Типовые задания для специальности: «Математические методы в экономике» Оптимизация и модели исследования операций 1. Найти решение задачи линейного программирования 2 x 1 3 x 2 2 x3 3 x 4 min; 2 x1 x 2 x3 x 4 2, x1 3 x 2 x3 x 4 1, xi 0, i 1,2,3,4. 2. Решить задачу линейного программирования. Используя теорию двойственности, доказать правильность полученного решения 4 x 1 4 x3 x 4 max; 2 x1 x 2 x3 x 4 2, x1 3 x 2 x3 1, xi 0, i 1,2,3,4. 3. Проверить на оптимальность заданные точки x12 x 22 x1 x3 min x1 2 x2 2 x3 3 3x1 x2 x3 4 xi 0, i 1,2,3. x1 (1,0,1), x 2 (1,1,0), x 3 (0,0,3 / 2) 4. Решить задачу графически. Используя теорему Куна-Таккера доказать правильность полученного решения f ( x) x1 x2 min x12 x22 4 x1 x2 1 5. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ. x1 x2 x1 (0) 1 x 2 x1 u 2 x2 (0) 1 1 u (t ) 1, t [0,1] J (u) x1 (1) x2 (1) min 6. Найти оптимальное управление. Является ли принцип максимума Л.С. Понтрягина достаточным условием оптимальности в задаче? Обосновать ответ. x1 x2 u12 x1 (0) 0 x 2 x1 2u2 x2 (0) 1 u1 (t ) 1,0,2, 1 u 2 (t ) 2, t [0, ] J (u ) x2 ( ) u 2 (t )dt min 0 7. Найти допустимые экстремали в задаче вариационного исчисления 2 J(x) ( x 2 6xt )dt min; 0 x(0) 0, x(2) 8. Теория вероятностей 1. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращений извлекается 3 шара. Случайная величина X – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Вычислить функцию распределения вероятностей F X (x ) и построить ее график. 2. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Случайная величина X – число появлений двойки. Описать закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Найти функцию распределения вероятностей F X (x) и построить ее график. 3. Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p. Случайная величина X – число появления события A в n опытах. Построить ряд, многоугольник и функцию распределения случайной величины X, найти ее математическое ожидание и дисперсию, если n=3, p=0,3. 4. Случайная величина X распределена по закону: 0 2 4 xi pi 0,25 p1 p2 Известно, что DX=2, p1 p 2 . Найти значения параметров p1 и p 2 . Вычислить MX. 5. Случайная величина X распределена по закону с функцией плотности f (x) , зависящей от постоянного параметра a: ax 2 , 0 x 2 f ( x) 0, x 0, x 2 Найти: а) значение параметра a; в) функцию распределения вероятностей F X (x ) ; с) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. 6. Функция распределения случайной величины X, зависящей от постоянных параметров a и b, имеет следующий вид: x 0, 0, a 1 F ( x) x 2 , 0 x b, 2 x b. 1, Известно, что MX=2. P X MX DX . Найти значения параметров a и b. Вычислить Линейная алгебра 1) Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: 1 1 0 5 4 0 2 1 2 2) Выяснить какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем R или C: 4 7 5 4 5 1 1 9 4 Найти этот базис и соответствующий вид матрицы. 3) Найти ранг матрицы: 2 5 3 1 1 0 1 1 5 1 0 1 3 0 4 1 4) Найти базис и размерность подпространства пространства строк, натянутого на данную систему векторов: f1=(1,1,1,1), f2=(2,1,1,0), f3=( 1, 1, 1, 1) f4=(1,2,4,3), f5=(0,1,2,3); 5) Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис пространства, порождённого векторами: a) (1,2,1,4) (4,1,1,1) (3,1,1,1); 7) Решить матричное уравнение: 1 0 2 1 X 4 3 4 3 8) Найти общее решение и фундаментальную систему решений систем уравнений: x1+x2+x3+x4=0 2x1- x2- 2x3+x4=0 9)Вычислить определитель: с a 0 b c d 0 e 0 Математический анализ 1. Найти предел: 5x 1 4 . x x 2 2 x 15 lim 2. Продифференцировать функцию: 3. Найти неопределенный интеграл: y (ctgx3 ) ln x . 4 x 1 x 1 dx . x 1 1 4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси Ох: Ф : 2 y x2 , 2x 2 y 3 0 . 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z z ( x, y ) в замкнутой D , ограниченной заданными линиями z 4( x y) x 2 y 2 , D : x 2y 4 , x 2y 4, x 0 . области 6. Вычислить двойной интеграл: S x 2 y 2 ay , x 0 , y 0 . dx dy a x y 2 2 2 , S : x2 y2 a2 ,