МГТУ им Баумана Домашнее задание по курсу общей физики ‘МАГНИТОСТАТИКА’ 16 вариант Работу выполнил: Романенко Н. А Преподаватель: Новгородская А. В 15.10.2022 Москва 2022 Условие: По коаксиальному кабелю, радиусы внешнего и внутреннего проводника которого равны 𝑅0 и R соответственно, протекает ток I. Пространство между проводниками заполнено магнетиком, магнитная проницаемость которого меняется по закону μ = f(r). Построить графически распределения модулей векторов индукции B и напряжённости H магнитного поля, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до 𝑅0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания на внутренней и внешней поверхностях магнетика и распределение объёмной плотности токов намагничивания 𝑖′об(𝑟). Определить индуктивность единицы длины кабеля. Функция μ = f(r) имеет вид: μ = Значения параметров n = 1 и 𝑅0 𝑛 + 𝑟 𝑛 𝑅 𝑛 + 𝑅0 𝑛 𝑅0 = 3/2. 𝑅 Решение: Изобразим качественную картинку для понимания решение задачи 𝑅0 1 +𝑟 1 Найдем 𝜇 = 𝜇 = 3𝑅+2𝑟 5𝑅 𝑅 1 + 𝑅0 1 и соотношение 𝑅0 𝑅 = 3 2 Тогда получаем (1) ̅ По теореме о циркуляции вектора напряженности 𝐻 ̅ ) = 𝐼 (где 𝑙 = 2𝜋𝑟). Тогда ̅ (𝑑𝑙 ∮𝐻 H*(2𝜋𝑟) = 𝐼 𝐼 H = 2𝜋𝑟 (2) Найдем, зная вектор напряженности, вектор 𝐵̅ и вектор намагниченности J̅ ̅ 𝜇𝜇0 (Подставим выражение 1) 𝐵̅ = 𝐻 𝐼 𝑩 = 𝜇0 ( 2𝜋𝑟)( 3𝑅+2𝑟 5𝑅 ) J̅ = (μ − 1)H̅ J̅ = 𝐼 ( 2𝜋𝑟 2𝑟−2𝑅 5𝑅 ) (3) Найдем теперь объемную плотность тока iоб ′ = j′ = rotJ̅ Где rotJ̅ в цилиндрических координатах матрица три на три 𝑥1 = r ℎ1 = 1 𝑒̅1 = 𝑒̅𝑟 𝑥2 = 𝜑 ℎ2 = r 𝑒̅2 = 𝑒̅𝜑 𝑥3 = z ℎ3 = 1 𝑒̅3 = 𝑒̅𝑧 Учтем, что 𝐽𝑟 = 𝐽𝑟 = 0, а так же (rotJ̅) = 1 𝜕(𝑟𝐽𝜑 ) 𝑟 𝜕𝑟 𝐼 (rotJ̅) = ∂z = 0 Тогда (подставим 2) 1 𝜕(𝑟 2𝜋𝑟( 𝑟 ∂𝐽𝜑 2𝑟−2𝑅 ) 5𝑅 𝜕𝑟 𝐼 1 𝜕(2𝜋( =𝑟 2𝑟−2𝑅 ) 5𝑅 𝜕𝑟 2𝐼 = 𝑟2𝜋5𝑅 = 𝐼 𝑟𝜋5𝑅 → iоб ′ = 𝐼 𝑟𝜋5𝑅 (4) Для определения линейной плотности тока воспользуемся теоремой о циркуляции вектора намагниченности J̅: ∮ J(̅ 𝑑𝑙 )̅ = 𝐼 ′ Пусть 1- вакуум, а 2 среда тогда 𝐽1 = 0 так μ − 1 = 0 𝐽2 = 𝐼(𝑟−𝑅) 𝑟𝜋5𝑅 В рассматриваемом приближении циркуляции вектора намагниченности J̅ по бесконечно малому контуру ABCD будет равна ∮ 𝐽 ̅ (𝑑𝑙 )̅ = (𝐽1 − 𝐽2 )𝑙 Также отметим, что ∮ 𝑖пов ′ (𝑑𝑙) = 𝐼′пов 𝑖пов ′ = 𝐽1 − 𝐽2 𝑖внутр ′ = 𝐽1 − 𝐽2 = 0 3𝑅 𝑖внеш ′ ( 2 ) = 𝐽1 − 𝐽2 = 0 - 𝐼(𝑟−𝑅) 𝑟𝜋5𝑅 3𝑅 𝐼( = - 3𝑅2 2 −𝑅) 𝜋5𝑅 𝐼 = -15𝜋𝑅 Найдем индуктивность кабеля L= Ф 𝐼 где Ф – поток магнитного поля Ф = ∫ 𝐵̅ (d𝑆̅) 3𝑅 𝐼 Ф = ∫𝑅2 𝜇0 ( 2𝜋𝑟)( L= Ф 𝐼 1 3𝑅+2𝑟 5𝑅 𝐼 1 3𝑅 3𝑅 𝐼 1 3 )dr = 𝜇0 ( 2𝜋)( 5𝑅) ∫𝑅2 ( 𝑟 + 2) 𝑑𝑟 = 𝜇0 ( 2𝜋)( 5)(1+3 ln 2) Тогда 1 3 = 𝜇0 ( 2𝜋)( 5)(1+3 ln 2) Проверка вычислений 3𝜋𝑅 ′ 𝐼 3𝜋𝑅 𝑖 𝑑𝑙 + ∫ iоб ′ = ∫0 𝐼 ′ = ∫0 𝐼 𝑅 𝐼 𝐼 𝐼 3𝑅 − 15𝜋𝑅 𝑑𝑙 +∫𝑅2 𝐼 𝑟𝜋5𝑅 𝐼 𝐼 3𝑅 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 = − 15𝜋𝑅 (3𝜋𝑅) + 𝜋5𝑅 2𝜋( 2 -R) = − 5 + 𝜋5𝑅 2𝜋( 2) = − 5 + 5 = 0 Проверка сошлась!!!!!
