ГОУ ВПО НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ГОУ ВПО НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математического анализа
Учебная программа по дисциплине
Методы исследования динамических систем
Направление 540200 физико-математическое образование
Степень (квалификация) – магистр физико-математического образования
Магистерская программа
540201 «Математическое образование»
(Дисциплина по выбору студента)
Составитель:
канд. физ.-мат. наук, доцент
кафедры математического анализа
Л.С. Сперанская
Программа утверждена на Совете
математического факультета
26 января 2005 г., протокол № 4
Декан математического факультета,
профессор
_____________Е.Н. Перевощикова
Пояснительная записка
Базовые дисциплины, включающие в себя вопросы теории
дифференциальных уравнений, ограничиваются в основном рассмотрением
методов решений дифференциальных уравнений и систем, приводящих к
точному их решению. Но многие системы дифференциальных уравнений,
являющиеся математическими моделями реальных процессов, не могут быть
решены такими методами. Предлагаемый курс является небольшим шагом к
восполнению имеющегося пробела. Здесь излагаются общие сведения и
понятия качественной теории дифференциальных уравнений, необходимые
для понимания и анализа топологии траекторий в фазовом пространстве и
бифуркаций систем. Это позволит будущим магистрам разобраться в
сложных явлениях, возникающих в нелинейных многомерных системах.
Программа курса рассчитана на четыре семестра. Особое внимание
уделяется самостоятельной работе слушателей.
Формы организации
самостоятельной работы традиционны: изучение научно-методической
литературы, подготовка сообщений на практических занятиях, контрольные
и самостоятельные работы, индивидуальные задания на построение и
исследование математических моделей конкретных систем.
Содержание
Общие понятия динамических систем.
Динамические системы и их классификация. Геометрическая
интерпретация решений системы на фазовой плоскости и в фазовом
пространстве. Состояния равновесия и замкнутые траектории системы.
Предельные циклы и сепаратрисы. Условия продолжимости решения на
бесконечный интервал времени. Теоремы о непрерывности и
дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных
данных.
Устойчивость состояний равновесия динамических систем.
Устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения системы.
Функции Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.
Качественные методы исследования нелинейных динамических
систем на фазовой плоскости.
Типы и устойчивость состояний равновесия. Замкнутые фазовые
траектории. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы. Предельные
циклы и автоколебания. Индексы Пуанкаре. Критерии отсутствия замкнутых
фазовых траекторий. Поведение траекторий на бесконечности. Оценка
местоположения предельных циклов. Зависимость качественной картины от
параметра. Грубые динамические системы. Бифуркации динамических
систем 2-ого порядка. Простейшие бифуркации, не связанные с рождением
предельных циклов. Бифуркации, связанные с рождением предельных
циклов. Уравнения колебаний.
Системы с цилиндрическим фазовым пространством.
Особенности фазовых траекторий рассматриваемых систем. Фазовые
портреты простейшей динамической системы 2-ого порядка в зависимости от
параметра. Бифуркационное значение параметра. Предельные циклы первого
и второго рода. Дихотомические системы. Глобальная асимптотическая
устойчивость.
Топологическая теория динамических систем.
Предельные свойства динамических систем. Предельные множества
движений. Устойчивость по Лагранжу. Критерий устойчивости по Лагранжу
движения общей динамической системы. Устойчивость по Пуассону.
Примеры устойчивых по Пуассону движений. Основные свойства
устойчивых по Пуассону движений. Блуждающие и неблуждающие точки.
Множество
центральных
движений.
Минимальные
множества.
Характеристическое
свойство
минимального
множества.
Почти
рекуррентные и
рекуррентные движения. Связь между почти
рекуррентными и
рекуррентными движениями и
минимальными
множествами. Динамическая система Бебутова. Почти периодические
движения. Обобщения динамических систем.
Примерный тематический план изучения дисциплины
«Методы исследования динамических систем»
№
п/п
Наименование темы
Общие понятия динамических
систем.
Устойчивость состояний
II. равновесия динамических
систем
Качественные методы
исследования нелинейных
III.
динамических систем на
фазовой плоскости
Системы с цилиндрическим
IV.
фазовым пространством
Топологическая теория
V.
динамических систем
I.
Всего
часов
В том числе ауд. часов
всего
лекц.
практ.
Сам.
раб.
28
14
6
6
14
42
16
10
6
26
110
30
16
14
80
60
20
12
8
40
60
20
20
8
40
300
100
58
42
200
Примерные темы магистерских диссертаций.
1. Исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений
методом Ляпунова.
2. Равномерное распределение и дискретные динамические системы.
3. Предельные циклы, определяемые автономной системой двух
дифференциальных уравнений.
4. Исследование устойчивости состояний равновесия однородной
линейной системы по характеристическим числам.
5. Построение множества нормальных систем дифференциальных
уравнений по заданным траекториям.
Литература (основная)
1. Немыцкий
В.В.,
Степанов
В.В.
Качественная
теория
дифференциальных уравнений. Изд.3 (исп.) – М.: Эдиториал УРСС,
2004.
2. Андронов А.А., Витт А.А. Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука,
1981.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А. и др. Качественная теория
динамических систем. М.: Наука, 1966, гл. 1-5.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А. и др. Теория бифуркаций
динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.
5. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 2003.
6. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. – Санкт-Петербург "Лань", 2003.
7. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику.- Кишинев:
РИСО МССР, 1970.
8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 2003.
9. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л.: Изд. ЛГУ,
2003.
10. Самойленко А.Н., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные
уравнения. Примеры и задачи.– Киев: Вища шк., 1984
11. Матвеев Н.М. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.–
Сп.б.: Лань,2002.
Литература (дополнительная)
12. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний.– М.:Высш.шк.,2001.
13. Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний
сосредоточенных систем. Учебное пособие. – Горький, изд. ГГУ, 1980.
14. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных
систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
15. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальные уравнения.
Избранные труды. В 3-х т. М.: Наука 1971-1974.
16. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.
17. Базыкин А.Д. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989
18. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.