрольная работа.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольных работ
1. Для каждого из следующих уравнений найти неподвижные точки, определить их
тип, нарисовать фазовый портрет, найти общее решение и изобразить несколько интегральных кривых на поле направлений.
(а) x   x 3  3x ; (б) x   sin 2 x ; (в) x  1  x 2 ; (г) x  ax  2 (a – число).
2. Для следующих уравнений найти потенциалы и с их помощью исследовать неподвижные точки на устойчивость.
(а) x  1  x  x ; (б) x  1  sin 2x .
3. В каждом их следующих уравнений найти бифуркационное значение, определить
тип бифуркации и нарисовать бифуркационную диаграмму.
(а) x  x 2  2x  3x ; (б) x 
x
x .
x 7
2
10
4. Исследовать систему с «неполным» параметром k. Нарисовать бифуркационные
диаграммы уравнения x  x 2  x  k при k  0, k  0 и k  0 . Изобразить на плоскости
, k 
области, соответствующие различным типам фазовых портретов.
5. Исследовать систему на наличие/отсутствие периодических орбит. Фазовый портрет доказательством не является, а только подтверждением.
 x  y cos x
.

 y  sin x
6. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2  y 2
.

 y  2 xy
7. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2
.


y


y

 x   x  y ( x  a )  b
8. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и b  a

y


cx
(
x

a
)

xb

на области D   X  R 2 : x  a и y 
 доказать, что не существует периодических
xa

орбит, проходящих через некую точку области D .
 x  ax  yx
9. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и c  a на обла2
 y  bx  cy
сти D   X  R 2 : y  0 доказать, что не существует периодических орбит, проходящих
через некую точку области D .

0, x  1
 x  y
10. Рассмотреть систему 
, a, b  0 , g ( x)  
.
2

k , x  1
 y    2b  g ( x)  ay  a x
Показать, что при k  2b не существует, а при k  2b - существуют периодические
орбиты.
7.2. Примерные вопросы к зачёту
 4 10 
1. Дана система X   A  X , где A  
 . Найти:
 1 3 
11
(а) жорданову форму;
(б) матрицу перехода М;
(в) матрицу А1 для системы X   A1 X , получающейся из исходной после ее по
ворота на угол  .
2
 x  x 2  y 2
2. Дана система 
. Найти неподвижные точки и определить их тип.
 y  xy  1
3. Определить, как меняются главные направления (директрисы) седловой точки
 x   x  x 2
нелинейной
системы
по отношению к ее линеаризации.
0;0
 


y

x

y

4. Исследовать дифференциальное уравнение x   x   tanh x . Найти бифуркационное значение, построить диаграмму и определить тип бифуркации.
 x  2 x  y
5. Исследовать систему 
. Найти и определить тип бифуркации. Нари2

y



x

y

совать бифуркационную диаграмму.
6. Построить фазовый портрет и определить тип бифуркации при   0 для системы
 x   x  y  xy 2

.

2

 y  x   y  x
 x  x  x 1  x   y 
7. Рассмотреть модель 
, где x  0 - популяция жертв, y  0 - по y  y  x  a 
пуляция хищников и a  0 - параметр. Найти и классифицировать неподвижные точки системы. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации.
8. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации для системы
 x   x  y  sin x

 y  x  y
в начале координат. Построить фазовые портреты для значений  в окрестности 0 .
 x   x  2 y 3  2 y 4
9. Используя функцию Ляпунова, показать, что система 
не имеет
 y   x  y  xy
предельных циклов.
 x   x  y  x  x 2  2 y 2 

10. Найти периодические решения системы 
.
2
2
 y  x  y  y  x  2 y 
12
 x  2, x  1,
 x    y  F ( x) 


11. Рассмотреть систему 
, где F ( x)   x, x  1, Имеются ли у
x
 x  2, x  1.
 y   


этой системы периодические решения? Построить фазовый портрет.
3

 x  4 x  y
12. Рассмотреть систему 
. Найти неподвижные точки и классифи3

 y  3 x  y  y
цировать их. Найти инвариантные линии. Построить фазовый портрет.
13. Для уравнения x  x   x 1  x  :
(а) найти неподвижные точки и их характер;
(б) найти бифуркационное значение и тип бифуркации;
(в) построить бифуркационную диаграмму.
 x    y  x 1  x 2  y 2 

14. Доказать наличие предельного цикла у системы 
и по2
2
 y   x  y 1  x  y 
строить ее фазовый портрет.
 x  x  y 2  x 

15. Найти положительно инвариантное множество для системы 
и
2
 y   y  y  x 
построить ее фазовый портрет.
8. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматри
вается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм
проведения занятий:

практические занятия в диалоговом режиме;

компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

научные дискуссии;

работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
Литература основная
1. Мачулис В.В. Введение в динамические системы: учебное пособие. Тюмень:
Изд-во ТюмГУ, 2013, 196 с;
13
2. Мачулис В.В. Основы математического моделирования в Матлабе: учебное пособие. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2013, 200 с.
Литература дополнительная
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: «Наука», 1981. –
568 с.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2009. – 320 с.
3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1975.
– 240 с.
4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: «Наука», 1976. – 496 с.
5. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и
бифуркации векторных полей. Пер. с англ., Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 560 с.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: «Физматлит», 2001. – 295 с.
7. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Тюмень, «Тюменский
издательский дом», 2008. – 131 с.
8. Степаньянц Г.А. Теория динамических систем: Учебное пособие. М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 312 с.
9. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной
теории в нелинейной динамике. Часть 1. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416 с.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
для самостоятельной работы.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 2014 / 2015 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
1.
обновлен список основной литературы.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании
кафедры
______________________________________ «__» _______________201 г.
14

Заведующий кафедрой ___________________/__Татосов А.В.__________/
15
КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ»
010800.62 «Механика и математическое моделирование»,
профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»
очная форма обучения
код
Формулировка компетенции
Результат
обучения в
целом
Знает
ОК14
способностью к анализу и синтезу
Умеет
Владеет
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
о возможности мо- основные приемы
делирования меха- моделирования финических систем
зических систем
средствами качесредствами качественной теории
ственной теории
дифференциальных дифференциальных
уравнений
уравнений
приемы и методы
качественного исследования основных моделей механики
анализировать простейшие модели
методами качественной теории
проводить анализ
основных математических моделей
механики, с использованием
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
проводить качественное исследование основных
математических
моделей механики
основными приемами и методами
качественной теории обыкновенных
дифференциальных
уравнений
приемами и методами качественной
теории обыкновенных дифференциальных уравнений
приемами и методами качественного исследования
реальных механических систем
Виды занятий
Оценочные
средства
Лекции,
Проверка допрактические машних заданий,
занятия
самостоятельные
и контрольные
работы
16
Знает
ПК-5
умением на основе
анализа увидеть и
корректно сформулировать результат
Умеет
Владеет
ПК23
владением методами
математического и
алгоритмического
моделирования при
решении задач механики
Знает
как на основании
приемов качественного исследования сделать выводы о поведении
системы в общих
чертах
как на основании
приемов качественного исследования сделать выводы о поведении
динамической системы в целом
как на основании
приемов качественного исследования сделать
выводы о поведении динамической
системы, как
определить характер сложных траекторий
проводить простейшие исследования динамических систем
исследовать основные типы динамических систем
исследовать динамические системы,
находить особые
траектории, бассейны аттракторов
и др.
приемами и методами исследования
стандартных динамических систем
достаточным объемом знаний для
правильного вывода в качественном
исследовании основных видов моделей механики
умениями и навыками полного исследования поведения динамической системы
простейшие приемы компьютерного
моделирования
основные способы
анализа динамических систем с помощью компьютера
методы и приемы
применения систем компьютерной математики
для исследования
поведения динамических систем
Лекции,
Проверка допрактические машних заданий,
занятия
самостоятельные
и контрольные
работы
Лекции,
Проверка допрактические машних заданий,
занятия
самостоятельные
и контрольные
работы
17
Умеет
Владеет
применять компьютер для иллюстрации поведения
динамической системы
применять системы
компьютерной математики для исследования поведения динамических систем
эффективно использовать возможности компьютерной алгебры
для исследования
динамических систем
основными навыками применения
систем компьютерной математики
для анализа типовых динамических
систем
навыками применения систем компьютерной математики для анализа
типовых динамических систем
базовыми знаниями языков программирования
Maple и Matlab,
достаточными для
исследования с их
помощью динамических систем
18