Интернет-олимпиада по математике

Интернет-олимпиада по математике «Поверь в себя!»
МИЭТ-2011
Задания 2 тура
1. Решите неравенство x 2  7  x  5  x 2  2 x  3 .
2.
3.
4.
5.
Ответ: (,  5)  (1,  1/ 2) .
В геометрической прогрессии первый и четвертый члены равны соответственно
243 и 27 3 . Найдите сумму всех членов прогрессии, являющихся целыми
числами.
Ответ: 364
Найдите все корни уравнения x5  7 x3  3x  11  0 .
Ответ: 1
В прямоугольнике ABCD AD  a, AB  b , причём a  b . Доказать, что из всех
вписанных в прямоугольник равнобедренных треугольников AE1D1 с основанием
AD1 , где D1 лежит на стороне CD , а E1 – на стороне BC , наибольшей площадью
обладает треугольник AED , где E – середина BC .
Какую наибольшую площадь может иметь трапеция, три стороны которой равны
1?
3 3
Ответ:
4
6. Сколько существует натуральных чисел, меньших числа 1012 и взаимно простых с
ним?
Ответ: 10100
7. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8  . Найдите площадь поверхности сферы,
проходящей через середины ребер AB и AD , вершину A и касающейся грани
A1B1C1D1 .
Ответ: 81
8. Найти все функции f , которые определены на множестве действительных чисел
и для которых при любых x и y выполняются неравенства
f ( x)  x, f ( x  y)  f ( x)  f ( y).
Ответ: f ( x)  x.
9. Последняя цифра числа a  44
2011
488 8 x равна x . Чему равно x , если известно,
2010
что число a является квадратом натурального числа?
Ответ: x  9 .
10. Последовательность из n букв, каждая из которых может быть a или b , будем
называть словом длины n в алфавите a, b . Найдите число слов длины 10 в этом
алфавите, в которых две буквы b не стоят рядом.
Ответ: 144.