Тема 6. В полных дифференциалах

Тема 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
6.1 Уравнение в полных дифференциалах
M  x, y  dx  N  x, y  dy  0
Уравнение вида
(6.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является
полным
дифференциалом
некоторой
F  x, y  ,
функции
т.е.
M  x, y  dx  N  x, y  dy  dF  x, y  или
dF ( x, y )  Fxdx  Fydy.
Теорема. Если функции M  x, y  , N  x, y  ,
N M
непрерывны в некоторой области
,
x y
N M

x
y
D  R 2 , то условие
(6.2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть (6.1) была
полным дифференциалом функции F ( x, y ) .
 2 x  3x y  dx   x
Пример 6.1. Решить уравнение
2
3
 3 y 2  dy  0 .
Для данного уравнения M  x, y   2x  3x2 y; N  x, y   x3  3 y 2 .
Проверим условие (6.2):
Значит,
данное
N
M
N M
  x3  3 y 2  x  3 x 2 ,
.
  2 x  3x 2 y  y  3x 2 , 

x
y
x
y
уравнение
является
уравнением
в
полных
дифференциалах.
Следовательно, Fx  2 x  3x2 y, Fy  x3 3 y 2 . Для нахождения функции F  x, y  проделаем
следующие шаги:
1.Найдем
F  x, y    Fxdx    2 x  3x 2 y  dx  x 2  x 3 y    y  , где
  y   произвольная
постоянная.
2. Найдем   y  из условия  x 2  x3 y   ( y )  y  Fy ,
x3     y   x3  3 y 2     y   3 y 2 .   y    3 y 2 dy   y 3  C.
3. Подставляя
найденное в п.2 выражение для
F  x, y   x2  x3 y  y3  C.
4. Решением уравнения является x 2  x3 y  y 3  C.
6.2 Интегрирующий множитель
  y
в
F  x, y  , получаем
Функция M  x, y   0 , после умножения на которую, уравнение вида (6.1)
превращается в уравнение в полных дифференциалах, называется интегрирующим
множителем для этого уравнения.
Если функции M  x, y  и
N  x, y  непрерывны и имеют непрерывные частные
производные, отличные от нуля одновременно, то интегрирующий множитель
существует. Однако нет общего метода для его нахождения.
Приведем один из них.
Если известно, что      , где     x, y   известная дифференцируемая
функция,
то
интегрирующий

множитель
удовлетворяет
дифференциальному
уравнению
 
  d   M N 
M


N


y  d  y x 
 x
(6.3)
Пример 6.2. Решить уравнение  xy 2  3 y 3  dx  1  3xy 2  dy  0 .
Положим M ( x, y)  xy 2  3 y3 , N  x, y   1  3xy 2 . Тогда
M
N
 2 xy  9 y 2 ;
 3 y 2 .
y
x
Подставим полученные выражения в (6.3), получим

  d 
2 
  xy 2  3 y 3 
  2 xy  6 y 2  
 1  3xy 

x
y  d

(6.4)
Предположим, что   x , тогда (6.4) преобразуется в выражении вида
1  3xy  1   xy
2
2
 3x3   0
d
 ddx   2 xy  6 y   ,
2


2 y( x  3 y)
dx.
1  3xy 2
Замечаем, что функция  не может зависеть только от x, поскольку в последнем
выражении в правой части функция, зависящая от x
и y . Испытаем теперь множитель
  y.
Подставим в (6.4), получим
d


2 y  x  3 y 
y
2
 x  3y
dy,
d
  xy
2
 3 y3 
d
  2 xy  6 y 2   ,
dy
2
  dy, ln   2 ln y,

y
  y 2 -интегрирующий
множитель.
Домножаем исходное уравнение на
 1

 3x  dy  0.
2
y

 x  3 y  dx  
1
, получаем уравнение в полных дифференциалах
y2
Решаем методом, изложенным в примере 6.1.
M  x, y   x  3 y, N  x, y  
1
M N
 3x 

.
2
y
y
x
Пусть Fx  x, y   x  3 y, Fy 
1
 3x.
y2
Тогда F  x, y    Fxdx    x  3 y  dx 
x2
 3 yx    y  .
2
 x2

1
Поскольку   3 yx    y   y  Fy, то получаем 3x     y   2  3x,
y
 2

 y 
1
dy
1
   y    2    C.
2
y
y
y
Подставляя значение   y  в F  x, y  , получаем общее решение исходного
уравнения
x2
1
 3 yx   C.
2
y
Замечание. Если выражение
М N

y x
N
зависит только от переменной х, то
интегрирующий множитель можно вычислить следующим образом   Ce
Если выражение
М N

y x
M

M N

y x
dx
N
зависит только от переменной у, то интегрирующий
множитель можно вычислить следующим образом   Ce
M N

y x

dy
M

.
Задания для работы на семинаре
1.
e
x
 y  sin y  dx   e y  x  x cos y  dy  0 (Ответ : e x  e y  xy  x sin y  C ) .
x



2.  2 x  e y  dx  1 





3. y 
y  3x 2
4y  x
x y
 e dy  0
y
x
Ответ : x
3
.
x


2
y
 Ответ : x  ye  C  .


 xy  2 y 2  C  .
e y dx   2 y  xe  y  dy  0,

4. 
y (3)  0.


 Ответ : xe
y
 y2  3  0 .
xdy  ydx

 xdx  ydy  x 2  y 2 ,

5. 
y (1)  1.


 x  ye x   y  e x  y  0,

6. 
y (0)  4.




1 4
x2 y 2
4
 0 .
 Ответ :  x  y   yx 
4
2


 Ответ : x
2
 y 2  2 ye x  24  .


x2
y2
 y 2  x  dx  ydy  0  Ответ : e2 x  e2 x  C  .
2
2


7.
x
2
8.
x
2
9.
 x  y  dx  2 xydy  0.
 y 2  y  dx  xdy  0.
2
10. 1  x 2 y  dx  x 2 ( y  x)dy  0.
Задания для самостоятельной работы
(2 x  y  3x 2 sin y )dx   x  x3 cos y  2 y  dy  0,

1. 
y (0)  2.


2.  3x 2 y  sin x  dx   x 3  cos y  dy  0.
 Ответ : x
2
 xy  y 2  x3 sin y  4  .
 Ответ : x y  cos x  sin y  C  .
3

 x2

y 
2
x
ln
y

dx

 tgx  e y  dy  0,



2
cos x 

 y

3. 
y (0)  1.



 Ответ : x
2
ln y  ytgx  e y  e  .


y2 1
4.  x 2  y 2  1 dx  2 xydy  0.  Ответ : x 
 C .
x


5.  3x 2  6 xy 2  dx   6 x 2 y  4 y 3  dy  0.  Ответ : x3  3x 2 y 2  y 4  C  .


y3
1
6. xy 2  xy  y   1.  Ответ : 3  4  C  .
3x 4 x


y


7. x  2 x 2  y 2   y  x 2  2 y 2  y  0.  Ответ : x   C  .
x




y 4  x2
8.  x 2  y  dx  xdy  0.  Ответ : 3 y 2 x 
 C .
2


9.  3 y 2  x  dx   2 y 3  6 xy  dy  0.

x3 
10. 3x 2 1  ln y  dx   2 y   dy.  Ответ : x3  x3 ln y  y 2  C  .
y
