статья

Основные понятия и свойства функций
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная
функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная функция, убывающая
функция, возрастающая функция, ограниченная функция.
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х
из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение: y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция).
Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)).
Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)).
Способы задания функции.
аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).
Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Область определения и область значений функции.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных
чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные
значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только
действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений
аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью
определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает
функция, называется областью значений функции.
Функция считается заданной, если: задана область определения функции X ; задана
область значений функции Y ; известно правило ( закон ) соответствия, причем такое, что
для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это
требование однозначности функции является обязательным.
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1
следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x1 и
x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) < f ( x1 ), то функция f ( x ) называется убывающей.
Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если
существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если
такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x
= a, если :
1) функция определена при x = a, т.e. f ( a ) существует;
2) существует конечный предел limxaf(x);
3) f ( a ) = limxaf(x) .
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в
точке x = a. Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она
называется непрерывной функцией.
Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет
место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( - x ) = - f ( x
), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси
Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (
рис.6 ).
Периодическая функция. Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное
от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место:
f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все
тригонометрические функции являются периодическими.
Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём
( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x ( x
+ 1 ) ( x-3 ) имеет три нуля: x = 0, x = - 1, x = 3. Геометрически нуль функции – это
абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .
Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при
своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.