РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра «Математического моделирования»
МАЧУЛИС В.В.
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика»,
профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Мачулис В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.62 «Математика», профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы,
оптимальное управление», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 15 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Качественная теория дифференциальных уравнений [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru.,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© В.В. Мачулис, 2011.
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины:
Целью преподавания дисциплины является изучение методов качественной теории
дифференциальных уравнений, или теории динамических систем. Под динамической системой понимается любой объект, или процесс, для которых определено понятие состояn
ния (задаваемое обычно числовым вектором в R ) и изменение которых определяется
этим начальным состоянием. Определение допускает моделирование динамическими системами явлений и процессов в механике, физике, химии, теории вычислительных процессов, процессах переработки информации, совершаемых согласно некоторым алгоритмам. Выросшая в основном из задач, пришедших из приложений, теория динамических
систем превратилась в настоящее время в самостоятельную дисциплину со своими задачами и методами. Основные задачи качественной теории:
1) каково асимптотическое поведение систем на бесконечном интервале времени;
2) какова зависимость асимптотического поведения от начальных данных;
3) какова зависимость асимптотического поведения от возмущений.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Качественная теория дифференциальных уравнений» входит в цикл
профессиональных дисциплин в вариативной части.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, системы компьютерной математики.
Освоение дисциплины «Качественная теория дифференциальных уравнений»
необходимо при написании выпускной квалификационной работы, а также последующем
изучении дисциплины «Дискретная динамика» и дисциплин магистратуры, связанных с
моделированием различных процессов в природе и обществе. Этот раздел науки является
необходимым для обучения в аспирантуре по специальности «математическое моделирование».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);
исследовательскими навыками (ОК-7);
способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);
умением определять общие формы, закономерности, инструментальные средства
отдельной предметной области (ПК1);
умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
4
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием конкретных постановок классических задач (ПК-9);
пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
владением методами алгоритмического моделирования при анализе постановок задач (ПК-19);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при постановках прикладных задач (ПК-20).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия качественной теории дифференциальных уравнений,
определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений;
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области качественного анализа дифференциальных уравнений;
3) владеть: математическим аппаратом качественной теории дифференциальных
уравнений, методами анализа и решения задач, в том числе с помощью инструментальных
средств.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина «Качественная теория дифференциальных уравнений» читается в шестом
семестре. Форма промежуточной аттестации – зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины
составляет 3 зачётных единиц (108 часов).
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
(семестр 5)
1
Итого
часов
по теме
Из них
в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
1
-
3
6
3
0-6
Самостоятельная работа*
2
Модуль 1
Основные понятия и
определения качествен-
Семинарские
(практические) занятия*
Лабораторные занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции*
Тема
Недели семестра
№
5
2
3
4
5
6
ной теории дифференциальных уравнений.
Автономные динамические системы на прямой
и на плоскости.
Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем.
Всего
Модуль 2
Консервативные и диссипативные системы.
Периодические орбиты.
Бифуркации.
2-3
4
2
6
12
3
0-12
4-5
4
2
6
12
3
0-12
10
5
-
15
30
9
0-30
6-7
4
2
-
7
13
3
0-10
8-9
1012
4
6
2
3
-
7
7
13
16
3
3
0-10
0-10
14
7
-
21
42
9
0-30
4
2
-
6
12
3
0-14
4
2
-
6
12
3
0-14
4
2
6
12
3
0-12
12
36
13
6
18
14
18
54
36
108
27
9
27
27
0-40
0-100
Всего
7
Модуль 3
Приложения.
8
Хаос.
9
Показатели Ляпунова.
Всего
Итого (часов, баллов):
из них часов в интерактивной форме
1314
1516
1718
-
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
ответ на практическом занятии
контрольная работа
электронные практикум
Итого количество
баллов
1
Итого
коллоквиум
№ темы
Устный опрос
ИнформаПисьменционные
ные работы системы и
технологии
2
3
4
6
7
Модуль 1
1. Основные понятия и определения
качественной теории дифференци-
0-1
0-2
0-1
0-2
0-6
6
альных уравнений..
2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости.
3. Устойчивость неподвижных точек
нелинейных систем.
Всего
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-7
0-8
Модуль 2
0-7
0-8
0-30
4. Консервативные и диссипативные
системы.
5. Периодические орбиты.
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
6. Бифуркации.
0-2
0-2
0-3
0-3
0-10
Всего
0-7
0-9
0-30
7. Приложения.
0-6
0-8
Модуль 3
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
8. Хаос.
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
9. Показатели Ляпунова.
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
Всего
0-9
0-9
0-11
0-11
0-40
Итого (часов, баллов):
0-22
0-25
0-25
0-28
0-100
из них часов в интерактивной форме
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
1.
Модули и темы
Модуль 1
1. Основные понятия и
определения качественной теории дифференциальных уравнений.
2
2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости.
3
3. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем.
4.
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
работа с литературой,
решение домашнего задания
работа с литературой,
решение домашнего задания
работа с литературой,
решение домашнего задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4. Консервативные и работа с лидиссипативные системы. тературой,
подготовка к
коллоквиуму
подготовка к
коллоквиуму
Неделя семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
3
0-6
2-3
6
0-12
4-5
6
0-12
15
0-30
7
0-10
6-7
7
5.
6.
7.
8.
9.
решение домашнего задания
5. Периодические орби- работа с литы.
тературой,
решение домашнего задания
6. Бифуркации.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7. Приложения.
работа с литературой,
решение домашнего задания
8. Хаос.
работа с литературой,
решение домашнего задания
9. Показатели Ляпунова.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
подготовка к
коллоквиуму
8-9
7
0-10
10-12
7
21
0-10
0-30
подготовка к
коллоквиуму
и контрольной работе
13-14
6
0-14
подготовка к
коллоквиуму
и контрольной работе
15-16
6
0-14
17-18
6
18
54
0-12
0-40
0-100
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Дискретная динамика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
Выпускная квалификационная работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Основные понятия и определения качественной теории дифференциальных
уравнений.: Геометрическое представление решений дифференциальных уравнений, равновесные точки, фазовые портреты.
Тема 2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости: Типы неподвижных точек, канонический фазовый портрет, матрица линейного преобразования
(матрица перехода), устойчивость равновесных решений.
8
Тема 3. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем: Гиперболические
и негиперболические неподвижные точки, теорема о линеаризации, некоторые классические модели.
Тема 4. Консервативные и диссипативные системы: Консервативные системы и
первые интегралы, диссипативные системы, предельные циклы, градиентные системы,
нелинейный осциллятор, нейронные сети.
Тема 5. Периодические орбиты: Теорема Пуанкаре-Бендиксона, модель химической реакции, система Ван дер Поля, теория индексов, критерий Дюлака.
Тема 6. Бифуркации: Седло-узел, транскритическая, вильчатая, Андронова-Хопфа,
гомоклиническая.
Тема 7. Приложения: Химический реактор, нелинейные электрические цепи, модель Вольтерра-Лотки.
Тема 8. Хаос: Существенная зависимость от начальных данных, хаотические аттракторы, система Лоренца, аттрактор Рёслера.
Тема 9. Показатели Ляпунова: Вычисление показателей Ляпунова, тест для хаотического аттрактора.
6. Планы практических занятий
1. Основные понятия и определения качественной теории дифференциальных
уравнений. (1 часа):
1) геометрическое представление решений дифференциальных уравнений;
2) равновесные точки;
3) фазовые портреты.
2. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости (2 часа):
1) типы неподвижных точек;
2) канонический фазовый портрет;
3) матрица линейного преобразования (матрица перехода);
4) устойчивость равновесных решений.
3. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем (2 часа):
1) гиперболические и негиперболические неподвижные точки;
2) теорема о линеаризации;
3) некоторые классические модели.
4. Консервативные и диссипативные системы (2 часа):
1) консервативные системы и первые интегралы;
9
2) диссипативные системы;
3) предельные циклы;
4) градиентные системы;
5) нелинейный осциллятор;
6) нейронные сети.
5. Периодические орбиты(2 часа):
1) теорема Пуанкаре-Бендиксона;
2) модель химической реакции;
3) система Ван дер Поля;
4) теория индексов;
5) критерий Дюлака.
6. Бифуркации (3 часа)):
1) бифуркация седло-узел;
2) транскритическая бифуркация;
3) вильчатая бибуркация;
4) бифуркация Андронова-Хопфа;
5) гомоклиническая бифуркация.
7. Приложения (2 часа):
1) химический реактор;
2) нелинейные электрические цепи;
3) модель Вольтерра-Лотки.
8. Хаос (2 часа):
1) существенная зависимость от начальных данных;
2) хаотические аттракторы;
3) система Лоренца;
4) аттрактор Рёслера.
9. Показатели Ляпунова (2 часа):
1) вычисление показателей Ляпунова;
2) тест для хаотического аттрактора.
Итоговая контрольная работа.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольных работ
10
1. Для каждого из следующих уравнений найти неподвижные точки, определить их
тип, нарисовать фазовый портрет, найти общее решение и изобразить несколько интегральных кривых на поле направлений.
(а) x   x 3  3x ; (б) x   sin 2 x ; (в) x  1  x 2 ; (г) x  ax  2 (a – число).
2. Для следующих уравнений найти потенциалы и с их помощью исследовать неподвижные точки на устойчивость.
(а) x  1  x  x ; (б) x  1  sin 2x .
3. В каждом их следующих уравнений найти бифуркационное значение, определить
тип бифуркации и нарисовать бифуркационную диаграмму.
(а) x  x 2  2x  3x ; (б) x 
x
x .
x 7
2
4. Исследовать систему с «неполным» параметром k. Нарисовать бифуркационные
диаграммы уравнения x  x 2  x  k при k  0, k  0 и k  0 . Изобразить на плоскости
, k 
области, соответствующие различным типам фазовых портретов.
5. Исследовать систему на наличие/отсутствие периодических орбит. Фазовый портрет доказательством не является, а только подтверждением.
 x  y cos x
.

 y  sin x
6. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2  y 2
.

 y  2 xy
7. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2
.

 y   y
 x   x  y ( x  a )  b
8. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и b  a
 y  cx( x  a)
xb

на области D   X  R 2 : x  a и y 
 доказать, что не существует периодических
xa

орбит, проходящих через некую точку области D .
11
 x  ax  yx
9. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и c  a на обла2
 y  bx  cy


сти D  X  R 2 : y  0 доказать, что не существует периодических орбит, проходящих
через некую точку области D .
0, x  1

 x  y
10. Рассмотреть систему 
, a, b  0 , g ( x)  
.
2

y


2
b

g
(
x
)
ay

a
x


k
,
x

1



Показать, что при k  2b не существует, а при k  2b - существуют периодические
орбиты.
7.2. Примерные вопросы к зачёту
 4 10 
1. Дана система X   A  X , где A  
 . Найти:
 1 3 
(а) жорданову форму;
(б) матрицу перехода М;
(в) матрицу А1 для системы X   A1 X , получающейся из исходной после ее по
ворота на угол  .
2
 x  x 2  y 2
2. Дана система 
. Найти неподвижные точки и определить их тип.
 y  xy  1
3. Определить, как меняются главные направления (директрисы) седловой точки
 x   x  x 2
по отношению к ее линеаризации.
 0;0  нелинейной системы 
 y  x  y
4. Исследовать дифференциальное уравнение x   x   tanh x . Найти бифуркационное значение, построить диаграмму и определить тип бифуркации.
 x  2 x  y
5. Исследовать систему 
. Найти и определить тип бифуркации. Нари2

y



x

y

совать бифуркационную диаграмму.
6. Построить фазовый портрет и определить тип бифуркации при   0 для системы
2
 x   x  y  xy
.

2
 y  x   y  x
12
 x  x  x 1  x   y 
7. Рассмотреть модель 
, где x  0 - популяция жертв, y  0 - по y  y  x  a 
пуляция хищников и a  0 - параметр. Найти и классифицировать неподвижные точки системы. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации.
8. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации для системы
 x   x  y  sin x

 y  x  y
в начале координат. Построить фазовые портреты для значений  в окрестности 0 .
 x   x  2 y 3  2 y 4
9. Используя функцию Ляпунова, показать, что система 
не имеет
 y   x  y  xy
предельных циклов.
 x   x  y  x  x 2  2 y 2 

10. Найти периодические решения системы 
.
2
2

y

x

y

y
x

2
y



 x  2, x  1,
 x    y  F ( x) 


11. Рассмотреть систему 
, где F ( x)   x, x  1, Имеются ли у
x
 x  2, x  1.
 y   


этой системы периодические решения? Построить фазовый портрет.
 x  4 x  y 3
12. Рассмотреть систему 
. Найти неподвижные точки и классифи3
 y  3 x  y  y
цировать их. Найти инвариантные линии. Построить фазовый портрет.
13. Для уравнения x  x   x 1  x  :
(а) найти неподвижные точки и их характер;
(б) найти бифуркационное значение и тип бифуркации;
(в) построить бифуркационную диаграмму.
 x    y  x 1  x 2  y 2 

14. Доказать наличие предельного цикла у системы 
и по2
2

y


x

y
1

x

y



строить ее фазовый портрет.
 x  x  y 2  x 

15. Найти положительно инвариантное множество для системы 
и
2

y


y
y

x



построить ее фазовый портрет.
13
8. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Качественная теория дифференциальных уравнений» предусматри
вается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм
проведения занятий:

практические занятия в диалоговом режиме;

компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

научные дискуссии;

работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
Литература основная
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: «Наука», 1981. –
568 с.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1975.
– 240 с.
3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: «Наука», 1976. – 496 с.
4. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: «Физматлит», 2001. – 295 с.
5. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Тюмень, «Тюменский
издательский дом», 2008. – 131 с.
Литература дополнительная
1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2009. – 320 с.
2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и
бифуркации векторных полей. Пер. с англ., Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 560 с.
3. Степаньянц Г.А. Теория динамических систем: Учебное пособие. М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 312 с.
4. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной
теории в нелинейной динамике. Часть 1. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416 с.
14
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
для самостоятельной работы.
15