matem_logika - Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ
Директор БИ СГУ
доцент А.В.Шатилова
___________________________
28 августа 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математическая логика и методы доказательств
Направление 010400
"Прикладная математика и информатика"
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Балашов 2012
Содержание:
1.
Цели освоения учебной дисциплины
3
2.
3.
Место учебной дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Структура и содержание учебной дисциплины
Образовательные технологии
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины
3
3
4.
5.
6.
7
8
6
8
8
14
15
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины
«Математическая логика и методы
доказательств» являются:
 познакомить будущего специалиста с основными понятиями и
методами математической логики, научить оперировать ими в
сфере своей педагогической деятельности;
 сформировать культуру логического мышления;
 показать взаимосвязи математической логики и разных разделов
математики и информатики.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла
(Б3.В2).
Для освоения указанной дисциплины студент должен овладеть
компетенциями, знаниями и умениями, сформированными в результате
освоения основных дисциплин, входящих в базовую часть математического и
естественнонаучного цикла, таких как «Алгебра и геометрия»,
«Математический анализ», «Философия». В ходе изучения дисциплины
происходит обобщение знаний, полученных при освоении указанных курсов,
показывается взаимосвязь и взаимовлияние различных дисциплин,
реализуется профессиональная направленность образовательного процесса.
Изучение дисциплины «Математическая логика и методы
доказательств» предшествует и необходимо для изучения дисциплин
вариативной части профессионального цикла «Физика», «Концепция
современного естествознания», а также вариативной части математического
и естественнонаучного цикла «Основы финансовой математики».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины (модуля) «Математическая логика и методы
доказательств»
Процесс изучения дисциплины «Математическая логика» направлен на
формирование следующих компетенций:
 готов использовать нормативные правовые документы в своей
деятельности (ОК-13);
 готов к толерантному восприятию социальных и культурных различий,
уважительному и бережному отношению к историческому наследию и
культурным традициям (ОК-14);
 способен понимать движущие силы и закономерности исторического
процесса, место человека в историческом процессе, политической
организации общества (ОК-15);
 способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и
полемики (ОК-16).
 способен применять современные методы диагностирования
достижений
обучающихся
и
воспитанников,
осуществлять
педагогическое
сопровождение
процессов
социализации
и
профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к
сознательному выбору профессии (ПК-3);
 готов включаться во взаимодействие с родителями, коллегами,
социальными партнерами, заинтересованными в обеспечении качества
учебно-воспитательного процесса (ПК-5);
 готов к обеспечению охраны жизни и здоровья обучающихся в учебновоспитательном процессе и внеурочной деятельности (ПК-7);
 способен к использованию отечественного и зарубежного опыта
организации культурно-просветительской деятельности (ПК-10);
 решение задач воспитания средствами учебного предмета (ПК-12).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 этапы развития логики;
 таблицы истинности логических операций;
 классификацию формул;
 сущность логического следования;
 булевы функции от одного и нескольких аргументов;
 правила логических умозаключений;
 идеи аксиоматического подхода к алгебре логики;
 теорию формального вывода;
 теорему о полноте формализованного исчисления высказываний;
 теорему о непротиворечивости формализованного исчисления
высказываний;
 теорему о разрешимости формализованного исчисления высказываний;
 теорему о независимости системы аксиом;
 основные понятия, связанные с предикатами;
 свойства формальных аксиоматических теорий;
 теорему Гёделя о неполноте.
Уметь:
 доказывать теоремы курса;
 находить логическое значение составного высказывания;
 выполнять равносильные преобразования;
 находить следствия и посылки;
 определять правильность суждений;
 применять теорему дедукции;
 выводить одни правила из других.
 выполнять логические и кванторные операции над предикатами;
 записывать на языке логики предикатов различные предложения;
 строить аксиоматические теории.
Владеть:
 техникой равносильных преобразований логических формул;
 методами распознавания тождественно истинных формул
равносильных формул;
 дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений.
и
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Теория алгоритмов»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
№
п/
п
Раздел
дисциплины
Се
мес
тр
Нед
еля
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
ЛР
СРС КР
Л
ПЗ/
ИФ
2
2
1
Отчет по пр
1 (1н)
Отчет по пр
2-4(2-4н)
Отчет по пр
5-6(5-6 н)
Отчет по пр
7-9 (7-9 н)
Отчет по пр
10-12 (10-12
н) КР (12 н)
Отчет по пр
13-15 (13-15
н)
Отчет по пр
16-18(16-18
н)
Экзамен (21)
108
Предмет и значение 3
математической
логики
Алгебра
3
высказываний
1
2-4 2
6/2
3
3
Булевы функции
3
3-6 2
4
2
4
Исчисление
высказываний
3
4-9 2
6
3
5
Аксиоматические
теории
3
512
4
6/2
3
6
Логика предикатов
3
715
4
6/2
3
7
Формализованные
математические
теории
3
918
2
6/2
3
18
36
1
2
3
Итого
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Формы
промежуточно
й аттестации
(по
семестрам)
0
18
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Предмет и значение математической логики
Введение. Классическая логика. Предмет математической логики, ее
роль в вопросах обоснования математики. Тенденции в развитии
современной математической логики.
Алгебра высказываний
Логика высказывания. Логические операции над высказываниями.
Язык логики высказываний, формулы. Истинностные значения формул.
Равносильность. Равносильные преобразования формул. Совершенные
нормальные формы. Представление истинностных функций формулами.
Тавтологии – законы логики. Логическое следование. Признаки логического
следствия. Нахождение следствий и посылок. Правильные и неправильные
рассуждения.
Булевы функции
Булевы функции от одного и двух аргументов. Системы булевых
функций. Специальные классы булевых функций. Приложение булевых
функций к анализу логических схем.
Исчисления высказываний
Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского или
генценовского типа). Классическое и конструктивное (интуиционистское)
исчисления.
Аксиоматические теории
Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез.
Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений
высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные с
ними теоремы. Независимость аксиом, правил вывода.
Логика предикатов
Предикаты и кванторы. Язык логики предикатов. Термы и формулы.
Языки первого порядка. Интерпретации. Значение формулы в
интерпретации. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул.
Проблема общезначимости, неразрешимость ее в общем случае.
Применение языка логики предикатов для записи математических
предложений, построение отрицаний предложений.
Формализованные математические теории
Формализованные математические теории. Теории первого порядка.
Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в теории. Характеристики
теорий: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Непротиворечивость
исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте для теорий.
Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация
теории множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости
в основаниях теории множеств. Проблемы оснований математики.
Парадоксы теории множеств. Проблема непротиворечивости математики.
Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в
математике.
5. Образовательные технологии
В ходе изучения дисциплины предусмотрено использование
следующих образова-тельных технологий: лекции, лабораторные занятия,
проблемное обучение, модульная технология, проблемная лекция,
подготовка письменных аналитических работ, самостоя-тельная работа
студентов, разработка проектов по изучаемым проблемам.
В учебном процессе предусмотрено использование активных и
интерактивных форм занятий и методов обучения (деловых и ролевых игр,
проектных методик, мозгового штурма, разбора конкретных ситуаций,
анализа практико-ориентированных задач, иных форм) в сочетании с
внеаудиторной работой. Удельный вес занятий, проводимых в
интерактивных формах, должен составлять не менее 20 % аудиторных
занятий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при
ежегодном обновлении банка средств. Количество вариантов заданий
зависит от числа обучающихся.
а) оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Контрольная работа
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Упростить формулу
(( x  y )  ( y  z )).
2. Приведите к ДНФ, КНФ, СДНФ и СКНФ формулу
(( x  y)  ( y  z )).
3. Проверьте с помощью теоремы Поста полноту системы булевых
функций ,. Образует ли базис указанная система?
4. Постройте вывод секвенции
,  ├ (  )
в исчислении высказываний генценовского типа.
5. Выясните, выводима ли в исчислении высказываний гильбертовского
типа формула
(( A  B)  ( B  A)).
6. Проверьте общезначимость формулы
(( A  B)  ((A  B)  (B  A))).
7. Методом резолюций проверьте доказуемость секвенции
A  ( B  C ), C  D  E, F  D  E ├ A  ( B  F ).
б) оценочные средства для промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация проходит в форме теста,
разрабатываются по каждому разделу дисциплины.
тесты
Демо-версия вопросов теста
1. 1 Какие из следующих предложений не являются высказываниями?
2.
3.
4.
5.
a. Треугольник ABC подобен треугольнику A`B`C`.
b. Студент факультета МЭИ.
c. Москва – столица России.
Установите, какие из высказываний в следующих парах являются
отрицаниями друг друга:
a. 2<0, 2>0;
b. 6<9, 6>9;
c. Функция f – четна, функция f – нечетна;
d. Треугольник ABC прямоугольный, а ABC – тупоугольный.
Пусть высказывание A
B истинно. Что можно сказать о
логическом значении высказывания ( ¬ A B )
( ¬A
B)?
a. Истинно;
b. Ложно.
Определите, какая из последовательностей символов является
формулой:
a. (P Q) R)
S;
b. ((P ¬ ( Q R )) (( P R )
Q )).
Применяя равносильные преобразования, приведите следующие
формулы к возможно более простой форме:
¬( ¬ P Q )
((P Q )
P)
a. P Q;
b.
1;
c.
P.
6. Приведите к КНФ: (x
y)
a. (¬x
y ) ( x ¬ y );
b. (¬x ¬y ) ( x y );
7. По данному набору значений переменных постройте
дизъюнктивный одночлен, принимающий значение 1 только на
этом наборе значений переменных(0,1):
a. ¬x y
b. x ¬y
8. По данному набору значений переменных постройте
конъюнктивный одночлен, принимающий значение 1 только на
этом наборе значений переменных(0,1):
a. ¬x
y
b. x
¬y
в) оценочные средства для итоговой аттестации
Вопросы к экзамену
Высказывания и операции над ними.
Формулы алгебры высказываний. Классификация формул.
Таблицы истинности.
Тавтологии. Правила получения тавтологий.
Равносильные формулы.
Признак равносильности формул.
Равносильные преобразования формул.
Совершенные нормальные формы формул.
Представление формул алгебры высказываний совершенными
дизъюнктивными нормальными формами.
10.Представление формул алгебры высказываний совершенными
конъюнктивными нормальными формами.
11.Нахождение совершенных нормальных форм формул.
12.Логическое следование.
13.Признаки логического следствия.
14.Свойства логического следования.
15.Нахождение следствий.
16.Нахождение посылок.
17.Правила логических умозаключений.
18.Правильные и неправильные рассуждения.
19.Методы математических доказательств.
20.Булевы функции от одного и двух аргументов.
21.Число булевых функций от n аргументов.
22.Системы булевых функций.
23.Специальные классы булевых функций.
24.Теорема о полноте системы булевых функций.
25.Построение логических схем на базе элементов И, ИЛИ НЕ.
26.Принципы построения исчислений высказываний.
27.Кассическое и конструктивное (интуиционистское) исчисления.
28.Аксиомы, правила вывода.
29.Доказуемость формул.
30.Выводимость из гипотез.
31.Производные правила.
32.Теорема дедукции.
33.Нпротиворечивость, полнота, разрешимость.
34.Независимость аксиом, правил вывода.
35.Закон исключенного третьего.
36.Закон снятия двойного отрицания.
37.Эффективные и неэффективные доказательства.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
38.Понятие предиката
39.Логические операции над предикатами.
40.Кванторные операции над предикатами.
41.Формула логики предикатов.
42.Предваренная нормальная форма
43.Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости
формул.
44.Запись математических предложений в виде формул логики
предикатов.
45.Формальные теории первого порядка.
46.Теорема Гёделя о неполноте.
47.Формализация теории множеств.
48.Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств.
49.Проблема непротиворечивости математики.
50.Программа Гильберта.
51.Метод формализации.
52.Конструктивное направление в математике.
г) учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
1) Подготовка
докладов
по
вопросам,
предложенным
для
самостоятельного изучения в теоретической части практических
занятий. Подготовка ведется к каждому практическому занятию.
Методические рекомендации: подготовка ведется с использованием
текста лекции по соответствующей теме, с использованием учебников и
учебных пособий, указанных в списке литературы.
По мере освоения материала студентам предлагаются задания для
самостоятельного обдумывания и выполнения.
1. Привести примеры формул, находящихся в ДНФ и КНФ; в ДНФ, но не в
КНФ; в КНФ, но не в ДНФ.
2. Привести примеры тождественно истинных тождественно ложных
формул алгебры высказываний.
3. Дать эквивалентные формулировки логического следствия. Доказать
эквивалентность. Привести примеры.
4. Сформулировать и доказать теорему о дедукции, а также следствия из
этой теоремы. Продемонстрировать применение этой теоремы на
примерах.
5. Доказать законы идемпотентности в исчислении высказываний.
6. Доказать законы коммутативности в исчислении высказываний.
7. Доказать законы ассоциативности в исчислении высказываний.
8. Доказать законы дистрибутивности в исчислении высказываний.
9. Доказать законы двойного отрицания в исчислении высказываний.
10. Доказать законы де Моргана в исчислении высказываний.
11. Доказать теорему о существовании формулы, находящейся в ДНФ (КНФ)
и эквивалентной данной формуле исчисления высказываний.
12. Как, применяя понятие терма, можно построить подсистему,
порожденную множеством, для данной системы?
13. Привести примеры формул логики предикатов. Указать все свободные и
связанные переменные этих формул.
14. Дать определение истинности
формулы логики предикатов в
алгебраической системе на кортеже элементов из носителя системы.
Привести примеры.
15. Сформулировать и доказать утверждения, эквивалентные понятию
логического следствия. Привести примеры.
16. Привести примеры тавтологий исчисления предикатов.
17. Сформулировать и доказать теорему о дедукции в исчислении
предикатов, а также следствия из этой теоремы. Продемонстрировать
применение этой теоремы на примерах.
18. Доказать основные эквивалентности исчисления предикатов.
При решении заданий необходимо использовать теоретический
материал, делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы и
пр. Выполнение заданий должно излагаться подробно и содержать
необходимые пояснительные ссылки.
2) Подготовка рефератов:
Методические рекомендации: Реферат, как форма самостоятельной
научной работы студентов, - это краткий обзор максимального количества
доступных публикаций по заданной теме, с элементами сопоставительного
анализа данных материалов и с последующими выводами. При проведении
обзора должна проводиться и исследовательская работа, но объем ее
ограничен, так как анализируются уже сделанные предыдущими
исследователями выводы и в связи с небольшим объемом данной формы
работы. Преподаватель рекомендует литературу, которая может быть
использована для написания реферата.
1.
2.
3.
4.
Тематика рефератов:
Возникновение и развитие математической логики .
Взаимосвязь логики и математической логики.
Теоремы и методы математических доказательств.
Математическая логика и современные компьютеры.
3) Подготовка к экзамену:
Методические рекомендации: Этот вид самостоятельной работы
наиболее сложный и ответственный. Начинать подготовку к зачету нужно
заблаговременно, до начала сессии. Одно из главных правил – представлять
себе общую логику предмета, что достигается проработкой планов лекций,
составлении опорных конспектов, схем, таблиц. В конце семестра
повторять пройденный материал в строгом соответствии с учебной
программой, примерным перечнем учебных вопросов, выносящихся на зачет
и содержащихся в данной программе. Использовать конспект лекций и
литературу, рекомендованную преподавателем. Обратить особое внимание
на темы учебных занятий, пропущенных студентом по разным причинам.
При необходимости обратиться за консультацией и методической
помощью к преподавателю.
7.
Учебно-методическое
и
дисциплины «Теория алгоритмов».
информационное
обеспечение
Основная литература
1. Глухов М. М. Задачи и упражнения по математической логике,
дискретным функциям и теории алгоритмов: Учебное пособие. 1-е изд.
[Текст] / Глухов М. М., Козлитин О. А., Шапошников В. А., Шишков А. Б.
- СПб. : Издательство «Лань», 2009. - 112 с.
2. Тимофеева, И. Л. Математическая логика. Курс лекций [Электронный
ресурс] : учеб. пособие для студентов вузов / И. Л. Тимофеева. –
Электрон. дан. – М. : КДУ, 2007. – 304 c. – Режим доступа :
http://www.biblioclub.ru/book/43447/. – Загл. с экрана
Дополнительная литература
a. Лавров, И. А. Математическая логика [Текст] : учеб. пособие для
студентов вузов/ под ред. Л. Л. Максимовой. -М.: Академия, 2006. -240 с.
b. Судоплатов, С. В. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] :
Учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - (Высшее образование). / С.
В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. – М. : ИНФРА-М, НГТУ, 2008. - 224 с.
(http://library.sgu.ru/cgi-bin/irbis64r_91/cgiirbis_64.exe)
c. Ершов Ю. Л. Математическая логика : учебное пособие/ Ю. Л. Ершов, Е.
А. Палютин. -СПб.: Лань, 2004. -336 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
 http://www.metodist.ru/
 http://www.metod-kopilka.ru/
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
1. Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для
проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска;
2. Компьютерные классы (аудитории №№ 24, 25);
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «Педагогическое
образование» и профилю подготовки «Информатика».
Автор: старший преподаватель кафедры физики и информационных
технологий Ерофеев А.Н.
Программа одобрена на заседании кафедры физики и информационных
технологий от 27 августа 2012 года, протокол № 9.
Подписи:
Автор программы ________________________________ст.пр. Ерофеев А.Н.
Зав. кафедрой __________________________ к.п.н., доцент Сухорукова Е.В.
Декан факультета ________________________ к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)
Декан факультета ________________________ к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)