Содержание Контрольная работа № 1 – Целые числа ..................................................................................2 Контрольная работа № 2 – Комплексные числа .....................................................................3 Контрольная работа № 3 – Многочлены ..................................................................................3 Контрольная работа № 4 – Матрицы и определители. ..........................................................4 Контрольная работа № 5 – Линейные пространства. Системы линейных уравнений .....5 Контрольная работа № 6 – Пределы .........................................................................................7 Контрольная работа № 7 – Неопределенный интеграл .........................................................7 Контрольная работа № 8 – Построить графики функций .....................................................7 Контрольная работа № 9 – Пределы .........................................................................................8 Контрольная работа № 10 – Производная................................................................................8 Контрольная работа № 11 – Неопределенный интеграл .......................................................9 Контрольная работа № 12 – Определенный интеграл ...........................................................9 Список использованных источников......................................... Error! Bookmark not defined. Контрольная работа № 1 – Целые числа 1) Найдите каноническое представление числа: а) 64984829; б) 38! 2) Найдите наибольший общий делитель систем чисел: а) 64255 и 12070 (по алгоритму Евклида); б) 736310, 21547 и 580580 (через каноническое представление). 3) Найдите наименьшее общее кратное систем чисел: а) 272 и 256 (по формуле); б) 56, 64 и 78 (через каноническое представление чисел). 4) Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n 189189 . 5) Составьте таблицы сложения и умножения по модулю 13. 3 6) Найдите три последние цифры числа 3301. 7) Решите сравнение: а) 47 x 19(mod 77) ; б) 105 x 42 (mod 213) . 8) Решите систему сравнений: x 3(mod 42) x 12(mod 51) x 17(mod 70) 9) Найдите 13 последовательных составных чисел. 10) Докажите, что 2 60 7 30 делится на 13. Контрольная работа № 2 – Комплексные числа 1) Вычислите: а) a bi a bi ; б) (1 i) 3047 . c di c di 2) Решите уравнение: (2 4i) z 2 2 z 6 6i 0 . 3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи: 24 1 i а) ; б) 1 i 3 3 i. 2 4) Решите уравнения: а) z 3 z z 0 ; б) 2 z 2 3 z 0 . z 5) Докажите, что а) z1 z 2 z1 z 2 ; б) 1 z2 z1 ; в) z n ( z ) n . z2 arg z 6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых 4 1 2i z 2 7) Выразите ctg6 x через ctgx . 8) Найдите сумму: cos a cos(a h) cos(a 2h) ... (1) n1 cos[a (n 1)h] . Контрольная работа № 3 – Многочлены 1) Разложите многочлен x 4 x 3 8 x 8 на множители. 2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление: x 6 2 x 4 4 x 3 3x 2 8 x 5 и x 5 x 2 x 1 . 3) Отделите кратные множители: 4 x 7 x 6 7 x 5 5 x 4 x 3 19 x 2 16 x 12 . 4) Решите уравнение 3 степени: x 3 3x 2 3(1 2i) x 3 2i 0 . 5) Решите уравнение 4 степени: x 4 2 x 3 4 x 2 2 x 3 0 . 6) Для многочлена x 5 5 x 4 40 x 2 80 x 48 определите кратность корня c 2 . 7) Разложите многочлен 2 x 5 3x 4 5 x 3 8 x 2 3x 1 по степенях x 4 . 8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 1, двойной корень 3, простой корень 1 i . 9) Докажите, что многочлен (n 2m) x n nx nm nx m (n 2m) имеет число 1 тройным корнем. 10) Запишите в лексикографическом виде: xy 2 x 2 y 2 x 3 y 2 x 4 x 2 y . Выразите 11) через элементарные симметрические многочлены: ( x1 x2 )( x1 x3 )( x2 x3 ) . 12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: x6 x2 1 . ( x 1) 3 Контрольная работа № 4 – Матрицы и определители. 1) Подберите k и l так, чтобы перестановка (6,3,4, k ,7, l ,2,1) была нечетной. 2 1 2 3 4 . 2) Выполните умножение подстановок: 2 3 4 1 4) Вычислите определитель, пользуясь теоремой Лапласа: 1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 2 3 3 4 0 0 9 8 1 1 1 2 7 6 2 3 3 4 . 5) Вычислите определители: 1 a a2 a3 2 ... a a n 2 ; б) 1 2 a ... n ... ... ... ... ... ... ... x11 1 a a а) x 21 ... x n1 x 22 1 a ... ... ... ... ... xn 2 xn3 xn 4 .... an n 1 1 1 2 3 ... n 1 a 3 ... n 1 2 3 ... a 5 6) Вычислите определитель, применяя метод рекуррентных соотношений: a1 x x ... x x a2 x ... x x x a3 ... ... ... ... ... x . ... x x x ... a n 1 2 2 1 0 3 7) Вычислите AB BA , если A 1 1 2 , B 3 2 4 . 1 2 1 1 5 1 8) Вычислите: 991 992 993 12 6 2 1 1 994 995 996 а) 18 9 3 1 2 ; б) 997 998 999 1000 1001 1002 24 12 4 3 0 1 2 3 4 2 5 1 2 2 ; в) 3 2 4 . 1 5 1 9) Решите матричное уравнение: 1 3 1 2 1 1 0 4 3 2 X 3 1 2 4 0 3 . 2 7 3 1 0 1 3 4 0 2 4 Контрольная работа № 5 – Линейные пространства. Системы линейных уравнений Задание 1. Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. a (15,1, 0), b (4,7,11), c (1,2,3), d (9,12,17) . Задание 2. Даны два базиса пространства строк: e1 , e2 , e3 и f1 , f 2 , f 3 . Найти: а) матрицу А перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису f1 , f 2 , f 3 ; б) матрицу A 1 обратного перехода; в) координаты e1 в обоих базисах; г) координаты вектора a в базисе e1 , e2 , e3 , имеющего во втором базисе координаты (1,1,1) . 6 e1 (0,3,1), e2 (1,2,1), e3 (1,0,2); f1 (1,1,1), f 2 (2,1,0), f 3 (1,1,3) . Задание 3. Применить процесс ортогонализации к системе векторов. e1 (2,1,1,1), e2 (1,0,1,0), e3 (1,2,2,1) . Задание 4. Исследовать совместность данной системы и, в случае ее совместности, найти общее решение и одно частное решение. 3 x1 2 x 2 5 x3 4 x 4 2, 6 x1 4 x 2 4 x3 3 x 4 3, 9 x 6 x 3 x 2 x 4. 2 3 4 1 Задание 6. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и фундаментальную систему решений. 3x4 2 x5 0, x1 2 x 2 x1 x2 3x3 x4 3x5 0, 2 x 3x 4 x 5 x 2 x 0 2 3 4 5 1 Задание 7. Привести квадратичную форму к каноническому виду при помощи невырожденного линейного преобразования неизвестных. Найти невырожденное преобразование, приводящее форму к каноническому виду. x12 3x32 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x3 Задание 8. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующую форму к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид. x12 5 x 22 x32 4 x1 x 2 2 x1 x3 4 x 2 x3 . Задание 9. Построить канонический базис и найти каноническую форму Жордана следующих матриц. 3 1 0 0 1 0 1 1 0 0 3 0 5 3 0 4 1 3 1 0 0 0 0 0 2 7 Контрольная работа № 6 – Пределы 1) sin 3x lim 3 2x 9 x 0 2) lim x x2 1 x x 3) lim t 10 arccos t t 1 2x 5 4) lim x 2 x 1 5) 3 lim 1 x x 1 6) 3 x2 2 1 x2 x lim n sin n n 7) lim x 1 3x x 0 Контрольная работа № 7 – Неопределенный интеграл (arccos x) 2 1 dx 1) 1 x2 2) xe 3) 5 x 3 17 x 2 18 x 5 ( x 1) 3 ( x 2) dx x dx 1 x2 dx x4 4) 5) tg dx 8 x Контрольная работа № 8 – Построить графики функций Построить графики: а) y = x3 + 3x2 б) y = (x + 1)2 / (x – 2) в) y = 2x3 / (x2 + 1) 8 г) д) е) ж) y = x – 2 arctg x з) y = sin x – cos x Контрольная работа № 9 – Пределы 1) lim x n 5 5n2 4 9n8 1 n n 7nn 2 ; 2) lim x 2 x3 6 x 2 12 x 8 1 ; 3) lim ; 4) lim 3 2 x x 1 0 x x 1 x 3x 4 72 x 53 x sin x sin 2 arcsin 2 7 x x 1 6 x 5) lim ; 6) ; 7) lim ; 8) lim ; 9) lim lim 2 x x 0 x 2 tg ln x 1 x 3 x 0 2 x arcsin 3x tg 3x x4 3 2x 1 tg x x a 10) lim . x a tg a Контрольная работа № 10 – Производная Найдите производную y′: t y 4 1 t2 1) y ln arcsin x ; 2) ; 3) y 2 xy arcsin( y x) ; 4) y sin 3 x·tg3x ; x t x 1 t2 5) y 5e3 x 4 ; 6) y ln arcsin 3 x 1 2 cos x 8 Найдите производную y″: 7) y xe2x ; 8) y sin x ln x 5 2 x2 1 x2 1 ; tg x 6 ; 9 Контрольная работа № 11 – Неопределенный интеграл 1) cos dx 2 x 1 tg x ; 2) x 2 x cos xdx ; 3) 4 x3 x 2 2 x( x 1)( x 2) dx ; 4) dx 5 3cos x ; 5) Контрольная работа № 12 – Определенный интеграл 4 1. tg x ln cos xdx 0 3 2. 1 1 x x x 1 3 3. x 1 dx dx 2 x 4. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = sin x, y 5. Вычислить длину дуги кривой: 81 cos , 3 x , x ≥ 0. 5 2 0 3 xdx 1 x .