Содержание 1. Скалярное поле ....................................................................................................... 2 2. Векторное поле. Дивергенция векторного поля ................................................. 4 3. Ротор векторного поля........................................................................................... 6 4. «Набла» - исчисление ............................................................................................ 7 5. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах ....................................................................................................................... 7 Список литературы .................................................. Error! Bookmark not defined. 1. Скалярное поле Задача 1 Построить поверхности равного уровня следующих скалярных полей: (a) Φ x2 y2 z 2 , 4 9 16 (b) Φ x2 y2 , z (c) Φ 3 x 2 y z , (a , r ) (d) Φ , (a , b const) . (b , r ) Задача 2 Найти производные для следующих скалярных полей в точке M0(X0,Y0, Z0) по направлению к точке M1(X1,Y1, Z1) a) x 2 y 2 z 2 , M 0 (1,1,1), M 1 (3,2,1), 2 b) x 2 y xz 2 2, M 0 (1,1,1), M 1 (2,1,3), c) xe y ye x z 2 , M 0 (3,0,2), M 1 (4,1,3) . Задача 3 Найти производную скалярного поля arctan y x в точке М0(2; -2) окружности x 2 y 2 4 x 0 вдоль дуги этой окружности. Задача 4 Найти производную скалярного поля ф = 2xy + y2 в точке M 0 ( 2;1) эллипса x 2 / 4 y 2 / 2 1 по направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке. Задача 5 Вычислить производную скалярного поля x2 y2 z 2 в точке M0 соответствующей значению параметра t 2 по направлению винтовой линии x = Rcost, y = Rsint, z = at. Задача 6 Найти градиенты следующих скалярных полей в точке M0(x0,y0,z0) (a) ln x 2 y 2 z 2 , M 0 (1,1,1) (b) z exp x 2 y 2 z 2 , M 0 (0,0,0) 3 (c) x 2 y 2 z 2 , M 0 (1,1,1) Задача 7 Найти градиенты следующих скалярных полей, если a , b = const и r xi yj zk , r x 2 y 2 z 2 , (a) ln( r ), (b) (a , r ), (c) (a , r ) (b , r ), (d) [a , r ] . 2 Задача 8 Показать что (a) grad u ( ) du grad , d (b) ( grad (r ), r ) (r )r , (с) grad (r ), r 0 . 2. Векторное поле. Дивергенция векторного поля Задача 1 Построить векторные линии следующих векторных полей (a) r xi yj zk , (b) A Ax i Ay j Az k , Ax , Ay , Az const , (c) A ( z y )i ( x z ) j ( y x)k , (d) A [c , r ], c const . 4 Задача 2 Построить векторные линии магнитного поля бесконечного проводника с током, заданного формулой 2 H I ,r , где I Ik – вектор тока, r – радиус-вектор точки M ( x, y, z ) , – расстояние от оси проводника до точки M . Задача 3 Вычислить поток векторного поля A r , где r – радиус-вектор, через прямой круговой цилиндр высотой h, радиусом основания R и осью Oz. Задача 4 Используя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить потоки векторных полей через указанную замкнутую поверхность S. S : x 2 y 2 z 2 , z 4, z 0 , (a) A (1 2 x)i yj zk , S : x 2 y 2 4 z, z 0, z 0 . (b) A 2i xzj yk , Задача 5 Найти дивергенцию следующих векторных полей в ДСК: (a) A x( z 2 y 2 )i y( x 2 z 2 ) j z ( y 2 x 2 )k , (b) A y 2 i ( x 2 y 2 ) j z (3 y 2 1)k , (c) A (1 2 xy)i y 2 zj ( z 2 y 2 zy 1)k . Задача 6 Вычислить дивергенцию следующих векторных полей, используя ее свойства: 5 (a) A r (b) A r 4 r , (c) A [a , r ], r (d) A (a ,[r , b ]) 5 . r 3. Ротор векторного поля Задача 1 y 2i x 2 j в плоском векторном поле A x2 y2 Вычислить линейный интеграл вдоль полуокружности x = Rcost, y = Rsint, (0 < t < π). Задача 2 Вычислить работу силового поля F 2 xyi x 2 j вдоль дуги окружности x 2 y 2 1 от точки M (1,0) до точки N (0,1) . Задача 3 Вычислить линейный интеграл в векторном поле A xi yj zk вдоль витка винтовой линии x a cos t , y a sin t , z t в направлении возрастания параметра t (0 < t < 2π). Задача 4 Найти ротор следующих векторных полей (a) A ( x 2 y 2 )i ( y 2 z 2 ) j ( x 2 z 2 )k , 6 (b) A z 3 i y 3 j z 3 k . Задача 5 Вычислить ротор векторных полей, если а, b - постоянные векторы, r – радиус-вектор точки M(x,y,z). (a) A r , (b) A (r , a )b , (c) A (r , a )b , (d) A (r , a )[ r , b ], (e) A [r , [a , r ]] . 4. «Набла» - исчисление Используя правила "набла" исчисления, вычислить: 1. grad (a , r )(b , r ) / r 3 , a , b const . 2. div (r )[ a , r ], (r ) (a , [r , b ]) / r n . 3. rot[r , [ A, r ]], A a cos r . 4. grad (a , r )( B, r ), B b exp(sin r ) . 5. divr ( A, a ), A [b , r ] cos r . 6. rot[ A, r ]( a , r ), A вектор-функция. 7. grad ( A, B), A, B вектор-функции. 5. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах Задача 1 Вычислить градиент скалярного поля в цилиндрических координатах 7 U 2 2 cos e z sin . Задача 2 Вычислить градиент скалярного поля в сферических координатах U r 2 cos . Задача 3 Вычислить дивергенцию векторного поля в цилиндрических координатах A e z sin e exp( ) cos z e z . Задача 4 Вычислить дивергенцию векторного поля в сферических координатах A r 2 er 2 cos 2 e r 1 2 e . Задача 5 Вычислить ротор векторного поля в цилиндрических координатах A e z sin e exp( ) cos z ez . 8