Четн момент функ(В8)

Четность, нечетность и периодичность функций.
(решение заданий В8 ЕГЭ)
Десять страниц математики понятой
лучше ста страниц заученных и не понятых,
а одна страница, самостоятельно проработанная,
лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно.
Д.Юнг
ВАРИАНТ 1 (____________________)
Четные и нечетные функции
1. Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является нечетной. На рисунке
изображен ее график на отрезке  4; 0 . Найдите f (4)  f (1) .
2. Четная функция y  g (x) определена на всей числовой прямой. Для функции
f ( x)  x  ( x  10) g ( x  10)  10 вычислите сумму f (8)  f (10)  f (12).
№
Задание
3 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является четной. На
рисунке изображен ее график на отрезке  5; 0. Найдите f (3)  f (2)  f (3) .
4
5
Ответ

Найдите значение функции y  2 f (a)  3 f (a)  g (b) , если известно, что
функция y  f (x) - четная, функция y  g (x) - нечетная, f (a)  2, g (b)  3.
Непрерывная нечетная функция, определенная на всей числовой оси, на
промежутке  ; 0 обращается в 0 в трех точках. Найдите число корней
уравнения f ( x)  0 на промежутке  ;   .
Периодическая функция, заданная в нескольких точках или на промежутке
6. Периодическая функция y  f (x) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 3
и f (1)  2. Найдите значение выражения: 3 f (10)  4 f (5) .
7. Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5.
на рисунке изображен график этой функции на промежутке  2;3 . Найдите значение
f (15)  f (7)
выражения
.
f (10)
№
Задание
Функция y  f (x) определена на множестве всех действительных чисел и является
периодической с периодом 7. Найдите значение выражения f (5)  f (16)  f (16) ,
если f (2)  1 и f (2)  2,5 .
9 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой, является периодической с
периодом 6. На промежутке  7;1 она задана формулой f ( x)  x 2  5 x  4 .
Найдите значение выражения 3 f (13)  4 f (15) .
10 Пусть y  f (x) - периодическая функция с периодом 5, определенная на всем
множестве действительных чисел. Какое наименьшее число корней будет иметь
уравнение f ( x)  f (1) на промежутке  5;10 ?
8
Ответ

Четная (нечетная) периодическая функция
11. Функция y  f (x) является четной, периодической с периодом T  10 и
3x  1, x  0; 3
.
f ( x)  
 2 x  4, x  3; 5
Найти значение выражения 2 f (98)  f (126) .
12. Периодическая четная функция y  f (x) определена для всех действительных чисел. Ее период
равен 6, и на отрезке 0; 3 она совпадает с функцией f ( x)  x 2  x  2 . Определите количество
корней уравнения f ( x)  0 на отрезке  3; 5.
№
Задание
Ответ 
13 Нечетная периодическая функция y  f (x) с периодом 5 определена для всех
действительных чисел, f (2)  3. Найдите f (2)  f (3).
14 Четная функция определена на всей числовой прямой. На рисунке изображен ее
график на отрезке 0; 5. Вычислите f (2)  f (0).
15 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой, является нечетной
периодической с периодом 6. На отрезке  1; 2 она задана формулой f ( x)  x 2  1 .
Определите количество нулей этой функции на отрезке  5; 4
Нахождение периода тригонометрической функции
2x
2x
 sin 4
16. Найти основной период функции f (x)  cos 4
7
7
№
Задание
17 Определите основной период функции y  16 sin x  cos x  1
Ответ

Использование свойства четности (нечетности) функций для решения уравнений
Решите уравнения:
x
а) 3  4  x 2
б) lg x 2  1  x 2
в) x x  3 x
г) 8
x
2
x  2  x 2
Домашнее задание (выполнить к 16.03.09.):
Теория: свойства функции (ограниченность, монотонность, четность, периодичность)
Практика: Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ – 2008. № 314, 316, 319, 325, 330, 336, 341, 346, 348, 350.
Четность, нечетность и периодичность функций.
(решение заданий В8 ЕГЭ)
Десять страниц математики понятой
лучше ста страниц заученных и не понятых,
а одна страница, самостоятельно проработанная,
лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно.
Д.Юнг
ВАРИАНТ 2 (______________________)
Четные и нечетные функции
1. Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является нечетной. На рисунке
изображен ее график на отрезке  4; 0 . Найдите f (4)  f (1) .
2. Четная функция y  g (x) определена на всей числовой прямой. Для функции
f ( x)  x  ( x  10) g ( x  10)  10 вычислите сумму f (8)  f (10)  f (12).
№
Задание
3 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является четной. На
рисунке изображен ее график на отрезке  5; 0. Найдите f (1)  f (1)  f (2) .
4
5
Ответ

Найдите значение функции y  2 f (a)  3 f (a)  g (b) , если известно, что функция
y  f (x) - четная, функция y  g (x) - нечетная, f (a)  2, g (b)  3.
Непрерывная нечетная функция, определенная на всей числовой оси, на
промежутке  ; 0 обращается в 0 в шести точках. Найдите число корней
уравнения f ( x)  0 на промежутке  ;   .
Периодическая функция, заданная в нескольких точках или на промежутке
6. Периодическая функция y  f (x) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 3
и f (1)  2. Найдите значение выражения: 3 f (10)  4 f (5) .
7. Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5.
на рисунке изображен график этой функции на промежутке  2;3 . Найдите значение
f (15)  f (7)
выражения
.
f (10)
№
Задание
8 Функция y  f (x) определена на множестве всех действительных чисел и является
периодической с периодом 6. Найдите значение выражения f (3)  f (2)  f (10) ,
если f (4)  1 и f (3)  2 .
9 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой, является периодической с
периодом 5. На промежутке  7;1 она задана формулой f ( x)  x 2  x  4 .
Найдите значение выражения f (13)  f (15) .
10 Пусть y  f (x) - периодическая функция с периодом 5, определенная на всем
множестве действительных чисел. Какое наименьшее число корней будет иметь
уравнение f ( x)  f (0) на промежутке  2,5; 7,5 ?
Ответ

Четная (нечетная) периодическая функция
11. Функция y  f (x) является четной, периодической с периодом T  10 и
3x  1, x  0; 3
.
f ( x)  
 2 x  4, x  3; 5
Найти значение выражения 2 f (98)  f (126) .
12. Периодическая четная функция y  f (x) определена для всех действительных чисел. Ее период
равен 6, и на отрезке 0; 3 она совпадает с функцией f ( x)  x 2  x  2 . Определите количество
корней уравнения f ( x)  0 на отрезке  3; 5.
№
Задание
Ответ 
13 Нечетная периодическая функция y  f (x) с периодом 5 определена для всех
действительных чисел, f (2)  4. Найдите f (2)  f (8).
14 Четная функция определена на всей числовой прямой. На рисунке изображен ее
график на отрезке 0; 5. Вычислите f (3)  f (2).
15 Функция y  f (x) определена на всей числовой прямой, является нечетной
периодической с периодом 5. На отрезке  4; 0 она задана формулой
f ( x)   x 2  4 x . Определите количество нулей этой функции на отрезке  5; 3
Нахождение периода тригонометрической функции
2x
2x
 sin 4
16. Найти основной период функции f (x)  cos 4
7
7
№
Задание
2x
2x 

 cos

17 Найдите наименьший положительный период функции y ( x)   sin
5
5 

Ответ

2
Использование свойства четности (нечетности) функций для решения уравнений
Решите уравнения:
x
а) 3  4  x 2
б) lg x 2  1  x 2
в) x x  3 x
г) 8
x
2
x  2  x 2
Домашнее задание (выполнить к 16.03.09.):
Теория: свойства функции (ограниченность, монотонность, четность, периодичность)
Практика: Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ – 2008. № 314, 316, 319, 325, 330, 336, 341, 346, 348, 350.
Открытый урок
по теме: «Четность, нечетность и периодичность функций»
проведен 12 марта 2009 года в 11 классе Г лицея им. Рябова Н.А.
в рамках общешкольного методического дня
учителем математики Беляевой О.П.
.
форма проведения: урок-практикум
цель урока: повторить, обобщить и систематизировать материал по указанной теме;
научиться решать задачи единого государственного экзамена с использованием
свойств четности и периодичности функций
краткое описание:
1этап – повторение теоретического материала
(мультимедийная презентация «Четные и нечетные функции.
Периодические функции»,
ответственные: Близнецова А., Костина К.)
2 этап – решение задач (все задания распределены по тематическим группам;
ключевые задания разбираем у доски подробно, с комментариями;
задания из таблицы каждый ученик выполняет самостоятельно с последующей
самопроверкой и отметкой правильности результата)
3 этап – подведение итогов, выставление оценок.
Зам. директора по УВР
Васильева И.Е.