ДПП.Ф.9 Математическая логика (новое окно)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. УССУРИЙСКЕ
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой
математики, физики и методики преподавания
______________ Горностаев О.М.
20 сентября 2011 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
Математическая логика
Специальность - 050201.65 Математика с дополнительной специальностью 050202.65 Информатика
Форма подготовки очная
Кафедра математики,
физики и методики преподавания
курс 3 семестр 5
лекции 22 час.
практические занятия 22 час.
семинарские занятия 0 час.
лабораторные работы 0 час.
консультации 0 час.
всего часов аудиторной нагрузки 44 час.
самостоятельная работа 46 час.
реферативные работы 0
контрольные работы 0
зачет 5 семестр
экзамен - семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (утверждён 31.01.2005 г. № 692).
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры математики, физики и
методики преподавания 20. 09. 2011 г., протокол № 1.
Заведующий кафедрой:
Составитель: доцент
Горностаев О.М.,
20. 09. 2011 г.
Горностаев О.М.
Содержание комплекса:
1. Аннотация
2. Выписка из ГОС ВПО
3. Рабочая учебная программа дисциплины (РУПД)
4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
2
Аннотация
Содержание дисциплины: Предмет в объеме 90 часов является обязательным в
разделе дисциплин предметной подготовки. Включает в себя теоретический и
практический материал по темам: Введение. Дедуктивный характер математики. Предмет
математической логики, ее роль в вопросах обоснования математики. Тенденции в
развитии современной математической логики. Логика высказывания. Логические
операции над высказываниями. Язык логики высказываний, формулы. Истинностные
значения формул. Равносильность. Равносильные преобразования формул. Представление
истинностных функций формулами. Тавтологии – законы логики. Принципы построения
исчислений высказываний (гильбертовского или генценовского типа). Классическое и
конструктивное (интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода.
Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема
дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота,
разрешимость и связанные с ними теоремы. Независимость аксиом, правил вывода.
Законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической
логики. Эффективные и неэффективные доказательства. Логика предикатов. Предикаты и
кванторы. Язык логики предикатов. Термы и формулы. Языки первого порядка.
Интерпретации. Значение формулы в интерпретации. Равносильность. Общезначимость и
выполнимость формул. Проблема общезначимости, неразрешимость ее в общем случае.
Применение языка логики предикатов для записи математических предложений,
построение отрицаний предложений. Формализованные математические теории. Теории
первого порядка. Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в теории.
Характеристики
теорий:
непротиворечивость,
полнота,
разрешимость.
Непротиворечивость исчисления предикатов. Модели теорий. Теорема о полноте для
теорий. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация теории
множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и независимости в основаниях теории
множеств. Проблемы оснований математики. Парадоксы теории множеств. Проблема
непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод формализации.
Конструктивное направление в математике.
3
Выписка из ГОС ВПО (для дисциплин Федерального компонента).
ДПП.Ф.09
Математическая логика
Введение. Дедуктивный характер математики. Предмет
математической логики, ее роль в вопросах обоснования
математики.
Тенденции
в
развитии
современной
математической логики.
Логика
высказывания.
Логические
операции
над
высказываниями. Язык логики высказываний, формулы.
Истинностные
значения
формул.
Равносильность.
Равносильные
преобразования
формул.
Представление
истинностных функций формулами. Тавтологии – законы
логики. Принципы построения исчислений высказываний
(гильбертовского или генценовского типа). Классическое и
конструктивное (интуиционистское) исчисления. Аксиомы,
правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из
гипотез.
Производные
правила.
Теорема
дедукции.
Характеристики
исчислений
высказываний
–
непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные с
ними теоремы. Независимость аксиом, правил вывода. Законы
исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы
классической логики. Эффективные и неэффективные
доказательства.
Логика предикатов. Предикаты и кванторы. Язык логики
предикатов. Термы и формулы. Языки первого порядка.
Интерпретации. Значение формулы в интерпретации.
Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул.
Проблема общезначимости, неразрешимость ее в общем случае.
Применение
языка
логики
предикатов
для
записи
математических
предложений,
построение
отрицаний
предложений.
Формализованные математические теории. Теории первого
порядка. Аксиомы теории, правила вывода. Доказательства в
теории. Характеристики теорий: непротиворечивость, полнота,
разрешимость. Непротиворечивость исчисления предикатов.
Модели теорий. Теорема о полноте для теорий. Формальная
арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Формализация
теории множеств. Обзор результатов о непротиворечивости и
независимости в основаниях теории множеств. Проблемы
оснований математики. Парадоксы теории множеств. Проблема
непротиворечивости математики. Программа Гильберта. Метод
формализации. Конструктивное направление в математике.
90
4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. УССУРИЙСКЕ
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой
математики, физики и методики преподавания
______________ Горностаев О.М.
20 сентября 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математическая логика
Специальность - 050201.65 Математика с дополнительной специальностью 050202.65 Информатика
Форма подготовки очная
Кафедра математики,
физики и методики преподавания
курс 3 семестр 5
лекции 22 час.
практические занятия 22 час.
семинарские занятия 0 час.
лабораторные работы 0 час.
консультации 0 час.
всего часов аудиторной нагрузки 44 час.
самостоятельная работа 46 час.
реферативные работы 0
контрольные работы 0
зачет 5 семестр
экзамен - семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (утверждён 31.01.2005 г. № 692).
Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании
кафедры математики, физики и методики преподавания 20. 09. 2011 г., протокол № 1.
Заведующий кафедрой:
Составитель: доцент
Горностаев О.М., 20. 09. 2011 г.
Горностаев О.М.
5
Содержание:
1. Пояснительная записка
2. Тематический план
3. Содержание учебного материала
4. Требования к знаниям и умениям студентов
5. Формы контроля
а) рубежный (текущий) контроль
б) итоговый контроль
6. Список литературы.
6
1. Пояснительная записка
Дисциплина «Математическая логика» изучается студентами специальности
«Математика» в пятом семестре. Программа разработана в соответствии с требованиями
Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
по специальности 050201–«Математика». В данном стандарте эта дисциплина
представлена в блоке дисциплин предметной подготовки, что подчеркивает её
фундаментальный характер.
На изучение дисциплины «Математическая логика» учебным планом отводится 90
часов, из них аудиторная работа составляет 44 часа, т.е. 2 часа в неделю, в том числе
лекций - 2 часа, практических занятий - 2 часа. Остальное время отводится, в соответствии
с требованиями ГОС ВПО, на самостоятельную работу студентов.
Основное назначение курса «Математическая логика» состоит в формировании у
студентов четкого понимания логических законов, природы математики как дедуктивной
науки, относительного характера непротиворечивости математических теорий. Данный
курс играет важную роль при введении математической символики, а также при
выявлении тесной взаимосвязи изучаемых математических объектов и языка их изучения.
Ввиду ограниченности времени, отводимого на изучение данной дисциплины, некоторые
темы, касающиеся оснований математики, в частности, теоремы Гёделя о неполноте
предполагается излагать в обзорном порядке. Кроме того, некоторые вопросы курса
выносятся на самостоятельное изучение студентами. Отчетность по таким темам должна
быть представлена в виде рефератов или небольших самостоятельных исследований.
На практических занятиях решаются задачи по исчислению высказываний: запись
утверждений на языке исчисления высказываний, логическая эквивалентность формул,
составление формул для вычисления значений логических операций, построение выводов
и выводов из гипотез, прикладные задачи. По исчислению предикатов и теориям первого
порядка решаются аналогичные задачи и задачи на построение интерпретаций теорий,
установление логической общезначимости формул. Предполагается выполнение одной
самостоятельной работы и двух контрольных работ. Завершается курс - зачетом.
7
2. Тематический план дисциплины
Самостоятельная
работа студентов
Трудоемкость
(всего часов)
Лабораторные
занятия
Практические,
семинарские
занятия
Наименование модулей, разделов, тем
(с указанием семестра)
Всего
№
Лекции
Аудиторные занятия
2
4
12
10
10
6
6
46
46
24
20
20
14
8
90
90
5 семестр
1
2
3
4
5
6
Предмет математической логики, её роль в
обосновании математики.
Логика высказываний.
Исчисление высказываний.
Логика предикатов. Термы и формулы.
Исчисление предикатов.
Непротиворечивость и полнота теорий.
Итого за 5 семестр
Итого по дисциплине
2
2
12
10
10
8
2
44
44
6
6
4
4
2
22
22
6
6
6
4
22
22
8
3. Содержание учебного материала по дисциплине
«Математическая логика»
№
Тема
Содержание
1.
2.
3.
1
Предмет математической логики, её
роль в обосновании математики.
2
Логика высказываний.
3
4
Исчисление высказываний.
Логика предикатов. Термы и
формулы.
(5 семестр, 90 часов)
Предмет математической логики. Появление
логических парадоксов, возможные причины их
возникновения. Неоднозначность универсальных
языков. Краткая история развития математической
логики. Связь с математикой, информатикой и
другими науками.
1. Высказывания, буквенные обозначения, значения
истинности. Логические связки, сложные
высказывания. Запись высказываний с
использованием введенной символики.
2. Таблицы истинности. Логические связки как
функции, составление формул для их
вычисления. Понятие формулы.
3. Тавтологии, логическое следование и логическая
эквивалентность. Нормальные формы,
приведение формулы к нормальной форме.
Релейно-контактные схемы и их применение.
1. Понятие формальной теории. Вывод и вывод из
гипотез. Система аксиом для исчисления
высказываний. Дедуктивные рассуждения,
теорема дедукции.
2. Следствия из теоремы дедукции. Полнота и
непротиворечивость системы аксиом исчисления
высказываний. Независимость системы аксиом.
Другие аксиоматизации.
1. Недостаточность
языка
исчисления
высказываний для нужд математики. Константы,
переменные, кванторы, символы отношений и
функций. Термы и формулы логики предикатов.
Запись утверждений на языке исчисления
Кол-во
часов
Ауд. СРС
4.
5.
4
2
6
6
4
4
2
2
6
6
4
4
6
6
Самостоятельная
работа студентов
Оборудование
6.
7.
9
5
Исчисление предикатов.
6
Непротиворечивость и полнота
теорий.
предикатов.
2. Интерпретации языка. Значение терма для набора
значений
переменной.
Выполнимость
и
истинность
формул.
Логическая
общезначимость, модели системы формул.
1. Теории первого порядка. Вывод и вывод из
гипотез. Исчисление предикатов первого
порядка. Примеры теорий первого порядка.
Теорема дедукции для исчисления предикатов.
2. Теорема о полноте исчисления предикатов.
1. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о
неполноте. Понятие об аксиоматической теории
множеств. Основания математики. Аксиома
выбора, ее независимость.
4
4
4
3
4
2
3
6
10
4. Требования к знаниям и умениям студентов
Студенты, изучившие дисциплину «Математическая логика», должны знать ее
основные понятия, которые необходимы им при преподавании информатики в школе:
 Предмет математической логики, ее составные части, ее место в системе наук.
 Роль и значение математической символики.
 Способы представления высказываний в виде формул.
 Определения формальной теории, вывода, аксиомы и теоремы.
 Понятия полноты и непротиворечивости системы аксиом.
 Логичность рассуждений.
 Понятия интерпретации и модели системы аксиом.
Кроме того, студенты должны уметь:
 Записывать утверждения в виде формул языка исчисления высказываний и
языка исчисления предикатов.
 Строить таблицы истинности для формул.
 Определять логичность рассуждений.
 Создавать и упрощать релейно-контактные схемы.
 Строить формальный вывод для формул.
 Определять выполнимость и истинность формул в данной интерпретации.
 Находить модели для систем формул.
11
5. Формы контроля : а) рубежный (текущий) контроль; б) итоговый контроль
а) рубежный (текущий) контроль
1.Самостоятельная работа по теме «Исчисление высказываний»
Образец самостоятельной работы (20 минут)
1. Построить таблицу истинности для формулы: A  ( B  A) .
2. Найти формулу для вычисления значения дизъюнкции, в которой используются
только знаки арифметических операций.
2. Контрольная работа по теме «Исчисление высказываний»
Образец контрольной работы (2 часа)
1.Записать на языке исчисления высказываний следующее предложение:
«Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».
2. Верно ли, что из формул A  B , C  A выводима формула С ?
3. Построить вывод формулы (A  B)  (A  B) .
3. Контрольная работа по теме «Исчисление предикатов»
Образец контрольной работы (2 часа)
1. Записать на языке исчисления предикатов: «Для любых двух целых чисел
найдется их наибольший общий делитель».
2. Является ли теоремой формула: xy( P12 ( x, y)  P12 ( y, x)) ?
3. Построить модель для формулы: xy( P12 ( x, y)  P12 ( y, x)) .
4. Рефераты по отдельным вопросам курса
Темы рефератов:
1. История развития математической логики.
2. Логические парадоксы и попытки их решения.
3. Занимательные логические задачи.
4. Полные системы связок.
5. Замкнутые формулы.
6. Использование релейно-контактных схем для создания электронных игрушек.
7. Математическая логика и искусственный интеллект.
б) итоговый контроль
Зачет
К зачету допускаются студенты, выполнившие самостоятельную работу и две
контрольные работы, выполнившие домашние задания к практическим занятиям.
Темы задач, выносимых на зачет, соответствуют содержанию практических
занятий.
Вопросы к зачету
12
1. Исчисление высказываний. Формулы. Теорема о единственности представления
формулы ИВ в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания или импликации других
высказываний.
2. Генценовское ИВ. Правила вывода. Секвенции. Доказательства. Допустимые
правила.
3.
Доказательство секвенций и
4.
Эквивалентные формулы. Приведение формулы к нормальному виду.
5. Интерпретация ИВ на подмножествах непустого множества. Непротиворечивость
ИВ.
6. Главная интерпретация ИВ. Истинность формул и секвенций на наборе переменных.
Тождественная истинность.
7.
Теорема о функциональной полноте ИВ.
8.
Теорема о полноте ИВ.
9.
Разрешимость классического исчисления высказываний.
10. Независимость правил вывода.
11. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Вывод, квазивывод. Вывод
формулы
12. Лемма о дедукции.
13. Правило “разбора случаев”.
14. Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике. Зависимость аксиомы 10 от
остальных.
15. Интуиционистское ИВ. Недоказуемость закона исключённого третьего.
16. Эквивалентные множества и их свойства. Теорема Шрёдера — Бернштейна.
17. Счётные множества и их свойства.
18. Несчётность множества действительных чисел. Свойства множеств мощности
континуума.
19. Связь между счётными множествами и множествами мощности континуума.
20. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества.
21. Вполне упорядоченные множества и их свойства.
22. Аксиома выбора. Теорема Цермело.
13
23. Лемма Цорна.
24. Ординальные числа. Арифметика ординалов.
25. Кардинальные числа.
26. Мощность множества
27. Антиномии теории множеств. Аксиоматика теории множеств.
28. Аксиомы Пеано натуральных чисел. Коммутативность сложения.
29. Аксиомы действительных чисел.
30. Модель, сигнатура. Формулы исчисления предикатов (логики первого порядка).
Истинность формулы в данной модели.
31. Выразимость предикатов. Автоморфизмы.
32. Элиминация кванторов.
33. Фильтр. Центрированная система множеств.
34. Ультрафильтр. Характеризация ультрафильтров.
35. Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении. Теорема
Лося.
36. Локальная теорема Гёделя — Мальцева (теорема компактности) и следствие из неё.
37. Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности.
38. Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности.
39. Машины Тьюринга и вычислимые функции.
40. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные
функции.
41. Оператор минимизации. Рекурсивные функции.
42. Разрешимые и перечислимые множества.
43. Универсальные вычислимые функции.
44. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмическая
неразрешимость проблемы остановки машины Тьюринга.
45. Алгоритмически неразрешимые задачи в арифметике и алгебре.
46. Понятие сложности алгоритма. NP-полные задачи.
14
6. Список литературы
Основная литература
1. Математическая логика : учеб. пособие для вузов / И.А. Лавров ; под
ред. Л.Л. Максимовой.— М. : Академия, 2006 .— 240 c.
2. Математическая логика : Курс лекций. Задачник-практикум и
решения: учебное пособие / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева .— Изд. 4-е,
стер .— СПб : Лань, 2009 .— 288c .
Дополнительная литература
1. Гладкий, А.В. Математическая логика : учеб. пособие для ун-тов и
пед. ин-тов / А.В. Гладкий .— М. : РГГУ, 1998 .— 480 c.
2. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное
пособие для студ. вузов по спец. "Математика" / В.И. Игошин .— 4-е изд.,
стер. — М. : Академия, 2010 .— 448 c .
3. Гринченков, Д.В. Математическая логика и теория алгоритмов для
программистов : учебное пособие для вузов / Д.В. Гринченков, С.И.
Потоцкий .— М. : КноРус, 2010 .— 206 c .
Электронные информационные образовательные ресурсы
1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов. – М.: Физматлит, 2002. – 256 с.
–
Режим
доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2242.
2. Гурова Л.М., Зайцев Е.В. Математическая логика и теория
алгоритмов. – М.: Горная книга, 2000. – 262 с. – Режим доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=3514
3. Глухов М.М., Шишков А.Б. Математическая логика. Дискретные
функции. Теория алгоритмов.- СПб.: Лань, 2012. – 416 с. – Режим доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=4041
15
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
Методические материалы к дисциплине
Содержание учебного материала по всем видам аудиторной работы (лекции,
практические занятия, лабораторные занятия).
Лекция 1. Предмет математической логики. Появление логических парадоксов,
возможные причины их возникновения. Неоднозначность универсальных
языков. Краткая история развития математической логики. Связь с
математикой, информатикой и другими науками.
Лекция 2. Высказывания, буквенные обозначения, значения истинности. Логические
связки, сложные высказывания. Запись высказываний с использованием
введенной символики.
Лекция 3. Таблицы истинности. Логические связки как функции, составление формул для
их вычисления. Понятие формулы.
Лекция 4. Тавтологии, логическое следование и логическая эквивалентность. Нормальные
формы, приведение формулы к нормальной форме. Релейно-контактные схемы
и их применение.
Лекция 5. Понятие формальной теории. Вывод и вывод из гипотез. Система аксиом для
исчисления высказываний. Дедуктивные рассуждения, теорема дедукции.
Лекция 6. Следствия из теоремы дедукции. Полнота и непротиворечивость системы
аксиом исчисления высказываний. Независимость системы аксиом. Другие
аксиоматизации.
Лекция 7. Недостаточность языка исчисления высказываний для нужд математики.
Константы, переменные, кванторы, символы отношений и функций. Термы и
формулы логики предикатов. Запись утверждений на языке исчисления
предикатов.
Лекция 8. Интерпретации языка. Значение терма для набора значений переменной.
Выполнимость и истинность формул. Логическая общезначимость, модели
системы формул.
Лекция 9. Теории первого порядка. Вывод и вывод из гипотез. Исчисление предикатов
первого порядка. Примеры теорий первого порядка. Теорема дедукции для
исчисления предикатов.
Лекция 10. Теорема о полноте исчисления предикатов.
Лекция 11. Формальная арифметика. Теоремы Геделя о неполноте. Понятие об
аксиоматической теории множеств. Основания математики. Аксиома выбора, ее
независимость.
Практические занятия
Занятие
1. Уточнение определения формулы. Запись высказываний в виде формул.
Особое внимание уделять тем высказываниям, где связки не указаны в явном
виде.
Занятие 2. Составление таблиц истинности. Поиск формул для вычисления значений
логических функций. Самостоятельная работа.
Занятие 3. Доказательство логической эквивалентности формул. Приведение формул к
нормальной форме. Проверка логичности рассуждений. Составление и
упрощение релейно-контактных схем.
Занятие 4. Построение вывода формул.
16
Занятие 5. Проверка выводимости формул из гипотез, применение теоремы дедукции и
теоремы о полноте исчисления высказываний. Решение задач, связанных с
понятием выводимости и выводимости из гипотез.
Занятие 6. Контрольная работа по теме: «Исчисление высказываний».
Занятие 7. Запись утверждений с помощью языка исчисления предикатов. Проверка
определения терма и формулы.
Занятие 8. Построение интерпретаций языка. Проверка выполнимости и истинности
формул в данной интерпретации.
Занятие 9. Построение модели для системы формул. Проверка логической
общезначимости формул.
Занятие 10. Построение вывода и вывода из гипотез для различных формул.
Занятие 11. Контрольная работа по теме: «Исчисление предикатов».
Содержание самостоятельной работы студентов.
К самостоятельной работе студентов относится проработка лекционного курса и
рекомендуемой литературы для подготовки к практическим занятиям, самостоятельным,
контрольным работам и зачету.
Занятия строятся таким образом, что практическое занятие следует после
соответствующей лекции. На практическом занятии повторяется теория, а затем решаются
задачи по теме занятия. Домашнее задание предполагает решение всех упражнений,
заданных в лекционном курсе, а также подготовку коротких сообщений по темам,
недостаточно раскрытым в лекциях. В течение семестра студенты выполняют две
контрольных работы и одну самостоятельную работу.
17