050100_mat_2kurs_mat_logika_ofo_erofeevx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«10» ноября 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Математическая логика
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Математика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов
2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель освоения дисциплины ____________________________________________3
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы_____________3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в процессе освоения дисциплины
____________________________________________________________________________3
4. Содержание и структура дисциплины __________________________________5
4.1. Объем дисциплины _____________________________________________________ 5
4.2. Содержание дисциплины ________________________________________________ 5
4.3. Структура дисциплины _________________________________________________ 6
5. Образовательные технологии, применяемые при освоении дисциплины ____6
Информационные технологии, используемые при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине __________________________________________ 7
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ___________________________________7
Самостоятельная работа студентов по дисциплине _____________________________ 7
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации по дисциплине _________________________________________________________ 8
7.Данные для учета успеваемости студентов в БАРС _____________________11
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины _______12
Литература по курсу_______________________________________________________12
Основная литература ______________________________________________________________ 13
Дополнительная литература ________________________________________________________ 13
Интернет-ресурсы _________________________________________________________13
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ____________________13
2
1. Цель освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математическая логика» являются:
 познакомить будущего учителя с основными понятиями и методами математической логики, научить оперировать ими в сфере своей педагогической
деятельности;
 сформировать культуру логического мышления у будущего учителя информатики;
 показать взаимосвязи математической логики и разных разделов математики и информатики.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится квариативной части профессионального цикла (Б3.В9).
Для освоения указанной дисциплины студент должен овладеть компетенциями,
знаниями и умениями, сформированными в результате освоения основных дисциплин,
входящих в вариативную часть профессионального цикла, таких как «Алгоритмизация и
программирование», а также дисциплины «Философия» базовой части математического и
естественнонаучного цикла. В ходе изучения дисциплины происходит обобщение знаний,
полученных при освоении указанных курсов, показывается взаимосвязь и взаимовлияние
различных дисциплин, реализуется профессиональная направленность образовательного
процесса.
Изучение дисциплины «Математическая логика» предшествует и необходимо для
прохождения педагогической практики и написания курсовых работ и ВКР
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
 способен использовать знания о современной и естественно-научной картине мира
в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации теоретического и экспериментального исследования (ОК 4);
 способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
 способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики
(ОК-16).
 осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией
к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
 владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
 Способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК 4)
3































готов применять знания теоретической информатики, фундаментальной и прикладной математики для анализа и синтеза информационных систем и процессов
(СК-1);
способен использовать математический аппарат, методологию программирования
и современные компьютерные технологии для решения практических задач получения, хранения, обработки и передачи информации (СК-2);
владеет современными формализованными математическими, информационнологическими и логико-семантическими моделями и методами представления, сбора
и обработки информации (СК-3).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
этапы развития логики;
таблицы истинности логических операций;
классификацию формул;
сущность логического следования;
булевы функции от одного и нескольких аргументов;
правила логических умозаключений;
идеи аксиоматического подхода к алгебре логики;
теорию формального вывода;
теорему о полноте формализованного исчисления высказываний;
теорему о непротиворечивости формализованного исчисления
высказываний;
теорему о разрешимости формализованного исчисления высказываний;
теорему о независимости системы аксиом;
основные понятия, связанные с предикатами;
свойства формальных аксиоматических теорий;
теорему Гёделя о неполноте.
Уметь:
доказывать теоремы курса;
находить логическое значение составного высказывания;
выполнять равносильные преобразования;
находить следствия и посылки;
определять правильность суждений;
применять теорему дедукции;
выводить одни правила из других.
выполнять логические и кванторные операции над предикатами;
записывать на языке логики предикатов различные предложения;
строить аксиоматические теории.
Владеть:
техникой равносильных преобразований логических формул;
методами распознавания тождественно истинных формул и равносильных формул;
дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений.
4
4. Содержание и структура дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа, из них:
– по очной форме обучения: 54 часов аудиторной работы (20 часов лекций, 34 часов практических занятий), 54 часов самостоятельной работы. Дисциплина изучается в 8
семестре, ее освоение заканчивается экзаменом (36 ч)
4.2. Содержание дисциплины
Содержание разделов дисциплины
Предмет и значение математической логики
Введение. Классическая логика. Предмет математической логики, ее роль в вопросах обоснования математики. Тенденции в развитии современной математической логики.
Алгебра высказываний
Логика высказывания. Логические операции над высказываниями. Язык логики
высказываний, формулы. Истинностные значения формул. Равносильность. Равносильные
преобразования формул. Совершенные нормальные формы. Представление истинностных
функций формулами. Тавтологии – законы логики. Логическое следование. Признаки логического следствия. Нахождение следствий и посылок. Правильные и неправильные рассуждения.
Булевы функции
Булевы функции от одного и двух аргументов. Системы булевых функций. Специальные классы булевых функций. Приложение булевых функций к анализу логических
схем.
Исчисления высказываний
Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского или генценовского типа). Классическое и конструктивное (интуиционистское) исчисления.
Аксиоматические теории
Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные с ними теоремы. Независимость аксиом, правил вывода.
Логика предикатов
Предикаты и кванторы. Язык логики предикатов. Термы и формулы. Языки
первого порядка. Интерпретации. Значение формулы в интерпретации. Равносильность.
Общезначимость и выполнимость формул. Проблема общезначимости, неразрешимость
ее в общем случае. Применение языка логики предикатов для записи математических
предложений, построение отрицаний предложений.
Формализованные математические теории
Формализованные математические теории. Теории первого порядка. Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в теории. Характеристики теорий: непротиворечи5
вость, полнота, разрешимость. Непротиворечивость исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте для теорий. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация теории множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости в основаниях теории множеств. Проблемы оснований математики. Парадоксы
теории множеств. Проблема непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.
4.3. Структура дисциплины
Очная форма обучения
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
4
5
6
7
8
4
1
10
5
2
4
2-4
14
4
5-7
Исчисление высказываний
Аксиоматические
теории
Логика предикатов
4
Формализованные
математические теории
Итого
6
7
2
8
6
9
Отчет по домашним заданиям
4
6
6
Отчет по домашним заданиям
14
4
6
6
8-9
12
2
4
6
Отчет по домашним заданиям
Отчет по домашним заданиям
4
10-11
16
2
4
10
Отчет по домашним заданиям
4
12-14
18
2
6
10
4
15-17
20
4
6
10
Отчет по домашним заданиям
Отчет по домашним заданиям
144
20
34
54
8
Лекции
Самостоятельная
работа
3
3
4
2
Предмет и значение
математической логики
Алгебра высказываний
Булевы функции
Практическая
работа
2
Неделя семестра
Лабораторные
работы
1
1.
Семестр
Раздел дисциплины
Всего часов
№
п/п
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной
аттестации (по семестрам)
Экзамен 36 ч
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Технологии поддерживающего обучения (традиционного обучения):
 Объяснительно-иллюстративное обучение;
6



Технология модульного обучения (Системный поход, синергетический подход, деятельностный подход, индивидуализация обучения);
Технологии развивающего обучения:
Технология проблемного обучения;
Технология проектного обучения.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине

Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8 настоящей
программы).
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт, произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства воспроизведения информации.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
1. Подготовка докладов по вопросам, предложенным для самостоятельного изучения
в теоретической части практических занятий. Подготовка ведется к каждому практическому занятию.
Методические рекомендации: подготовка ведется с использованием текста лекции
по соответствующей теме, с использованием учебников и учебных пособий, указанных в
списке литературы.
По мере освоения материала студентам предлагаются задания для самостоятельного
обдумывания и выполнения.
1. Привести примеры формул, находящихся в ДНФ и КНФ; в ДНФ, но не в КНФ; в
КНФ, но не в ДНФ.
2. Привести примеры тождественно истинных тождественно ложных формул алгебры
высказываний.
3. Дать эквивалентные формулировки логического следствия. Доказать эквивалентность.
Привести примеры.
4. Сформулировать и доказать теорему о дедукции, а также следствия из этой теоремы.
Продемонстрировать применение этой теоремы на примерах.
5. Доказать законы идемпотентности в исчислении высказываний.
6. Доказать законы коммутативности в исчислении высказываний.
7. Доказать законы ассоциативности в исчислении высказываний.
7
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Доказать законы дистрибутивности в исчислении высказываний.
Доказать законы двойного отрицания в исчислении высказываний.
Доказать законы де Моргана в исчислении высказываний.
Доказать теорему о существовании формулы, находящейся в ДНФ (КНФ) и
эквивалентной данной формуле исчисления высказываний.
Как, применяя понятие терма, можно построить подсистему, порожденную
множеством, для данной системы?
Привести примеры формул логики предикатов. Указать все свободные и связанные
переменные этих формул.
Дать определение истинности формулы логики предикатов в алгебраической системе
на кортеже элементов из носителя системы. Привести примеры.
Сформулировать и доказать утверждения, эквивалентные понятию логического
следствия. Привести примеры.
Привести примеры тавтологий исчисления предикатов.
Сформулировать и доказать теорему о дедукции в исчислении предикатов, а также
следствия из этой теоремы. Продемонстрировать применение этой теоремы на
примерах.
Доказать основные эквивалентности исчисления предикатов.
При решении заданий необходимо использовать теоретический материал, делать
ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы и пр. Выполнение заданий
должно излагаться подробно и содержать необходимые пояснительные ссылки.
2. Подготовка рефератов:
Методические рекомендации: Реферат, как форма самостоятельной научной работы студентов, - это краткий обзор максимального количества доступных публикаций по
заданной теме, с элементами сопоставительного анализа данных материалов и с последующими выводами. При проведении обзора должна проводиться и исследовательская
работа, но объем ее ограничен, так как анализируются уже сделанные предыдущими исследователями выводы и в связи с небольшим объемом данной формы работы. Преподаватель рекомендует литературу, которая может быть использована для написания реферата.
1.
2.
3.
4.
Тематика рефератов:
Возникновение и развитие математической логики .
Взаимосвязь логики и математической логики.
Теоремы и методы математических доказательств.
Математическая логика и современные компьютеры.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при ежегодном
обновлении банка средств. Количество вариантов заданий зависит от числа обучающихся.
а) оценочные средства для текущего контроля успеваемости
8
Контрольная работа
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1.
Упростить формулу
2.
Приведите к ДНФ, КНФ, СДНФ и СКНФ формулу
(( x  y)  ( y  z )).
(( x  y )  ( y  z )).
3. Проверьте с помощью теоремы Поста полноту системы булевых функций ,.
Образует ли базис указанная система?
4.
Постройте вывод секвенции
,  ├ (  )
в исчислении высказываний генценовского типа.
5. Выясните, выводима ли в исчислении высказываний гильбертовского типа формула
(( A  B)  ( B  A)).
6.
Проверьте общезначимость формулы
7.
Методом резолюций проверьте доказуемость секвенции
A  ( B  C ), C  D  E, F  D  E ├ A  ( B  F ).
(( A  B)  ((A  B)  (B  A))).
б) оценочные средства для промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация проходит в форме теста, тесты разрабатываются по
каждому разделу дисциплины.
Демо-версия вопросов теста
1. 1 Какие из следующих предложений не являются высказываниями?
a. Треугольник ABC подобен треугольнику A`B`C`.
b. Студент факультета МЭИ.
c. Москва – столица России.
2. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга:
a. 2<0, 2>0;
b. 6<9, 6>9;
c. Функция f – четна, функция f – нечетна;
d. Треугольник ABC прямоугольный, а ABC – тупоугольный.
3. Пусть высказывание A
B истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания ( ¬ A
B)
( ¬A
B)?
a. Истинно;
b. Ложно.
4. Определите, какая из последовательностей символов является фор мулой:
a. (P Q) R)
S;
b.
((P ¬( Q
R ))
(( P
R)
Q )).
5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к
возможно более простой форме:
¬( ¬ P
Q)
((P
Q)
P)
9
a. P
Q;
b.
1;
c.
P.
6. Приведите к КНФ:(x
y)
a. (¬x
y ) ( x ¬ y );
b. (¬x
¬y ) ( x
y );
7. По данному набору значений переменных постройте дизъюнктивный одночлен, принимающий значение 1 только на этом наборе значений переменных(0,1):
a. ¬x
y
b. x
¬y
8. По данному набору значений переменных постройте конъюнктивный одночлен, принимающий значение 1 только на этом наборе значений переменных(0,1):
a. ¬x
y
b. x
¬y
в) оценочные средства для итоговой аттестации
Вопросы к экзамену
Высказывания и операции над ними.
Формулы алгебры высказываний. Классификация формул.
Таблицы истинности.
Тавтологии. Правила получения тавтологий.
Равносильные формулы.
Признак равносильности формул.
Равносильные преобразования формул.
Совершенные нормальные формы формул.
Представление формул алгебры высказываний совершенными дизъюнктивными
нормальными формами.
10. Представление формул алгебры высказываний совершенными конъюнктивными
нормальными формами.
11. Нахождение совершенных нормальных форм формул.
12. Логическое следование.
13. Признаки логического следствия.
14. Свойства логического следования.
15. Нахождение следствий.
16. Нахождение посылок.
17. Правила логических умозаключений.
18. Правильные и неправильные рассуждения.
19. Методы математических доказательств.
20. Булевы функции от одного и двух аргументов.
21. Число булевых функций от n аргументов.
22. Системы булевых функций.
23. Специальные классы булевых функций.
24. Теорема о полноте системы булевых функций.
25. Построение логических схем на базе элементов И, ИЛИ НЕ.
26. Принципы построения исчислений высказываний.
27. Классическое и конструктивное (интуиционистское) исчисления.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
28. Аксиомы, правила вывода.
29. Доказуемость формул.
30. Выводимость из гипотез.
31. Производные правила.
32. Теорема дедукции.
33. Непротиворечивость, полнота, разрешимость.
34. Независимость аксиом, правил вывода.
35. Закон исключенного третьего.
36. Закон снятия двойного отрицания.
37. Эффективные и неэффективные доказательства.
38. Понятие предиката
39. Логические операции над предикатами.
40. Кванторные операции над предикатами.
41. Формула логики предикатов.
42. Предваренная нормальная форма
43. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул.
44. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.
45. Формальные теории первого порядка.
46. Теорема Гёделя о неполноте.
47. Формализация теории множеств.
48. Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств.
49. Проблема непротиворечивости математики.
50. Программа Гильберта.
51. Метод формализации.
52. Конструктивное направление в математике.
7.Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
1
Лекции
10
Таблица максимальных баллов по видам учебной деятельности
2
3
4
5
6
7
8
Другие
АвтоматиЛабора- Практиче- Самостоявиды
Промежузированторные ские заня- тельная
учебной точная атте- Итого
ное тестизанятия
тия
работа
деятельстация
рование
ности
40
10
0
0
40
100
Программа оценивания учебной деятельности студента
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др.за один семестр –10 баллов.
Лабораторные занятия
Не предусмотрены.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр –40 баллов.
11
Самостоятельная работа
В качестве самостоятельной работе предлагается решение задач по разделам дисциплины – 10 баллов.
Автоматизированное тестирование
Автоматизированное тестирование не предусмотрено.
Другие виды
Дополнительные не предусмотрено.
Промежуточная аттестация
При определении разброса баллов при аттестации преподаватель может воспользоваться следующим примером ранжирования:
31-40 баллов – ответ на «отлично»
15-30 баллов – ответ на «хорошо»
6-14 баллов – ответ на «удовлетворительно»
0-5 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной деятельности студента за один семестр по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» составляет 100 баллов.
Таблица 2. Пример пересчета полученной студентом суммы баллов по дисциплине «Математическая логика» в оценку (экзамен):
85-100 баллов
«отлично»
75-84 баллов
«хорошо»
60-74 балла
«удовлетворительно»
меньше 60 баллов
«неудовлетворительно»
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
12
Основная литература
1. Глухов , М. М. Математическая логика. Дискретные функции. Теория алгоритмов
[Электронный ресурс] / М. М. Глухов , А. Б. Шишков. - Москва : Лань, 2012. - 416 с Режим доступа URL: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=4041
2. Игошин, Владимир Иванович. Математическая логика [Электронный ресурс] :
Учебное пособие / Владимир Иванович Игошин. - Москва : Издательский Дом "ИНФРАМ", 2012. - 399 с. Режим доступа URL: http://znanium.com/go.php?id=242738
Дополнительная литература
1. Герасимов, А. С. Курс математической логики и теории вычислимости [Электронный ресурс] / А. С. Герасимов. - Москва : Лань", 2014. Режим доступа URL:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=50159
2. Лавров, И. А. Математическая логика [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов/
под ред. Л. Л. Максимовой. -М.: Академия, 2006. -240 с.
Интернет-ресурсы
1. ИДО РУДН [Электронный ресурс]. – URL: http://www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf7.html
2. Математическая энциклопедия [Электронный ресурс].
– URL: http://encdic.com/enc_math/Matematicheskaja-logika-2133.html
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска, компьютер, обычная доска, пластиковая доска;
2. Компьютерные классы (аудитории №№ 24, 25);
13
Рабочая программа дисциплины «Математическая логика» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика» (квалификация (степень) «бакалавр») и
требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о
порядке организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным
программам высшего образования – программам бакалавриата, программам специалитета,
программам магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры физики и информационных технологий, протокол № 7 от «29» августа 2011 года)
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры физики и
информационных технологий, протокол № 2 от «16» октября 2014 года).
Подписи:
Автор программы ___________________ст.преподаватель Ерофеев А.Н.
Зав. кафедрой физики
и информационных технологий ___________ к.п.н., доцент
Сухорукова Е.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики _______________ к.п.н., доцент Кертанова В.В.
14