Теория поля

Примеры экзаменационных задач по курсу: «Теория поля»
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2
, y  7 e x , y  2, y  7.
x
2. Найти массу тела плотности   const , заданного неравенствами
y
36  x2  y 2  144, 
3.
Вычислить
момент
x2  y 2
x
 z  0, y  x 3, y 
.
24
3
инерции
пластинки,
ограниченной
кривыми
y  ax, x  a, относительно прямой у = -а, если плотность γ = 1.
4. Найти массу кривой r   ,
0     с линейной плотностью  
2r
1  r2
.
2
2
2
3
5. Вычислить работу векторного поля F  { x  3xy , x  4y } вдоль линии Г : y  x
от точки А(1,1) до точки В(2,8).
F  {3x  xy  x2 , x  x2  y  y 2 } по
3
контуру Г, состоящему из частей кривых y  x , y  1, y  2, x  0 (направление обхода
6. Вычислить циркуляцию векторного поля
положительное).
2
2
7. Найти массу поверхности G : z  4 x  y ,
1  z  4 с поверхностной плотностью
  z3 .
8.
Найти
поток
векторного
поля
F  { x ,  y ,  z}
через
часть
плоскости
P :  3x  2y  z  3, ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости
Р образует острый угол с осью Oz).
9. Найти циркуляцию векторного поля
a  {2 x 3  y 3 ,  y 2  x , z 2 } вдоль контура
Г : x 2  y 2  2,|x| y , лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении
относительно орта k.
3
2
10. Вычислить поток векторного поля a  { x , xz , 3 y z} через замкнутую поверхность
 : x 2  y 2  z 2  16, y  0, z  0 ( y  0, z  0) в направлении внешней нормали.
11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a  c , grad u , если
c  2 j  3k , u  xy  y  z.
12. Проверить, является ли векторное поле
a  ( exy  xyexy  2)i  ( x2e xy  1) j
потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и, предполагая, что
в начале координат и = 0.